Analisi I per Informatica

Analisi Matematica per IBML

Avviso: sono iniziate le attività dei tutor dell'iniziativa Tutor_MAT

Svolgimenti dettagliati dei compitini degli anni accademici 2014-15, 2013-14, 2012-13, 2011-12, 2010-11:

2015-02-05: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2015-06-26: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2014-02-11: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2014-06-19: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2013-02-07: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2013-06-20: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2012-01-31: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2012-06-14: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2011-02-04: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2011-06-16: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.

Anno Accademico 2024/25

Analisi Matematica per IBML

in collaborazione col Dott. Emanuele Frittaion

Regolamento d'esame. Ci sono tre modi per ottenere i 12 crediti del corso: (a) due prove parziali scritte senza orale, (b) due prove parziali scritte più orale, (c) un singolo scritto globale più orale. Al termine dei due periodi didattici (semestri) si svolgono i 2 "compitini" (prove parziali), ognuno con punteggio dato in trentesimi. Il punteggio può superare 30, per esempio 33 o 37, anche se esse3 mostra un troncamento a trenta e lode. Chi prende meno di 12 in un compitino deve passare alla modalità scritto globale più orale.

Per chi supera tutti e due i compitini con voto di almeno 12, viene calcolata la media dei due punteggi (anche maggiori di 30), arrotondata per eccesso, e troncata infine al tetto massimo di 30; tale media, quando di almeno 18, verrà inserita come esito provvisorio su esse3 in un appello orale estivo apposito.

A quel punto chi trova tale media su esse3 può segnalare, sempre su esse3, il suo consenso come voto definitivo (senza fare l'orale); in alternativa, può cliccare sul rifiuto del voto (oppure lasciarlo in sospeso) e presentarsi a sostenere un orale, in quello stesso appello orale o in uno successivo (previa iscrizione). L'orale ha come partenza il voto degli scritti e di solito lo migliora di qualche punto. La lode si può avere soltanto con l'orale. Chi non accetta né rifiuta il voto della media dei compitini se lo vedrà comunque registrato in automatico ad una certa scadenza che sarà indicata, comunque dopo la fine di settembre.

Il consenso o rifiuto del voto su esse3 è riservato ai soli voti ottenuti come medie dei due compitini. Per i voti degli scritti, dei compitini e degli orali effettivamente sostenuti non è previsto che lo studente dia il consenso o rifiuto su esse3.

Lo studente con media minore di 18 (ma almeno 12) nei due compitini non la troverà riportata su esse3. Può presentarsi all'orale con tale media come voto di partenza, oppure passare alla modalità scritto globale più orale.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

La rimanente modalità di esame è uno scritto globale di tre ore più un orale. Per essere ammessi all'orale occorre un voto di almeno 12 trentesimi allo scritto. Chi supera uno scritto può scegliere in che appello dare l'orale, senza scadenza. Si può anche ritentare lo scritto, ma, qualora si decida di consegnare, viene annullato lo scritto precedente, e vale l'ultimo scritto consegnato. Durante uno scritto ci si può ritirare in qualsiasi momento.

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Programma dettagliato del corso, anno accademico 2023-24, con l'elenco dei teoremi chiesti all'orale. Nel 2024-25 il programma sarà in gran parte lo stesso.

Esercizi per casa.

Materiale didattico:

Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player. Versione online.

Registrazioni video delle lezioni:

Registrazione della lezione del 2024-09-30. La struttura del corso e il regolamento d'esame. Introduzione ai numeri. Numeri naturali.
Registrazione della lezione del 2024-10-01. Numeri naturali, numeri interi relativi, numeri razionali, numeri decimali. Gli allineamenti decimali infiniti. Numeri decimali periodici e loro corrispondenza coi numeri razionali. La radice quadrata di~2 non è rappresentabile con un numero decimale periodico (senza dimostrazione). L'allineamento 0,101001000100001\dots{} non è periodico (con dimostrazione per assurdo). I numeri reali come allineamenti decimali infiniti periodici o no.
Registrazione della lezione del 2024-10-07. Numeri reali visti come allineamenti decimali infiniti. Il problema della doppia rappresentazione, come nei numeri $1{,}00000\dots$ e $0{,}99999\dots$. Fra due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in realtà sono infiniti). Algoritmi che generano le cifre decimali di un numero reale. Gli algoritmi che generano numeri reali sono catalogabili in modo lessicografico con numero d'ordine $n\in\N$. Esistenza di numeri non calcolabili (non generabili da alcun algoritmo), dimostrato col metodo diagonale. I~numeri non calcolabili visualizzati come l'esito di infinite estrazioni casuali di cifre, non comprimibili in una regola.
Registrazione della lezione del 2024-10-08. Proprietà algebriche di base di somma e prodotto fra numeri reali: commutativa, associativa, esistenza di zero e uno, esistenza di opposti e reciproci, proprietà distributiva. Dimostrazione che non esiste il reciproco di zero. Proprietà di base dell'ordinamento fra numeri reali: tricotomia.
Registrazione della lezione del 2024-10-14. Proprietà di base dell'ordinamento fra numeri reali: tricotomia, transitività. Legame con la somma: invarianza dell'ordine tramite traslazioni. Legame fra l'ordinamento e il prodotto: invarianza dell'ordine tramite omotetie (cambi di scala) a coefficiente positivo. Cosa succede moltiplicando una disuguaglianza per un numero positivo, o negativo. Altre proprietà elementari delle disuguaglianze. La proprietà di Archimede (non ci sono numeri infinitamente grandi o infinitamente piccoli).
Registrazione della lezione del 2024-10-15. Le disuguaglianze si possono sommare membro a membro. Le disuguaglianze fra numeri positivi si possono moltiplicare membro a membro. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Il caso di un insieme finito e quello di un insieme infinito. Massimo e minimo possono non esistere, ma quando esistono sono unici. Definizione di maggiorante e minorante di un insieme di numeri reali. I maggioranti e i minoranti sono sempre peggiorabili. Ci sono insiemi che non hanno maggioranti o minoranti. Insiemi limitati, limitati superiormente o limitati inferiormente.
Registrazione della lezione del 2024-10-21. Maggioranti e minoranti peggiorabili, migliorabili e non migliorabili. Insiemi limitati e illimitati, superiormente o inferiormente. Definizione di estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali come maggiorante o minorante non migliorabile. Il principio di completezza dei numeri reali: se un insieme di numeri reali ha un maggiorante (o minorante), allora ne ha uno non migliorabile. Se si lavora soltanto con i numeri razionali, il principio di completezza non vale.
Registrazione della lezione del 2024-10-22. I simboli $\pm\infty$, l'insieme dei numeri reali estesi col suo ordinamento, $\pm\infty$ come maggioranti o minoranti impropri, estremi superiori o inferiori infiniti. Gli intervalli: definizione in termini di mancanza di lacune. Casistica degli intervalli: intervalli limitati, chiusi o aperti o semichiusi, semirette chiuse o aperte, la retta, il singoletto, l'insieme vuoto.
Registrazione della lezione del 2024-10-23. Esempi di intervalli e non intervalli. L'unione di due intervalli può non essere un intervallo. L'intersezione di intervalli è sempre un intervallo. Il valore assoluto e le sue principali proprietà. Disequazioni con valore assoluto. Formule notevoli che coinvolgono il valore assoluto. Il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti. Il valore assoluto della somma può non essere uguale alla somma dei valori assoluti. La disuguaglianza triangolare $\lvert x+y\rvert\le\lvert x \rvert + \lvert y\rvert$, e perché è così chiamata. Interpretazione geometrica di $\lvert x\rvert$ come distanza di~$x$ dallo zero. Interpretazione geometrica di $\lvert x-y\rvert $ come distanza fra i punti $x$ e~$y$. La notazione tradizionale del valore assoluto si presta ad ambiguità.
Registrazione della lezione del 2024-10-29. Ripasso sulla definizione e le proprietà delle potenze. Esponente naturale, esponente intero relativo, esponente razionale o reale. Il problema di $0^0$ e di base negativa con esponente non intero.
Registrazione della lezione del 2024-11-04. Grafici delle potenze (base variabile ed esponente fisso) a seconda dei possibili esponenti. Dato il grafico di una funzione, il grafico della funzione inversa si ottiene con una riflessione rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Radici quadrate e cubiche come inverse di quadrato e cubo sui positivi. Le funzioni esponenziali (base fissa ed esponente variabile) crescenti e decrescenti. La notazione $a^x= \exp_a(x)$. Proprietà algebriche e di ordinamento degli esponenziali. Il logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale.
Registrazione della lezione del 2024-11-05. Grafico e proprietà del logaritmo. Le funzioni goniometriche: come si definiscono in termini intuitivi.
Registrazione della lezione del 2024-11-06. Ripasso sulle funzioni goniometriche dirette e inverse.
Registrazione della lezione del 2024-11-11. I numeri complessi motivati storicamente dal bisogno di dare senso alla formula risolutiva dell'equazione di terzo grado. I~numeri complessi definiti come coppie di numeri reali $(x,y)$, scritti anche come $x+iy$. L'insieme~$\C$. Somma e prodotto di numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Per somma e prodotto valgono le stesse proprietà algebriche dei numeri reali: communtatività, associatività, distribuitività, esistenza dello zero, dell'unità, di opposti e reciproci. Notazioni abbreviate in cui si omettono gli addendi nulli e i fattori~1. La formula fondamentale $i^2=-1$. Non si può introdurre su~$\C$ un ordinamento che abbia le stesse proprietà dell'ordinamento su~$\R$. Il piano complesso e l'interpretazione dei numeri complessi come vettori nel piano. La regola del parallelogrammo per la somma. Il coniugato di un numero complesso, con interpretazione geometrica.
Registrazione della lezione del 2024-11-12. Il coniugato di una somma o di un prodotto è la somma o il prodotto dei coniugati. Il prodotto di un numero per il suo coniugato. Il valore assoluto, o modulo, di un numero complesso, con interpretazione geometrica. Il modulo della differenza di due numeri è la loro distanza. Il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli. La disuguaglianza triangolare $\lvert z+w\rvert\le\lvert z\rvert+\lvert w\rvert$, con significato geometrico. Operazioni con numeri complessi. Forma polare dei numeri complessi in termini di modulo e argomento. La forma trigonometrica $z=\lvert z\rvert(\cos\varphi+i\sin\varphi)$. L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti.
La lezione del 2024-11-13 non è stata registrata a causa di un problema tecnico. Ci si può riferire a lezioni registrate dal Dott. Liessi nell'aprile 2024 ed elencate nella sezione dell'anno accademico 2023-24 qui sotto. Il coniugato di una somma o di un prodotto è la somma o il prodotto dei coniugati. Il prodotto di un numero per il suo coniugato. Il valore assoluto, o modulo, di un numero complesso, con interpretazione geometrica. Il modulo della differenza di due numeri è la loro distanza. Il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli. La disuguaglianza triangolare $\lvert z+w\rvert\le\lvert z\rvert+\lvert w\rvert$, con significato geometrico. Operazioni con numeri complessi. Forma polare dei numeri complessi in termini di modulo e argomento. La forma trigonometrica $z=\lvert z\rvert(\cos\varphi+i\sin\varphi)$. L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti.
Registrazione della lezione del 2024-11-18. Il problema delle radici $n$-esime di un numero complesso. Esempio: calcolo delle radici cubiche di~$i$ per via algebrica e per via geometrica. Le radici cubiche di un numeri complesso formano i vertici di un triangolo equilatero di centro l'origine. Il caso generale delle radici $n$-esime. Esempio: le radici quarte di~$i$. Esempio: la formula di Cardano applicata all'equazione $y^3-3y=0$. Il teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Per un polinomio a coefficienti reali, il coniugato di una soluzione è anch'esso soluzione.
Registrazione della lezione del 2024-11-19. Esempi introduttivi a concetto di limite.
La lezione del 2024-11-25 è sostituita con la visione della registrazione della lezione del 2024-03-22. La definizione di limite spiegata attraverso un gioco. La condizione di sensatezza del limite. Il teorema dell'unicità del limite (enunciato).
Registrazione della lezione del 2024-11-26. La definizione di limite spiegata attraverso un gioco. La condizione di sensatezza del limite.
Registrazione della lezione del 2024-12-02. Il teorema dell'unicità del limite (dimostrazione nel caso di $x_0,L$ entrambi finiti, e $\dom f=\R$). Varianti della definizione di limite: $x_0$ o $L$ che valgono (uno o entrambi) $+\infty$, e limiti unilaterali, da sinistra o da destra, $x_0^\pm$, $L^\pm$.
Registrazione della lezione del 2024-12-03. Il teorema dell'algebra dei limiti nel caso di limiti finiti, con dimostrazione nel caso della somma. Limiti di base: funzione costante e funzione identità $f(x)=x$. Conseguenza: i limiti al finito dei polinomi. Limiti di $1/x$ per $x$ che tende a zero da destra o da sinistra o a $\pm\infty$, nonché al finito. Cenno all'infinito senza segno.
Registrazione della lezione del 2024-12-09. Limiti di somma, prodotto e quoziente di funzioni quando si esce dai casi del teorema dell'algebra dei limiti. Le forme indeterminate $+\infty-\infty$, $0\cdot(\pm\infty)$, $0/0$, $\pm\infty/(\pm\infty)$. Definizione di continuità di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0 \in \dom f$ in varie versioni: $f(x)\to f(x_0)$ per $x\to x_0$; $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (che richiede la condizione di sensatezza); $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in\dom f\quad \lvert x-x_0\rvert<\delta\Rightarrow\lvert f(x)-f(x_0) \rvert < \varepsilon$. Definizione di funzione continua (sul suo dominio). La funzione $f(x)=1/x$ è continua sul suo dominio; lo zero non è nel dominio, e quindi non ha senso chiedersi se è continua o no in~0. Le funzioni esponenziali, i logaritmi, le funzioni goniometriche e le radici ennesime sono funzioni continue nei rispettivi domini (abbozzo di dimostrazione nel caso di~$2^x$). Somma, prodotto e quoziente di funzioni continue sono continue (sempre, sui rispettivi domini).
La parte sulle forme indeterminate non si è registrata: riferirsi all'analoga registrazione della lezione del 2024-04-09. File online con i quiz sulle forme indeterminate.
Registrazione della lezione del 2024-12-10. Definizione di continuità in termini di limiti sinistri e destri. Esempio: il valore assoluto è una funzione continua. La funzione segno: definizione, grafico, non continuità nell'origine. La funzione parte intera: definizione, grafico, non continuità nei punti interi. Definizione di salto di una funzione in un punto, in termini di limiti unilaterali che esistono ma diversi. Rassegna di funzioni continue e funzioni discontinue. Limiti all'infinito degli esponenziali crescenti e decrescenti. Il limite di $(-1)^n$ per $n\to+\infty$ non esiste. Il limite di $\sen x$ per $x\to+\infty$ non esiste. In generale, i limiti delle funzioni oscillanti possono non esistere. Il teorema del confronto, o dei due carabinieri (senza dimostrazione).
Registrazione della lezione del 2024-12-16. Il teorema del singolo carabiniere (senza dimostrazione). Il teorema del limite della funzione composta, detto anche cambio di variabile nei limiti (senza dimostrazione). Le disuguaglianze notevoli $\lvert \sen x\rvert\le \lvert x\rvert$ per ogni~$x\in\R$ e $x\le\tan x$ per $x\in[0,\pi/2\mathclose[$, dimostrate per via geometrica. Dimostrazione del limite fondamentale $\lim_{x\to0}(\sen x)/x=1$. La disuguaglianza di Bernoulli $(1+x)^n\ge1+nx$, valida per $n\in\N$ e $x>-1$, dimostrata per induzione. Dimostrazione che $2^n/n\to+\infty$ per $n\to+\infty$ usando la disuguaglianza di Bernoulli. In generale, gli esponenziali crescenti crescono più velocemente di qualsiasi polinomio (in variabile reale, non solo in variabile intera). Dimostrazione che $(\log_2 x)/x\to0$ usando il cambio di variabile $x=2^t$. Più in generale, il logaritmo di~$x$ cresce più lentamente di~$x$.
Registrazione della lezione del 2024-12-17. Conseguenza del teorema delle funzioni composte: le funzioni $f$ continue ovunque commutano col limite, cioè $\lim f(g(x))=f(\lim g(x))$. Definizione di successione debolmente crescente, strettamente crescente, debolmente decrescente, strettamente decrescente, monotòna, con interpretazione cartesiana. Teorema: le successioni monotone hanno sempre limite, finito o infinito, con dimostrazione nel caso di debole crescenza e con estremo superiore finito. La successione fondamentale $a_n:=\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n$: dimostrazione che è debolmente crescente. La successione ausiliaria $b_n:= \bigl(1+\frac{1}{n} \bigr)^{n+1}$: dimostrazione che è debolmente decrescente.
Registrazione della lezione del 2025-01-13. Le due successioni $a_n:=\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n$ e $b_n:= \bigl( 1+\frac{1}{n} \bigr)^{n+1}$ convergono allo stesso limite, chiamato numero di Nepero, che è un numero compreso fra 2 e~3, e indicato con $e\simeq 2.71828$. Limiti notevoli che ne derivano: $\lim_{n\to+ \infty}\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n=e$, $\lim_{x\to\pm \infty} \bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)^x=e$, $\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e$, $\lim_{x \to0}\frac{\log_e(1+x)}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$. Il limite notevole trigonometrico $\lim{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}= 1/2$. Il teorema dell'algebra dei limiti in forma utile per il calcolo pratico dei limiti: se $g(x)\to L$ finito, allora $\lim (f(x)+g(x)) =\lim(f(x)+L)$, nel senso che se esiste uno dei due limiti, esiste anche l'altro e sono uguali; se inoltre $L\ne0$ allora $\lim f(x)g(x)= \lim f(x)L$ e $\lim f(x)/g(x)=\lim f(x)/L$, nello stesso senso. Avvertenza contro la ``pseudoregola'': se in un limite complicato individuo una sottoespressione $g(x)$ che so tendere a~$L$, semplifico sostituendo $g(x)$ con~$L$ e vado avanti. La pseudoregola a volte dà un risultato giusto, ma spesso è sbagliato. Qualche esempio di applicazione della pseudoregola con risultato errato.

Esami scritti:

2025-01-31: primo compitino (solo testo)
2025-02-17: primo compitino (solo testo)

Anno Accademico 2023/24

in collaborazione col Dott. Davide Liessi

Programma dettagliato del corso, anno accademico 2023-24, con l'elenco dei teoremi chiesti all'orale.

Esercizi per casa.

Esercizi per casa sui numeri complessi (Dott. Liessi).

Esercizi per casa sulla formula di Taylor (Dott. Liessi).

Materiale didattico:

Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player. Versione online.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf).
Introduzione alle funzioni di due variabili. File di Mathematica con le presentazioni (152MB),

Registrazioni video delle lezioni:

Registrazione della lezione del 2024-03-04. La struttura del corso e il regolamento d'esame. Introduzione ai numeri. Numeri naturali, numeri interi relativi, numeri razionali, numeri decimali. Gli allineamenti decimali infiniti. Numeri decimali periodici e loro corrispondenza coi numeri razionali. La radice quadrata di~2 non è rappresentabile con un numero decimale periodico (senza dimostrazione). I numeri reali come allineamenti decimali infiniti periodici o no. L'allineamento 0,101001000100001\dots{} non è periodico.
Registrazione della lezione del 2024-03-05. L'allineamento 0,101001000100001\dots{} non è periodico (con dimostrazione per assurdo). Come generare altri numeri irrazionali. Proprietà algebriche di base di somma e prodotto fra numeri reali: commutativa, associativa, esistenza di zero e uno, esistenza di opposti e reciproci, proprietà distributiva. Dimostrazione che non esiste il reciproco di zero.
Registrazione della lezione del 2024-03-07. Proprietà di base dell'ordinamento fra numeri reali: transitività, riflessività, tricotomia. Legame fra l'ordinamento e la somma: invarianza dell'ordine tramite traslazioni. Legame fra l'ordinamento e il prodotto: invarianza dell'ordine tramite omotetie a coefficiente positivo. Cosa succede moltiplicando una disuguaglianza per un numero positivo, o negativo. Altre proprietà elementari delle disuguaglianze.
Registrazione della lezione del 2024-03-11. Esercizi sui numeri reali, sull'interpretazione dei puntini di sospensione nelle formule, sull'ordine delle operazioni nelle formule, sui valori di vero/falso.
Registrazione della lezione del 2024-03-12, parte 1, parte 2. La proprietà di Archimede (non ci sono numeri infinitamente grandi o infinitamente piccoli). Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Il caso di un insieme finito e quello di un insieme infinito. Massimo e minimo possono non esistere, ma quando esistono sono unici. Definizione di maggiorante e minorante di un insieme di numeri reali.
Registrazione della lezione del 2024-03-13 (Dott. Liessi), parte 1, parte 2. Ripasso di potenze, radici, esponenziali e logaritmi.
Registrazione della lezione del 2024-03-14. Maggioranti e minoranti peggiorabili, migliorabili e non migliorabili. Insiemi limitati e illimitati, superiormente o inferiormente. Definizione di estremo superiore o inferiore di un insieme di numeri reali. Il principio di completezza dei numeri reali: se un insieme di numeri reali ha un maggiorante (o minorante), allora ne ha uno non migliorabile. Se si lavora soltanto con i numeri razionali, il principio di completezza non vale. I simboli $\pm\infty$ come maggioranti o minoranti impropri. Gli intervalli: definizione in termini di mancanza di lacune. Casistica degli intervalli: intervalli limitati, chiusi o aperti o semichiusi, semirette chiuse o aperte, la retta, l'insieme vuoto.
Registrazione della lezione del 2024-03-18 (Dott. Liessi), parte 1, parte 2. Esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche.
Registrazione della lezione del 2024-03-19. Il valore assoluto e le sue principali proprietà. Interpretazione geometrica di $\lvert x\rvert$ come distanza di~$x$ dallo zero. Interpretazione geometrica di $\lvert x-y\rvert $ come distanza fra i punti $x$ e~$y$. Formule notevoli che coinvolgono il valore assoluto. La disuguaglianza triangolare $\lvert x+y\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert y\rvert$, e perché è così chiamata. Disequazioni con valore assoluto.
Registrazione della lezione del 2024-03-20 (Dott. Liessi), parte 1, parte 2. Funzioni goniometriche.
Registrazione della lezione del 2024-03-21. Esempi introduttivi a concetto di limite.
Registrazione della lezione del 2024-03-22. La definizione di limite spiegata attraverso un gioco. La condizione di sensatezza del limite. Il teorema dell'unicità del limite (enunciato).
Registrazione della lezione del 2024-03-25. Teorema dell'unicità del limite (dimostrazione nel caso di $x_0,L$ entrambi finiti). Varianti della definizione di limite: $x_0$ o $L$ che valgono (uno o entrambi) $+\infty$.
Registrazione della lezione del 2024-03-26. Varianti della definizione di limite: $x_0$ o $L$ che valgono (uno o entrambi) $\pm\infty$, e i limiti unilaterali (da destra o da sinistra, per eccesso o difetto) $x_0^+,x_0^-,L^+,L^-$. Cenno all'infinito senza segno $\infty$, distinto da $+\infty$. Il problema del calcolo dei limiti. Il teorema dell'algebra dei limiti nel caso di limiti finiti, con dimostrazione nel caso della somma. I~casi $L+ \infty$ e $+\infty+\infty$ e la forma indeterminata $+\infty - \infty$. Limiti elementari: limite della costante e limite della funzione identità $f(x)=x$.
Registrazione della lezione del 2024-04-03 (Dott. Liessi). Numeri complessi: introduzione e motivazione, unità immaginaria, operazioni e loro proprietà, rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, parte reale e immaginaria, piano di Argand-Gauss, significato geometrico della somma di complessi e del prodotto di un complesso per un reale, coordinate polari, modulo, argomento, complesso coniugato.
Registrazione della lezione del 2024-04-04 (Dott. Liessi). Numeri complessi: equazioni sui complessi, rappresentazione trigonometrica e cambio di coordinate, prodotto di complessi in forma trigonometrica e suo significato geometrico, formula di De Moivre, esponenziale immaginario, rappresentazione esponenziale.
Registrazione della lezione del 2024-04-05 (Dott. Liessi). Numeri complessi: teorema fondamentale dell'algebra (dimostrazione solo nel caso z^n=a), radici n-esime complesse e loro aspetti geometrici, radici complesse coniugate di polinomi a coefficienti reali.
Registrazione della lezione del 2024-04-08. Limiti notevoli che non rientrano nell'algebra dei limiti: i limiti di $1/x$ per $x$ che tende a zero o infinito. Il teorema del confronto, o dei due carabinieri. Variante del teorema del confronto con un solo carabiniere. La disuguaglianza di Bernoulli $(1+x)^n\ge1+nx$ per $x>-1$, $n\in\N$, dimostrata per induzione. Il $\lim_{n\to+\infty}2^n= +\infty$ dimostrato usando la disuguaglianza di Bernoulli.
Registrazione della lezione del 2024-04-09. Le forme indeterminate $+\infty-\infty$, $0\cdot(\pm\infty)$, $0/0$, $\infty/\infty$. Come trattare le forme non indeterminate che esulano dal teorema dell'algebra dei limiti. La successione $(-1)^n$ non ha limite per $n\to+\infty$, con dimostrazione. Il limite $\lim_{n \to +\infty}(-1)^n/n$ calcolato col teorema dei carabinieri. File online con i quiz sulle forme indeterminate.
Registrazione della lezione del 2024-04-11 (purtroppo si sono registrati solo tre minuti). Limiti di funzioni oscillanti: i limiti $\lim_{x\to+\infty}\sen x$, $\lim_{x\to+\infty}\cos x$, $\lim_{x\to+\infty}\tan x$ non esistono. La funzione segno e la funzione $1/x$ non hanno limite bilaterale per $x\to0$, però hanno i limiti unilaterali per $x\to0^+$ e per $x\to0^-$. Limiti notevoli: $\lim_{x\to+\infty}a^x/x= \lim_{x\to +\infty} a^x/x^2= \lim_{x\to+\infty}a^p=+\infty$ se $a>1,p\in\N$; altrimenti detto, gli esponenziali crescenti tendono a infinito più rapidamente dei polinomi. Definizione di funzione continua in un punto e di funzione continua su tutto il suo dominio. Le funzioni polinomiali, razionali, trigonometriche, esponenziali e logaritmi sono funzioni continue.
Registrazione della lezione del 2024-04-12 Funzioni continue: valore assoluto, radice quadrata, radice cubica, $x^\alpha$ per $x>0$. Funzioni non continue: il segno, la parte intera (floor, ceiling). Teorema del limite della funzione composta, o cambio di variabile nei limiti (senza dimostrazione). Come si fa in pratica il cambio di variabile. Applicazioni: $\lim_{x\to+\infty}(\log x)/x =0$, il logaritmo tende all'infinito più lentamente di tutti i polinomi, i quali sono più lenti degli esponenziali crescenti. Composizione, somma, prodotto, quoziente di funzioni continue è continua. Come riconoscere le funzioni continue guardando la formula che le definisce. Il limite fondamentale $\lim_{x\to0}(\sen x)/x=1$, dimostrato usando delle disuguaglianze geometriche. Il limite notevole $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2=1/2$.
Registrazione della lezione del 2024-04-15 (Dott. Liessi). Esercizi sui limiti.
Registrazione della lezione del 2024-04-16 (Dott. Liessi). Esercizi sui limiti.
Registrazione della lezione del 2024-04-17 (Dott. Liessi). Esercizi sui limiti.
Registrazione della lezione del 2024-04-18 Se $f$ è una funzione continua, allora $\lim_{x\to x_0}f(g(x))= f(\lim_{x\to x_0}g(x))$. Definizione di successione debolmente o strettamente crescente o decrescente. Successioni non monotone e oscillanti. Le successioni monotone hanno sempre limite, finito o infinito (dimostrazione per le successioni crescenti limitate). La successione fondamentale $(1+\frac{1}{n})^n$: generalità e dimostrazione che è (debolmente) crescente.
Registrazione della lezione del 2024-04-19 Dimostrazione che la successione ausiliaria $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ è debolmente decrescente. Queste due successioni hanno limite finito, detto numero di Nepero, compreso fra~2 e~3. Ammonimento contro l'uso della ``pseudoregola'' nel calcolo dei limiti.
Registrazione della lezione del 2024-04-22 (Dott. Liessi). Esercizi sui limiti.
Registrazione della lezione del 2024-04-23 In questo corso i logaritmi sono da intendere in base~$e$ ogniqualvolta la base non è esplicita. I~limiti esponenziali notevoli che derivano facilmente dal limite della successione fondamentale: $\bigl( 1+ \frac{1}{x}\bigr)^x\to e$ per $x\to\pm\infty$, $(1+x)^{1/x} \to e$ per $x\to0$, $(e^x-1)/x\to1$ per $x\to0$, $(\log(1+x))/x\to1$ per $x\to0$. Trabocchetti nel calcolo di limiti di prodotti in cui il numero di fattori è variabile. Limiti contenenti il fattoriale e affini: $n!$, $n!/n$, $n!/n^2$, $n!/$potenza, $n!/2^n$. Regola utile: avendo un prodotto di fattori positivi, per rimpicciolirlo basta cancellare fattori maggiori di~1, per ingrandirlo basta cancellare fattori minori di~1.
Registrazione della lezione del 2024-04-26 Relazioni fra limiti e disuguaglianze: se una disuguaglianza vale per le funzioni, passando al limite la disuguaglianza si conserva se è debole, si indebolisce se è stretta. Limiti contenenti il fattoriale e affini: $n!/3^n$, $n!/5^n$, $n!/$esponenziale, $n^n$, $n^n/n!$, $n!/n^n$, $n^n/(n+1)!$, usando il metodo di cancellare fattori maggiori o minori di~1.
Registrazione della lezione del 2024-04-29 (Dott. Liessi). Teorema di esistenza degli zeri: enunciato, significato geometrico, esempi e controesempi, dimostrazione con il metodo di bisezione.
Registrazione della lezione del 2024-04-30 (Dott. Liessi). Teorema di esistenza degli zeri: esempi concreti in cui la procedura di bisezione ha e non ha termine. Algoritmo di approssimazione dal metodo di bisezione. Uso del teorema di esistenza degli zeri per la risoluzione di equazioni con metodo grafico. L'immagine di un insieme tramite una funzione, o insieme dei valori assunti dalla funzione. Come si trovano il dominio e l'immagine di una funzione a partire dal grafico. Il teorema dei valori intermedi: tre enunciati equivalenti, dimostrazione.
Registrazione della lezione del 2024-05-02 (Dott. Liessi). Definizione di funzioni monotone nelle quattro categorie: strettamente/debomente crescenti/decrescenti. Significato geometrico. Richiami sulle funzioni iniettive o invertibili. Relazioni fra continuità, stretta monotonia, iniettività e avere come dominio un intervallo (senza dimostrazione). L'inversa di una funzione monotona è monotona dello stesso tipo. Definizione di valore massimo o minimo (globale) di una funzione, e di punto di massimo o minimo (globale). Come riconoscere i valori massimi o minimi e i rispettivi punti di massimo o minimo (globali) a partire dal grafico di una funzione. Teorema di Weierstrass sui massimi e minimi: enunciato, esempi e controesempi. Osservazioni generali sui teoremi sulle proprietà globali delle funzioni continue.
Registrazione della lezione del 2024-05-03 (Dott. Liessi). Definizione di funzioni monotone nelle quattro categorie: strettamente/debomente crescenti/decrescenti. Significato geometrico. Richiami sulle funzioni iniettive o invertibili. Relazioni fra continuità, stretta monotonia, iniettività e avere come dominio un intervallo (senza dimostrazione). L'inversa di una funzione monotona è monotona dello stesso tipo. Definizione di valore massimo o minimo (globale) di una funzione, e di punto di massimo o minimo (globale). Come riconoscere i valori massimi o minimi e i rispettivi punti di massimo o minimo (globali) a partire dal grafico di una funzione. Teorema di Weierstrass sui massimi e minimi: enunciato, esempi e controesempi. Osservazioni generali sui teoremi sulle proprietà globali delle funzioni continue.
Registrazione della lezione del 2024-05-06 Limiti contenenti il fattoriale e affini: $\binom{2n}{n}$. Cenno alla formula di Stirling. La gerarchia degli infiniti campione per $n\to+\infty$: grandi, piccoli e intermedi.
Registrazione della lezione del 2024-05-07 La gerarchia degli infiniti campione vista alla luce della relazione fra funzione e funzione inversa. La gerarchia degli infinitesimi campione per $n\to+\infty$, ottenuti coi reciproci degli infiniti. I~simboli di Bachman-Landau: o~piccolo, O~grande, omega piccolo, omega grande, theta grande, tilde.
Registrazione della lezione del 2024-05-08 Introduzione al concetto di derivata.
Registrazione della lezione del 2024-05-09 Definizione di derivata di una funzione in un punto e di funzione derivabile in un punto. Notazioni per la derivata. Calcolo della derivata delle funzioni elementari $x^2,x^3,e^x,\log x$.
Registrazione della lezione del 2024-05-10 Il rapporto incrementale. Calcolo della derivata delle funzioni $\sen x, \cos x, 1/x, \sqrt{x}, \lvert x\rvert, \mathop{\rm sgn}x$. Attenzione particolare alla non derivabilità del $\log x$ per $x<0$ (nonostante la formula $D(\log x)=1/x$ possa suggerire altrimenti), nonché della radice, valore assoluto e segno nello zero, con interpretazione geometrica.
Registrazione della lezione del 2024-05-13 (Dott. Liessi). Esercizi sui limiti e sugli ordini di infinito e infinitesimo.
Registrazione della lezione del 2024-05-14 Derivata della funzione identità~$x$ e della costante~$c$. Se una funzione è derivabile in~$x_0$, allora è continua in~$x_0$, con dimostrazione. La funzione valore assoluto è continua in zero, ma non è derivabile in zero. Il teorema dell'algebra dei limiti, con dimostrazione. Derivata di $\tan x$ e di $x^n$ con $n\in\Z$.
Registrazione della lezione del 2024-05-15 La derivata della funzione composta, con cenno di dimostrazione. La derivata della potenza con esponente reale. Il teorema della derivata della funzione inversa. Come ottenere la formula della derivata della funzione inversa a partire dalla relazione fondamentale $f(f^{-1}(x))=x$. Derivata di arcoseno e arcocoseno.
Registrazione della lezione del 2024-05-16 La derivata dell'arcotangente, della radice cubica, del logaritmo del valore assoluto. Definizione di derivata sinistra e destra. Casistica di punti singolari: angolosi, cuspidali, flessi verticali.
Registrazione della lezione del 2024-05-17 Definizione di punti di massimo o minimo locali, con interpretazione geometrica. Il teorema di Fermat: in un punto di massimo o minimo locale interno, la derivata, se c'è, è zero (con dimostrazione).
Registrazione della lezione del 2024-05-20 (Dott. Liessi). Esercizi sul calcolo delle derivate e sui massimi e minimi.
Registrazione della lezione del 2024-05-21 Il teorema del valor medio di Rolle, con significato geometrico. Il teorema del valor medio di Lagrange, con significato geometrico. (La registrazione è della lezione analoga del 2022).
Registrazione della lezione del 2024-05-22 Criterio pratico per dire quando una funzione è derivabile sul suo dominio guardando la formula: se la formula è una combinazione di un numero finito di polinomi, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche dirette e arcotangente, allora la funzione è derivabile sul dominio. Se la formula contiene valore assoluto, radici, arcoseno, arcocoseno o funzioni non continue, allora si può sospettare che abbia punti di non derivabilità. I teoremi del valor medio di Rolle e di Lagrange (ripresa). Il teorema del valor medio di Cauchy (solo enunciato). Conseguenze del teorema di Lagrange: il teorema della derivata nulla e la relazione fra monotonia e segno della derivata.
Registrazione della lezione del 2024-05-23 Conseguenze del teorema di Lagrange: il teorema della derivata nulla e la relazione fra monotonia e segno della derivata (ripresa). Il teorema de L'Hôpital (dimostrazione nel caso $0/0$ e $x_0$ finito). Note generali sull'uso della regola del L'Hôpital. Le derivate seconde, terze e successive, con le varie notazioni.
Registrazione della lezione del 2024-05-24 Le derivate seconde, terze e successive, con le varie notazioni. Interpretazione geometrica del segno della derivata seconda, in termini di direzione di curvatura. Posizione relativa del grafico di una funzione e della retta tangente. Definizione di funzioni convesse e di funzioni concave. Teorema sul legame fra convessità/concavità e segno della derivata seconda.
Registrazione della lezione del 2024-05-27 (Dott. Liessi). La formula di Taylor con il resto di Peano. Esistenza e unicità del polinomio di Taylor. Esempi.
Registrazione della lezione del 2024-05-28 (Dott. Liessi). Proprietà del polinomio di Taylor: proprietà algebriche, sua derivata, composizione, funzioni pari e dispari. Esempi.
Registrazione della lezione del 2024-05-29 Introduzione all'integrale: il problema dell'area delle figure curvilinee, trapezoidi, suddivisioni marcate, plurirettangoli, somme di Riemann. Le somme di Riemann si stabilizzano all'infittirsi della suddivisione: evidenze numeriche. Definizione di ampiezza di una suddivisione. La notazione dell'integrale. Definizione di integrale di una funzione secondo Riemann. La notazione dell'integrale. Cenno a definizioni alternative. La funzione $f(x)=1/\sqrt{x}$ non è integrabile secondo Riemann su $[0,1]$.
Registrazione della lezione del 2024-05-30 (Dott. Liessi). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. La formula di Taylor con il resto di Lagrange (senza dimostrazione). Maggiorazioni con il resto di Lagrange. Funzioni analitiche. Esempi.
Registrazione della lezione del 2024-06-03 Il teorema fondamentale del calcolo (senza dimostrazione). Esempi di uso del teorema fondamentale per trovare aree di trapezoidi. Definizione di primitiva (integrale indefinito, antiderivata) di una funzione. Teorema: ogni funzione continua su un intervallo ha primitiva (senza dimostrazione). Le primitive non sono mai uniche: aggiungendo una costante a una primitiva se ne ottiene un'altra. Le funzioni continue hanno primitive (senza dimostrazione). Su un intervallo due primitive di una data funzione differiscono sempre per una costante (con dimostrazione). Il problema di trovare primitive elementari di una funzione elementare non sempre ha soluzione. Cenno all'algoritmo di Risch. Alcune funzioni elementari che non hanno primitive elementari.
Registrazione della lezione del 2024-06-04 La notazione dell'integrale ``indefinito''. Linearità dell'integrale indefinito. Integrali immediati e ``quasi immediati''. Esempi.
Registrazione della lezione del 2024-06-05 Integrazione per parti. Esempi. Esempi di integrazione per parte due volte. Integrazione per sostituzione, o cambio di variabile, con esempi.
Registrazione della lezione del 2024-06-06 Integrazione delle funzioni razionali: abbassamento del grado del numeratore, decomposizione in fratti semplici, con denominatore di grado uno (o relativa potenza) o due, completamento del quadrato nel caso di grado~2. Esempi.
Registrazione della lezione del 2024-06-10 Introduzione alle funzioni di due variabili. Grafici di superficie in tre dimensioni, grafici di densità, insiemi di livello. I~grafici di polinomi di primo grado e significato geometrico dei coefficienti. Norma di un vettore, distanza fra due punti nel piano, la definizione di limite e di continuità per funzioni di due variabili. Esempi di funzioni senza limite. Casistica di cosa può succedere facendo zoom nel grafico di una funzione di due variabili: in particolare può apparire un piano.
Registrazione della lezione del 2024-06-11 Derivate parziali e loro significato geometrico. L'equazione del piano tangente. Derivate direzionali e loro significato geometrico. Un esempio in cui le derivate direzionali esistono ma non c'è il piano tangente. Come riscrivere la definizione di derivabilità in una variabile in modo che sia adatta alla generalizzazione a due variabili. Definizione formale di differenziabilità. Curve parametriche nel piano e loro vettore velocità. Il gradiente di una funzione di due variabili. La derivata di una funzione di due variabili lungo una curva parametrica. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello.
Registrazione della lezione del 2024-06-12 Il gradiente ha direzione e valore della massima pendenza direzionale. Il gradiente di funzioni di tre o più variabili. Curve di massima pendenza. Polinomi omogenei di secondo grado: casistica. Derivate parziali seconde e matrice hessiana. La formula di Taylor di ordine~2. Definizione di punti di massimo o minimo locale. Esempi. Punti stazionari. Casistica dei punti stazionari: massimi e minimi locali stretti o deboli, selle, flessi, montagne senza selle intermedie, selle piatte, sella delle scimmie e dei polipi.
Registrazione della lezione del 2024-06-13 La regola per classificare i punti stazionari di una funzione di due variabili usando la matrice hessiana. Esempio. La ricerca della retta nel piano che approssima meglio dei dati sperimentali nel senso dei minimi quadrati: soluzione esplicita.

Esami scritti:

2024-04-24: primo compitino (solo testo)
2024-06-14: secondo compitino (solo testo)
2024-06-24: scritto globale del 2024-06-24 (solo testo)
2024-07-11: scritto globale del 2024-07-11 (solo testo)
2024-07-25: scritto globale del 2024-07-25 (solo testo)
2024-09-03: scritto globale del 2024-09-03 (solo testo)
2024-09-16: scritto globale del 2024-09-16 (solo testo)
2025-02-17: scritto globale del 2025-02-17 (solo testo)

Anno Accademico 2021/22

in collaborazione col Dott. Davide Liessi

Programma dettagliato del corso, anno accademico 2021-22.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa.

Materiale didattico:

Registrazioni video delle lezioni:

27 settembre 2021. La struttura del corso e il regolamento d'esame. (Per un inconveniente tecnico la lezione non è stata registrata, chiediamo scusa).
Registrazione della lezione del 2021-09-28. Introduzione ai numeri. Numeri naturali, numeri interi relativi, numeri razionali, numeri decimali. Gli allineamenti decimali infiniti. Numeri decimali periodici e loro corrispondenza coi numeri razionali. La radice quadrata di~2 non è rappresentabile con un numero decimale periodico (senza dimostrazione). Se si trova la qualità audio della registrazione troppo scadente, ci si può rivolgere alla registrazione dell'analoga lezione del 2020-10-07, anno accademico precedente.
Registrazione della lezione del 2021-10-01. I numeri reali come allineamenti decimali infiniti periodici o no. L'allineamento 0,101001000100001\dots{} non è periodico (con dimostrazione). Dimostrazioni per assurdo. Come generare altri numeri irrazionali. I~numeri irrazionali sono tanti quanti i numeri reali (cenno). Algoritmi che generano le cifre decimali di un numero reale.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2021-10-05, parte 1, parte 2. Numeri decimali non periodici. Scrittura corretta delle formule. Potenze e radici.
Lezione del 2021-10-08. Gli algoritmi che generano numeri reali sono catalogabili in modo lessicografico con numero d'ordine $n\in\N$. Esistenza di numeri non calcolabili (non generabili da alcun algoritmo), dimostrato col metodo diagonale. Purtroppo per un disguido la lezione non si è registrata, ma si può comunque vedere la lezione corrispondente dell'anno precedente.
Registrazione della lezione del 2021-10-11. Come intuire i numeri non calcolabili. Definizione di funzione, e di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Inclusione e inclusione stretta fra insiemi. Definizione di equipotenza, o uguale numerosità, o uguale cardinalità fra insiemi. Paradossi sulla numerosità di insiemi infiniti. L'insieme $\{0,1,2,3,\dots\}$ è equipotente a $\{-1,0,1,2,3,\dots\}$. L'insieme $\Z$ dei numeri interi relativi è equipotente all'insieme $\N$ dei numeri naturali. L'insieme dei numeri pari è equipotente all'insieme dei numeri naturali.
Registrazione della lezione del 2021-10-12. Dimostrazione che l'insieme dei numeri razionali è equipotente all'insieme dei numeri naturali. Dimostrazione che l'insieme dei numeri reali non è equipotente all'insieme dei numeri naturali, usando il metodo diagonale. Insiemi numerabili e insiemi con la potenza del continuo. Cenni alla gerarchia fra le cardinalità infinite.
Registrazione della lezione del 2021-10-15. Proprietà algebriche di base di somma e prodotto fra numeri reali: commutativa, associativa, esistenza di zero e uno, esistenza di opposti e reciproci, proprietà distributiva. Proprietà di base dell'ordinamento fra numeri reali: tricotomia, transitività. Legame fra l'ordinamento e la somma: invarianza dell'ordine tramite traslazioni.
Registrazione della lezione del 2021-10-18. Proprietà di base dell'ordinamento fra numeri reali: tricotomia, transitività. Legame fra l'ordinamento e la somma: invarianza dell'ordine tramite traslazioni e invarianza dell'ordine tramite omotetie a coefficiente positivo. Cosa succede moltiplicando una disuguaglianza per un numero positivo, o negativo. Altre proprietà elementari delle disuguaglianze. Il principio di Archimede. Non ci sono numeri reali infinitamente grandi o infinitamente piccoli.
Registrazione della lezione del 2021-10-19. Nozioni di logica: distinzioni fra espressioni a valore numerico, simboliche o non, a valore logico (vero o falso) e altri, proposizioni e predicati. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, con le loro tabelle di verità. L'implicazione e la sua tabella di verità. Catene di implicazioni vere e deduzioni che se ne possono trarre.
Registrazione della lezione del 2021-10-22. La doppia implicazione, o equivalenza logica. Rassegna di implicazioni ed equivalenze sempre vere riguardo a uguaglianze e disuguaglianze. Catene di implicazioni ed equivalenze vere: la verità si propaga nella direzione delle frecce, la falsità in direzione opposta. L'implicazione e la doppia implicazione interpretate come riduzione o mantenimento della quantità di informazione: se vale $p\Rightarrow q$ e $p$ sono veri, $p$~dà più informazione rispetto a~$q$, e sostituire $p$ con~$q$ è un passaggio irreversibile. Se invece $p\iff q$, $p$~e $q$ contengono la stessa informazione, e scambiare uno con l'altro è un passaggio reversibile. Equazioni e disequazioni interpretate come predicati, e la loro soluzione come una equivalenza logica con predicati algebricamente più semplici.
Registrazione della lezione del 2021-10-25. Insiemi di numeri e i vari modi di specificarli: elenco semplice o con puntini, $\{x\in\R\mid{} $predicato$(x)\}$, $\{ $funzione$(x) \mid{}x\in $ambiente, predicato$(x)\}$. Collegamenti fra connettivi logici e operazioni insiemistiche: la congiunzione corrisponde all'intersezione, la disgiunzione corrisponde all'unione, la negazione corrisponde al complemento, l'implicazione vera corrisponde all'inclusione, la doppia implicazione vera corrisponde all'uguaglianza. Il predicato standard sempre vero e quello sempre falso. Come scrivere la risoluzione di equazioni e disequazioni usando i connettivi logici.
Registrazione della lezione del 2021-10-26. Il predicato standard sempre vero e quello sempre falso. Gli intervalli come insiemi ``senza lacune'', e loro classificazione in limitati e illimitati, aperti, chiusi o semiaperti, degeneri o non degeneri, con le varie notazioni e rappresentazioni grafiche. Come rappresentare graficamente degli insiemi sulla retta. Definizione di valore assoluto.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2021-10-29. Esercizi di logica.
Registrazione della lezione del 2021-11-02. Il valore assoluto e le sue principali proprietà. Interpretazione geometrica di $\lvert x\rvert$ come distanza di~$x$ dallo zero. Interpretazione geometrica di $\lvert x-y\rvert $ come distanza fra i punti $x$ e~$y$. Formule notevoli che coinvolgono il valore assoluto. La disuguaglianza triangolare $\lvert x+y\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert y\rvert$, e perché è così chiamata. Disequazioni con valore assoluto. Le regole logiche $p\vee{}$vero${}\iff vero$, $p\wedge{}$vero${}\iff p$, $p\vee{}$falso${}\iff p$, $p\wedge{}$falso${}\iff falso$ e come si usano nelle disequazioni.
Registrazione della lezione del 2021-11-05. Disequazioni con valori assoluti. Massimo e minimo fra due o più numeri, e come trattare simbolicamente espressioni del tipo $\max\{x,y\}$ e $\min\{x,y\}$. Disequazioni con valori assoluti, massimi e minimi.
Registrazione della lezione del 2021-11-08. Come ricavare i grafici di $|f(x)|$, $\max \{f(x), g(x)\}$ e $\lvert f(x)\rvert$ dai grafici di $f$ e~$g$. Altre funzioni notevoli: la funzione segno $\mathop{\rm sgn}x$, la parte intera, $\lfloor x\rfloor$, $\lceil x\rceil$: significato, proprietà principali e grafici.
Registrazione della lezione del 2021-11-09. Lo studio del segno di una espressione algebrica. Il caso di polinomi di primo grado e secondo grado. La regola dei segni, e lo studio del segno di un prodotto di fattori semplici, usando schemi grafici. La soluzione di disequazioni che si riportano alla regola dei segni.
Registrazione della lezione del 2021-11-12. Richiami sulle varie definizioni di potenza, a seconda delle diverse restrizioni su base ed esponente. Regole algebriche di calcolo con le potenze. Il caso pericoloso di base negativa ed esponente non intero.
Registrazione della lezione del 2021-11-16. Come si comportano le potenze a esponente intero rispetto all'ordinamento. I~casi notevoli delle potenze quadrato e cubo, con generalizzazioni alle potenze di grado pari o dispari, e alle potenze a esponente intero negativo. Applicazioni alla risoluzione di disequazioni contenenti radicali (prima parte).
Registrazione della lezione del 2021-11-19. Risoluzione di disequazioni contenenti radicali (seconda parte). Richiami sul concetto insiemistico di iniettività e suriettività di una funzione.
Registrazione della lezione del 2021-11-22. Funzioni iniettive e suriettive, e funzione inversa. La formula fondamentale $y=f(x)\iff f^{-1}(y)=x$. Le formule notevoli $f^{-1}(f(x)=x$, $f(f^{-1}(x))=x$, $(f^{-1})^{-1}=f$. Funzioni da $\R$ in~$\R$ e loro grafici. Data una curva nel piano, come si decide se è il grafico di una funzione, se questa funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva, e come si costruisce il grafico della funzione inversa usando la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Registrazione della lezione del 2021-11-23. Come si trova la formula della funzione inversa di una funzione di cui è data la formula. Esempi. Quadrato e radice quadrata, cubo e radice cubica, le radici viste come inverse delle potenze. Distinzione fra potenze ($x^a$) ed esponenziali ($a^x$). Esponenziale crescente ed esponenziale decrescente, coi rispettivi grafici. La notazione $\exp_a x=a^x$, $\exp x=e^x$ per l'esponenziale. La formula fondamentale $a^{x+y}=a^x a^y$.
Registrazione della lezione del 2021-11-26. Regole per la manipolazione di disuguaglianze con esponenziali. Grafici dell'esponenziale crescente e decrescente. I logaritmi come inverse degli esponenziali. La notazione alternativa exp per gli esponenziali. Rassegna delle formule notevoli che valgono per i logaritmi. Logaritmi e disuguaglianze.
Registrazione della lezione del 2021-11-29. Ripasso sulle funzioni trigonometriche dirette e inverse: definizioni, significato geometrico, valori notevoli, formule notevoli, grafici.
Registrazione della lezione del 2021-11-30. L'arcotangente. Esempi introduttivi al principio di induzione: $2^n\ge n$, $2^n\ge3n$.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2021-12-03, parte 1, parte 2. Esercizi sulle disequazioni.
Registrazione della lezione del 2021-12-06. L'arcotangente. Esempio introduttivo al principio di induzione: $2^n\ge 5n$. Lo schema generale del principio di induzione: il predicato $\mathcal{P}(n)$, predicati induttivi o ereditari, il caso base. Dimostrazione per induzione della disuguaglianza di Bernoulli $(1+x)^n\ge 1+nx$ per $x>-1$ e $n\in\N$.
Registrazione della lezione del 2021-12-07. L'arcotangente. La successione di Fibonacci~$F_n$ e dimostrazione per induzione della disuguaglianza $F_n\le2^n$. Variante del passo induttivo: se $({\cal P}(n)\wedge{\cal P}(n+1))\Rightarrow{\cal P}(n+2)$, con i due casi base. Le identità dei numeri triangolari $1+2+3+\cdots+n$ e dei numeri piramidali $1^2+2^2+3^2+ \cdot +n^2$, dimostrate per induzione.
A causa di un guasto al proiettore la lezione è sospesa. Si prega di vedere la registrazione delle analoghe lezioni dell'anno precedente, che sostituiscono la lezione in presenza: registrazione della lezione del 2020-12-17. (dal minuto 47 in poi), registrazione della lezione del 2020-12-23.
Registrazione della lezione del 2021-12-13. Un modo per arrivare alla definizione di limite.
Registrazione della lezione del 2021-12-14. La definizione rigorosa di limite nel caso di $x_0,L$ entrambi finiti. La condizione di sensatezza del limite. Teorema dell'unicità del limite (nel caso di $x_0,L$ entrambi finiti).
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2021-12-17, parte 1, parte 2. Esercizi sul principio di induzione.
Registrazione della lezione del 2021-12-20. Varianti della definizione di limite: $x_0$ o $L$ che valgono (uno o entrambi) $\pm\infty$, e i limiti unilaterali (da destra o da sinistra, per eccesso o difetto) $x_0^+,x_0^-,L^+,L^-$. Cenno all'infinito senza segno $\infty$, distinto da $+\infty$.
Registrazione della lezione del 2021-12-21. Il problema del calcolo dei limiti. Il teorema dell'algebra dei limiti nel caso di limiti finiti, con dimostrazione nel caso della somma. Regole di semplificazione nel calcolo dei limiti. Errori comuni nel calcolo dei limiti: la pseudoregola.
Registrazione della lezione del 2022-01-07. Limiti notevoli che non rientrano nell'algebra dei limiti: i limiti di $1/x$ per $x$ che tende a zero o infinito. Le forme indeterminate $+\infty-\infty$, $0\cdot(\pm\infty)$, $0/0$, $\infty/\infty$. Come trattare le forme non indeterminate che esulano dal teorema dell'algebra dei limiti. Il teorema del confronto, o dei due carabinieri, senza dimostrazione. Il teorema del limite della funzione composta, o del cambio di variabile nel limite, senza dimostrazione. Esempi.
Registrazione della lezione del 2022-01-10. Definizione di funzione continua in un punto, e di funzione continua (su tutto il suo dominio), con la versione in termini di $\varpsilon,\delta$. Prime proprietà delle funzioni continue. Le funzioni elementari considerate nel corso (polinomi, radici, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche) sono tutte continue, così come le loro combinazioni tramite un numero finito di quattro operazioni e di composizione. Le sole funzioni base che abbiamo introdotto e che non continue sono il segno di~$x$ e la parte intera di~$x$ (floor e ceiling). Dimostrazione che $a^n/n\to+\infty$ per $n\to+\infty$ se $a>1$, usando la disuguaglianza di Bernoulli. Limiti di rapporti di infiniti esponenziali, polinomi e logaritmi: $\lim_{x\to +\infty} a^x/x^p= +\infty$, $\lim_{x \to+\infty} x/a^x=0$, $\lim_{x \to +\infty} (\log_a x)/x=0$ se $a>1$, $p>0$. Il limite goniometrico notevole $(\sen x)/x\to1$ per $x\to0$, dedotto dalle disuguaglianze notevoli $\lvert\sen x\rvert\le\lvert x\rvert$ $\forall x\in\R$, $\lvert x\rvert\le\lvert x\rvert$ se $\lvert x\rvert<\pi/2$, dimostrate per via geometrica.
Registrazione della lezione del 2022-01-11. Il limite goniometrico fondamentale $(\sen x)/x\to1$ per $x\to0$ (conclusione). Il~limite notevole $(1-\cos x)/x^2\to1/2$ per $x\to0$. Il~limite esponenziale fondamentale $\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n \to e \approx 2.718\dots$, senza dimostrazione. Cenno al numero di Nepero~$e$ e gli esponenziali e i logaritmi naturali in base~$e$. In questo corso i logaritmi sono da intendere in base~$e$ ogniqualvolta la base non è esplicita. I~limiti esponenziali notevoli $\bigl( 1+ \frac{1}{x}\bigr)^x\to e$ per $x\to\pm\infty$, $(1+x)^{1/x}\to e$ per $x\to0$, $(e^x-1)/x\to1$ per $x\to0$, $(\log(1+x))/x\to1$ per $x\to0$ (senza dimostrazione). Le forme indeterminate esponenziali $1^\infty$ e $\infty^0$ e come si riportano alla forma $0\cdot\infty$. Casistica di limiti che non esistono: (a)~quando il limite da sinistra e il limite da destra esistono ma sono diversi, per esempio $\lim_{x\to0}\mathop{\rm sgn}x$, (b)~per funzioni oscillanti, come $\lim_{x\to+\infty}\sen x$. Come affrontare limiti indeterminati della forma $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. Ammonimento contro la pseudoregola.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-01-14. Esercizi sul calcolo dei limiti.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-02-03. Esercizi di preparazione al compito.
Registrazione della lezione del 2022-03-04. Definizione di insiemi limitati inferiormente, limitati inferiormente, limitati, illimitati superiormente, illimitati inferiormente, illimitati. Esempi. Il principio di completezza dei numeri reali: se esistono maggioranti o minoranti di un insieme, allora ne esistono di non migliorabili. Definizione di estremo superiore ed inferiore di un insieme (eventualmente illimitato).
Registrazione della lezione del 2022-03-07. Definizione di successione debolmente o strettamente crescente o decrescente. Successioni non monotone e oscillanti. Significato geometrico. Le successioni monotone hanno sempre limite, finito o infinito (dimostrazione per le successioni crescenti limitate). La successione fondamentale $(1+\frac{1}{n})^n$: generalità.
Registrazione della lezione del 2022-03-09. La successione fondamentale $(1+\frac{1}{n})^n$: dimostrazione che è (debolmente) crescente. Dimostrazione che la successione ausiliaria $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ è debolmente decrescente.
Registrazione della lezione del 2022-03-11. Queste due successioni hanno limite finito, detto numero di Nepero, compreso fra~2 e~3. Altri limiti notevoli che si deducono dalla successione fondamentale. Relazioni fra limiti e disuguaglianze: se una disuguaglianza vale per le funzioni, passando al limite la disuguaglianza si conserva se è debole, si indebolisce se è stretta. Il limite del fattoriale all'infinito.
Registrazione della lezione del 2022-03-14. Trabocchetti nel calcolo di limiti di prodotti in cui il numero di fattori è variabile. Limiti contenenti il fattoriale e affini: $n!$, $n!/n$, $n!/n^2$, $n!/$potenza, $n!/2^n$, $n!/3^n$, $n!/5^n$, $n!/$esponenziale.
Registrazione della lezione del 2022-03-16. Limiti contenenti il fattoriale e affini: $n^n$, $n^n/n!$, $\binom{2n}{n}$. La gerarchia degli infiniti.
Registrazione della lezione del 2022-03-18. La gerarchia degli infiniti campione grandi, piccoli e intermedi.
Registrazione della lezione del 2022-03-21. I~simboli di Bachman-Landau: o~piccolo, O~grande, omega piccolo, omega grande, theta grande, tilde.
Registrazione della lezione del 2022-03-23. Gli infinitesimi e la loro gerarchia. La gerarchia degli andamenti asintotici, che abbraccia infiniti, infinitesimi e costanti. Richiami sulla definizione di continuità in un punto e in tutto il dominio. Continuità delle funzioni elementari e delle loro combinazioni. Funzioni discontinue notevoli: segno e parte intera. Enunciato del teorema dell'esistenza degli zeri. Significato geometrico.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-03-28. Esercizi sul calcolo dei limiti e simboli di Landau-Bachman.
Registrazione della lezione del 2022-03-30. Dimostrazione del teorema dell'esistenza degli zeri usando il metodo di bisezione.
Registrazione della lezione del 2022-04-04. Esempi illustrativi del teorema dell'esistenza degli zeri.
Registrazione della lezione del 2022-04-06. L'immagine di un insieme tramite una funzione, o insieme dei valori assunti dalla funzione. Come si trovano il dominio e l'immagine di una funzione a partire dal grafico. Gli intervalli, visti come insiemi di numeri reali senza lacune. Il teorema dei valori intermedi: se ho una una funzione~$f$ continua definita su un intervallo~$I$, l'immagine $f(I)$ è ancora un intervallo. Definizione di funzioni monotone nelle quattro categorie: strettamente/debomente crescenti/decrescenti. Significato geometrico.
Registrazione della lezione del 2022-04-08. Richiami sulle funzioni iniettive o invertibili. Relazioni fra continuità, stretta monotonia, iniettività e avere come dominio un intervallo (senza dimostrazione). L'inversa di una funzione monotona è monotona dello stesso tipo. Definizione di valore massimo o minimo (globale) di una funzione, e di punto di massimo o minimo (globale). Come riconoscere i valori massimi o minimi e i rispettivi punti di massimo o minimo (globali) a partire dal grafico di una funzione. Enunciato del teorema di Weierstra\ss{} sui massimi e minimi.
Registrazione della lezione del 2022-04-11. Il teorema di Weierstra\ss{} sui massimi e minimi: dimostrazione col metodo di bisezione (prima parte).
Registrazione della lezione del 2022-04-13. Il teorema di Weierstra\ss{} sui massimi e minimi: dimostrazione col metodo di bisezione (seconda parte). Se lavorassimo sui razionali il teorema sarebbe falso. Rilassando le ipotesi del teorema la tesi viene meno.
Registrazione della lezione del 2022-04-20. Versione su YouTube. Introduzione al concetto di derivata.
Registrazione della lezione del 2022-04-22 (purtroppo della seconda metà della lezione si è registrato soltanto l'audio). Versione su YouTube. Introduzione al concetto di derivata (continuazione). Definizione di derivata di una funzione in un punto. Il rapporto incrementale di una funzione. Calcolo della derivata della funzione elementare $f(x)=x^2$ nel punto $x_0=1$.
Registrazione della lezione del 2022-04-27. Notazioni per la derivata. Calcolo della derivata della funzione elementare $x^2$. Teorema: se una funzione è derivabile in un punto, è anche continua in quel punto. Esempio di una funzione continua che non è derivabile in un punto.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-04-29. Esercizi sulle funzioni continue e sulla derivata.
Registrazione della lezione del 2022-05-02. Derivate delle funzioni elementari: $e^x,x^3,1/x,\log x,\sqrt{x},\sen x, \cos x$.
Registrazione della lezione del 2022-05-04. Il teorema dell'algebra delle derivate, con dimostrazione. La derivata di $x^n$ quando $n\in\Z$. La derivata della funzione tangente. La derivata della funzione composta, con cenno di dimostrazione.
Registrazione della lezione del 2022-05-06. La derivata della potenza con esponente reale. Il teorema della derivata della funzione inversa. Come ottenere la formula della derivata della funzione inversa a partire dalla relazione fondamentale $f(f^{-1}(x))=x$. Derivata di arcoseno, arcocoseno, arcotangente, radice cubica. La derivata del logaritmo del valore assoluto.
Registrazione della lezione del 2022-05-09. Definizione di derivata sinistra e destra. Casistica di punti singolari: angolosi, cuspidali, flessi verticali. Criterio pratico per dire quando una funzione è derivabile sul suo dominio guardando la formula: se la formula è una combinazione di un numero finito di polinomi, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche dirette e arcotangente, allora la funzione è derivabile sul dominio. Se la formula contiene valore assoluto, radici, arcoseno, arcocoseno o funzioni non continue, allora si può sospettare che abbia punti di non derivabilità. Definizione di punti di massimo o minimo locali, con interpretazione geometrica. Il teorema di Fermat: in un punto di massimo o minimo locale interno, la derivata, se c'è, è zero (con dimostrazione).
Registrazione della lezione del 2022-05-11. Versione su YouTube. Il teorema del valor medio di Rolle, con significato geometrico. Il teorema del valor medio di Lagrange, con significato geometrico. Il teorema del valor medio di Cauchy (solo enunciato).
Registrazione della lezione del 2022-05-13. I teoremi del valor medio di Fermat, Rolle, di Lagrange e di Cauchy (ripresa). Conseguenze del teorema di Lagrange: il teorema della derivata nulla e la relazione fra monotonia e segno della derivata.
Registrazione della lezione del 2022-05-16. Conseguenze del teorema di Lagrange: il teorema della derivata nulla e la relazione fra monotonia e segno della derivata (ripresa). Il teorema de L'Hôpital (dimostrazione nel caso $0/0$ e $x_0$ finito). Note generali sull'uso della regola del L'Hôpital.
Registrazione della lezione del 2022-05-18. Le derivate seconde, terze e successive, con le varie notazioni. Interpretazione geometrica del segno della derivata seconda, in termini di direzione di curvatura. Posizione relativa del grafico di una funzione e della retta tangente. Definizione di funzioni convesse e di funzioni concave. Teorema sul legame fra convessità/concavità e segno della derivata seconda. Nella registrazione della lezione del 2021-05-14 si può vedere un'animazione al computer che aiuta a capire il significato del segno della derivata seconda.
Registrazione della lezione del 2022-05-20. Studio di funzione. Rette asintotiche al grafico di una funzione: definizione geometrica. Criterio algebrico per trovare le rette asintotiche al grafico di una funzione. Esempi di studio di funzione. Il criterio dei minimi flessi per abbozzare un grafico con poche informazioni.
Registrazione della lezione del 2022-05-23. Esercizi sullo studio di funzione.
Registrazione della lezione del 2022-05-25. Versione su YouTube. Introduzione all'integrale: il problema dell'area delle figure curvilinee, trapezoidi, suddivisioni marcate, plurirettangoli, somme di Riemann. Le somme di Riemann si stabilizzano all'infittirsi della suddivisione: evidenze numeriche. Definizione di ampiezza di una suddivisione. La notazione dell'integrale.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-05-27. Esercizi sulle derivate e lo studio di funzione.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-05-30. Esercizi sulle derivate e lo studio di funzione.
Registrazione della lezione del 2022-06-01. Versione su YouTube. Definizione di integrale di una funzione secondo Riemann. La notazione dell'integrale. Cenno a definizioni alternative. Il teorema fondamentale del calcolo (senza dimostrazione). Esempi di uso del teorema fondamentale per trovare aree di trapezoidi. Definizione di primitiva (integrale indefinito, antiderivata) di una funzione. Teorema: ogni funzione continua su un intervallo ha primitiva (senza dimostrazione). Le primitive non sono mai uniche: aggiungendo una costante a una primitiva se ne ottiene un'altra. Su un intervallo due primitive di una data funzione differiscono sempre per una costante (con dimostrazione). Il problema di trovare primitive elementari di una funzione elementare non sempre ha soluzione. Cenno all'algoritmo di Risch. Alcune funzioni elementari che non hanno primitive elementari. Linearità dell'integrale indefinito.
Registrazione della lezione del 2022-06-03. Integrali immediati e ``quasi immediati''. Esempi. Integrazione per parti. Esempi.
Registrazione della lezione del 2022-06-06. Esempio di integrazione per parte due volte. Integrazione per sostituzione, o cambio di variabile, con esempi. Integrazione delle funzioni razionali: abbassamento del grado del numeratore, decomposizione in fratti semplici (prima parte).
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-06-08. Esercizi sullo studio di funzione e sugli integrali.
Registrazione della lezione del 2022-06-10. Decomposizione in fratti semplici con denominatore di grado uno (o relativa potenza) o due, completamento del quadrato nel caso di grado~2. Esempi.
Registrazione dell'esercitazione del Dott. Liessi del 2022-06-13. Esercizi di ricapitolazione.

Esami scritti:

2022-02-09: primo compitino (solo testo)
2022-06-24: secondo compitino (solo testo)
2022-07-11: scritto globale (solo testo).
2022-07-23: scritto globale (solo testo).
2024-02-15: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2020/21

Programma dettagliato del corso, anno accademico 2020-21.

Libro di testo: McGraw-Hill e-book dal titolo Analisi Matematica, Custom Publishing McGraw-Hill, Prof. Gianluca Gorni, M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, ISBN: 9781308323664. L'edizione cartacea 2013-14 del libro, con qualche materiale in meno, forse è ancora ordinabile presso la Libreria Moderna Udinese, via Cavour 13, Udine. Il libro originale su cui è basato l'e-book ha anche un sito internet dedicato.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa.

Materiale didattico:

Appunti della lezione del 2021-06-07.
Appunti cumulati di tutte le lezioni.
Lucidi sui teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange: (1) file da scaricare, per aprire il quale occorre il programma gratuito Wolfram Player. (2) versione visibile da browser su cloud.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB).

Registrazioni video delle lezioni:

Registrazione della prima parte della lezione del 2020-09-30. Generalità sul corso e sull'esame.
Registrazione della lezione del 2020-10-07, parte 1. Numeri interi relativi, numeri razionali, numeri reali e loro visualizzazione geometrica. Gli allineamenti decimali infiniti. Numeri decimali periodici. L'allineamento 0,101001000100001\dots{} non è periodico (con dimostrazione). Dimostrazioni per assurdo. Come generare altri numeri irrazionali. I numeri reali come allineamenti decimali infiniti periodici o no. Fra due numeri reali distinti esistono sempre infiniti razionali e infiniti irrazionali.
Registrazione della lezione del 2020-10-07, parte 2. Algoritmi che generano un allineamento decimale. Esistono numeri decimali che non sono generati da un algoritmo? Esistenza di numeri non calcolabili (non generabili da alcun algoritmo), dimostrato col metodo diagonale.
Registrazione della lezione del 2020-10-08. Come intuire i numeri non calcolabili. Richiami sull'equipotenza fra insiemi. L'albergo di Hilbert. Insiemi numerabili. Dimostrazione che l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri razionali sono numerabili. Dimostrazione che l'insieme dei numeri reali non è numerabile, col metodo diagonale.
Registrazione della lezione del 2020-10-14, parte 1. Cenno alle principali cardinalità: finite, numerabili, non numerabili. Proprietà algebriche di base di somma e prodotto fra numeri reali: commutativa, associativa, esistenza di zero e uno, esistenza di opposti e reciproci, proprietà distributiva.
Registrazione della lezione del 2020-10-14, parte 2. Proprietà di base dell'ordinamento fra numeri reali: tricotomia, transitività. Legame fra l'ordinamento e la somma: invarianza dell'ordine tramite traslazioni e invarianza dell'ordine tramite omotetie a coefficiente positivo.
Registrazione della lezione del 2020-10-15. Cosa succede moltiplicando una disuguaglianza per un numero positivo, o negativo. Altre proprietà elementari delle disuguaglianze.
Registrazione della lezione del 2020-10-21, parte 1. Il principio di Archimede. Non ci sono numeri reali infinitamente grandi o infinitamente piccoli. Nozioni di logica: distinzioni fra espressioni a valore numerico, simboliche o non, a valore logico (vero o falso) e altri, proposizioni e predicati. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, con le loro tabelle di verità.
Registrazione della lezione del 2020-10-21, parte 2. L'implicazione e la sua tabella di verità. Catene di implicazioni vere e deduzioni che se ne possono trarre.
Registrazione della lezione del 2020-10-22. La doppia implicazione, o equivalenza. Rassegna di implicazioni ed equivalenze sempre vere riguardo a uguaglianze e disuguaglianze. Catene di implicazioni ed equivalenze vere: la verità si propaga nella direzione delle frecce, la falsità in direzione opposta. Esercizi.
Registrazione dell'esercitazione del 2020-10-28, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Esercizi su insiemi e logica.
Registrazione della lezione del 2020-10-28. La doppia implicazione, o equivalenza. Rassegna di implicazioni ed equivalenze sempre vere riguardo a uguaglianze e disuguaglianze. Catene di implicazioni ed equivalenze vere: la verità si propaga nella direzione delle frecce, la falsità in direzione opposta.
Registrazione della prima parte e della seconda parte della lezione del 2020-11-04. Insiemi di numeri: vari modi di specificarli: elenco semplice o con puntini, $\{x\in\R\mid{} $predicato$(x)\}$, $\{ $funzione$(x) \mid{} $predicato$(x)\}$. Collegamenti fra connettivi logici e operazioni insiemistiche: la congiunzione corrisponde all'intersezione, la disgiunzione corrisponde all'unione, la negazione corrisponde al complemento, l'implicazione vera corrisponde all'inclusione, la doppia implicazione vera corrisponde all'uguaglianza. Gli intervalli limitati e illimitati, aperti, chiusi o semiaperti, propri o impropri, le varie notazioni e rappresentazioni grafiche. Il predicato standard sempre vero e quello sempre falso. Come scrivere la risoluzione di equazioni e disequazioni usando i connettivi logici.
Registrazione della lezione del 2020-11-05. Come rappresentare graficamente degli insiemi sulla retta. Il valore assoluto e le sue principali proprietà. La disuguaglianza triangolare. Interpretazione geometrica di $|x-y|$ come distanza fra i punti $x$ e $y$. Disequazioni con valore assoluto.
Registrazione della lezione del 2020-11-11, parte 1. Disequazioni con valori assoluti. Massimo e minimo fra due o più numeri, e come trattare simbolicamente espressioni del tipo $\max\{x,y\}$ e $\min\{x,y\}$. Disequazioni con valori assoluti, massimi e minimi.
Registrazione della lezione del 2020-11-11, parte 2. Disequazioni con valori assluti, massimi e minimi.
Registrazione della lezione del 2020-11-12. Come ricavare i grafici di $\max \{f(x), g(x)\}$ e $\lvert f(x)\rvert$ dai grafici di $f$ e~$g$. La funzione segno $\mathop{\rm sgn}x$, la parte intera, $\lfloor x\rfloor$, $\lceil x\rceil$.
Registrazione della lezione del 2020-11-18, parte 1. Lo studio del segno e la soluzione di disequazioni che si riportano alla regola dei segni.
Registrazione della lezione del 2020-11-18, parte 2. Ripasso di definizioni e proprietà algebriche delle potenze. Regole algebriche di calcolo con le potenze. Il caso pericoloso di base negativa ed esponente non intero.
Registrazione della lezione del 2020-11-19. Come si comportano le potenze a esponente intero rispetto all'ordinamento. I casi notevoli delle potenze quadrato e cubo, con generalizzazioni alle potenze di grado pari o dispari, e alle potenze a esponente intero negativo. Applicazioni alla risoluzione di disequazioni contenenti radicali (prima parte).
Registrazione dell'esercitazione del 2020-11-25, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Disequazioni.
Registrazione della lezione del 2020-11-25. Disequazioni irrazionali delle forme $\sqrt{A}\ge B$ e $\sqrt{A}\le B$, e come si riconducono a sistemi senza radici quadrate. Esempi di disequazioni con radice quadrata.
Registrazione della lezione del 2020-11-26. Funzioni iniettive e suriettive, e funzione inversa. La formula fondamentale $y=f(x)\iff f^{-1}(y)=x$. Le formule notevoli $f^{-1}(f(x)=x$, $f(f^{-1}(x))=x$, $(f^{-1})^{-1}=f$. Funzioni da $\R$ in~$\R$ e loro grafici. Data una curva nel piano, come si decide se è il grafico di una funzione, se questa funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva, e come si costruisce il grafico della funzione inversa usando la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Registrazione della lezione del 2020-12-02, parte 1. Quadrato e radice quadrata, cubo e radice cubica, le radici viste come inverse delle potenze. Distinzione fra potenze ($x^a$) ed esponenziali ($a^x$). Regole per la manipolazione di disuguaglianze con esponenziali. Grafici dell'esponenziale crescente e decrescente.
Registrazione della lezione del 2020-12-02, parte 2. I logaritmi come inverse degli esponenziali. La notazione alternativa exp per gli esponenziali. Rassegna delle formule notevoli che valgono per i logaritmi. Logaritmi e disuguaglianze.
Registrazione della lezione del 2020-12-03. Ripasso sulle funzioni trigonometriche dirette e inverse: definizioni, significato geometrico, valori notevoli, formule notevoli, grafici.
Registrazione della lezione del 2020-12-09, parte 1. Esempio introduttivo al principio di induzione: $2^n\ge n$.
Registrazione della lezione del 2020-12-09, parte 2. Esempi introduttivi al principio di induzione: $2^n\ge n$, $2^n\ge3n$, $2^n\ge 5n$.
Registrazione della lezione del 2020-12-10. Esempio del principio di induzione: $2^n\ge n^2$. Enunciato del principio di induzione in generale e nella variante più semplice. La disuguaglianza di Bernoulli $(1+x)^n\ge1+nx$ per $x>-1$, $n\in\N$, dimostrata per induzione. Variante del passo induttivo: se $({\cal P}(n)\wedge{\cal P}(n+1))\Rightarrow{\cal P}(n+2)$. La successione di Fibonacci~$F_n$ e dimostrazione per induzione della disuguaglianza $F_n\le2^n$ (prima parte).
Registrazione dell'esercitazione del 2020-12-16, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Induzione.
Registrazione della lezione del 2020-12-16. L'induzione che usa come passo $({\cal P}(n)\wedge{\cal P}(n+1))\Rightarrow{\cal P}(n+2)$: interpretazione in termine di stringhe che non contengono la sequenza VVF. Esempi usando la successione di Fibonacci.
Registrazione della lezione del 2020-12-17. Versione su YouTube. Le identità dei numeri triangolari $1+2+3+\cdots+n$ e dei numeri piramidali $1^2+2^2+3^2+ \cdot +n^2$, dimostrate per induzione. Esempi introduttivi al concetto di limite.
, Versione su YouTube. Registrazione della lezione del 2020-12-23, parte 1. Esempi introduttivi al concetto di limite.
Registrazione della lezione del 2020-12-23, parte 2. Un modo per arrivare alla definizione di limite.
Registrazione della lezione del 2021-01-07. La definizione rigorosa di limite nel caso di $x_0,L$ entrambi finiti. La condizione di sensatezza del limite. Teorema dell'unicità del limite (nel caso di $x_0,L$ entrambi finiti). Varianti della definizione di limite: $x_0$ finito e $L=+\infty$, oppure $x_0=+\infty$ e $L$ finito.
Registrazione della lezione del 2021-01-13, parte 1. Casistica dei limiti con $x_0$ oppure $L$ che valgono $\pm\infty$ e limiti unilaterali. Il problema del calcolo dei limiti. Il teorema dell'algebra dei limiti nel caso di limiti finiti, con dimostrazione nel caso della somma.
Registrazione della lezione del 2021-01-13, parte 2. Forme indeterminate $+\infty - \infty$, $0\cdot\infty$, $0/0$, $\infty /\infty$. Allenamento sulle forme indeterminate.. Errori comuni nel calcolo dei limiti. Limiti elementari di base.
Registrazione della lezione del 2021-01-14. Limiti di rapporti di infiniti esponenziali, polinomi e logaritmi: se $a>1$ $\lim_{x\to +\infty} a^x/x= +\infty$, $\lim_{x \to+\infty} x/a^x=0$, $\lim_{x \to +\infty} (log(x))/x=0$. Definizione di funzione continua. Le sole funzioni considerate nel corso e che non sono continue sono quelle contenenti il segno di~$x$ e la parte intera di~$x$, le altre sono tutte continue. Il teorema del confronto, o dei carabinieri (senza dimostrazione). Esempi di uso del teorema del confronto. Il teorema del limite della funzione composta, o cambio di variabile nel limite (senza dimostrazione). Esempi di cambio di variabile nel limite. Il limite fondamentale $(\sen x)/x\to1$ per $x\to0$. Il limite fondamentale $\lim_{n\to+\infty} (1+\frac{1}{n} )^n =e\approx 2.718$ (senza dimostrazioni). Limiti notevoli conseguenza: $\lim_{x\to \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$, $\lim_{x \to0^\pm} (1+ x)^{ 1/x}=e$, il logaritmo in base~$e$ è il logaritmo di default, $\lim_{x \to0} (\log(1+x))/x=1$, $\lim_{x\to0}(e^x-1)/x=1$. Il limite notevole $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2 =1/2$.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-01-20, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Limiti.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-01-28, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Esercizi di ripasso.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-02-03, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Esercizi di ripasso.
Registrazione della lezione del 2021-03-01. Definizione di massimo e minimo di un insieme. Unicità e possibile esistenza o non esistenza del massimo e minimo. Definizione di maggiorante e di minorante di un insieme. Non unicità: i maggioranti e i minoranti, quando ne esistono, sono sempre ``peggiorabili''. Definizione di insiemi limitati inferiormente, limitati inferiormente, limitati, illimitati superiormente, illimitati inferiormente, illimitati. Esempi.
Registrazione della lezione del 2021-03-05. Il principio di completezza dei numeri reali: se esistono maggioranti o minoranti di un insieme, allora ne esistono di non migliorabili. Definizione di estremo superiore ed inferiore di un insieme (eventualmente illimitato). Disuguaglianze trigonometriche notevoli: $\lvert\sen x\rvert\le\lvert x\rvert$, $\lvert x\rvert\le\lvert\tan x \rvert$. Dimostrazione del limite fondamentale $(\sen x)/x\to1$ per $x\to0$. Definizione di successione debolmente o strettamente crescente o decrescente.
Registrazione della lezione del 2021-03-08, parte 1. Le successioni monotone hanno sempre limite, finito o infinito (dimostrazione per le successioni crescenti limitate). La successione fondamentale $(1+\frac{1}{n})^n$: dimostrazione che è (debolmente) crescente.
Registrazione della lezione del 2021-03-08, parte 2. Dimostrazione che la successione ausiliaria $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ è debolmente decrescente. Queste due successioni hanno limite finito, detto numero di Nepero, compreso fra~2 e~3. Altri limiti notevoli che si deducono dalla successione fondamentale.
Registrazione della lezione del 2021-03-12. Dimostrazione che la successione ausiliaria $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ è Limiti notevoli che si deducono dalla successione fondamentale. Relazioni fra limiti e disuguaglianze: se una disuguaglianza vale per le funzioni, passando al limite la disuguaglianza si conserva se è debole, si indebolisce se è stretta. Il limite del fattoriale all'infinito. Trabocchetti nel calcolo di limiti di prodotti in cui il numero di fattori è variabile. Limiti contenenti il fattoriale e affini: $n!$, $n!/n$, $n!/n^2$, $n!/$potenza, $n!/2^n$, $n!/3^n$.
Registrazione della lezione del 2021-03-15, parte 1. Limiti contenenti il fattoriale e affini: $n!/5^n$, $n!/$esponenziale, $n^n$, $n^n/n!$, $\binom{2n}{n}$.
Registrazione della lezione del 2021-03-15, parte 2. La gerarchia degli infiniti campione grandi e piccoli.
Registrazione della lezione del 2021-03-19. La gerarchia degli infiniti campione grandi, piccoli e intermedi. I~simboli di Bachman-Landau: o~piccolo, O~grande, omega piccolo, omega grande, theta grande, tilde.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-02-22, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Limiti discreti e simboli di Landau.
Registrazione della lezione del 2021-03-22. Richiami sulla definizione di continuità in un punto e in tutto il dominio. Continuità delle funzioni elementari e delle loro combinazioni. Funzioni discontinue notevoli: segno e parte intera. Passando al limite, le disuguaglianze deboli si conservano, mentre quelle forti si indeboliscono. Richiamo sull'esistenza del limite delle successioni monotone. Enunciato del teorema dell'esistenza degli zeri. Significato geometrico. Il teorema è falso se ambientato fra i numeri razionali.
Registrazione della lezione del 2021-03-26. Dimostrazione del teorema dell'esistenza degli zeri usando il metodo di bisezione. Un esempio concreto in cui la procedura di bisezione non ha termine.
Registrazione della lezione del 2021-03-29, parte 1. Esempi illustrativi del teorema dell'esistenza degli zeri. L'immagine di un insieme tramite una funzione, o insieme dei valori assunti dalla funzione. Come si trovano il dominio e l'immagine di una funzione a partire dal grafico. Gli intervalli, visti come insiemi di numeri reali senza lacune. Il teorema dei valori intermedi: se ho una una funzione~$f$ continua definita su un intervallo~$I$, l'immagine $f(I)$ è ancora un intervallo.
Registrazione della lezione del 2021-03-29, parte 2. Definizione di funzioni monotone nelle quattro categorie: strettamente/debomente crescenti/decrescenti. Significato geometrico. Richiami sulle funzioni iniettive o invertibili. Relazioni fra continuità, stretta monotonia, iniettività e avere come dominio un intervallo (senza dimostrazione). L'inversa di una funzione monotona è monotona dello stesso tipo. Definizione di valore massimo o minimo (globale) di una funzione, e di punto di massimo o minimo (globale). Come riconoscere i valori massimi o minimi e i rispettivi punti di massimo o minimo (globali) a partire dal grafico di una funzione.
Registrazione della lezione del 2021-04-09. Il teorema di Weierstraß sui massimi e minimi, dimostrato usando il metodo di bisezione. Se lavorassimo sui razionali il teorema sarebbe falso.
Registrazione della lezione del 2021-04-12, parte 1. Osservazioni generali sui teoremi sulle proprietà globali delle funzioni continue. Introduzione al concetto di derivata.
Registrazione della lezione del 2021-04-12, parte 2. Introduzione al concetto di derivata.
Registrazione della lezione del 2021-04-16. Definizione di derivata di una funzione in un punto. Il rapporto incrementale di una funzione. Notazioni per la derivata. Calcolo della derivata della funzione elementare $x^2$. Teorema: se una funzione è derivabile in un punto, è anche continua in quel punto. Esempio di una funzione continua che non è derivabile in un punto.
Registrazione della lezione del 2021-04-19, parte 1. Derivate delle funzioni elementari: $e^x,x^3,1/x,\log x,\sqrt{x},\sen x, \cos x$.
Registrazione della lezione del 2021-04-19, parte 2. Il teorema dell'algebra delle derivate, con dimostrazione. La derivata di $x^n$ quando $n\in\Z$. La derivata della funzione tangente. La derivata della funzione composta, con cenno di dimostrazione.
Registrazione della lezione del 2021-04-23. La derivata della potenza con esponente reale. Il teorema della derivata della funzione inversa. Come ottenere la formula della derivata della funzione inversa a partire dalla relazione fondamentale $f(f^{-1}(x))=x$. Derivata di arcoseno, arcocoseno, arcotangente, radice cubica. La derivata del logaritmo del valore assoluto. Definizione di derivata sinistra e destra. Casistica di punti singolari: angolosi, cuspidali, flessi verticali. Criterio pratico per dire quando una funzione è derivabile sul suo dominio guardando la formula: se la formula è una combinazione di un numero finito di polinomi, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche dirette e arcotangente, allora la funzione è derivabile sul dominio. Se la formula contiene valore assoluto, radici, arcoseno, arcocoseno o funzioni non continue, allora si può sospettare che abbia punti di non derivabilità.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-04-26, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi: parte 1, parte 2. Continuità, monotonia, derivabilità.
Registrazione della lezione del 2021-04-30. Definizione di punti di massimo o minimo locali, con interpretazione geometrica. Il teorema di Fermat: in un punto di massimo o minimo locale interno, la derivata, se c'è, è zero (con dimostrazione).
Registrazione della lezione del 2021-05-07. Il teorema del valor medio di Rolle, con significato geometrico. Il teorema del valor medio di Lagrange, con significato geometrico. Il teorema del valor medio di Cauchy (solo enunciato).
Registrazione della lezione del 2021-05-10, parte 1. I teoremi del valor medio di Rolle, di Lagrange e di Cauchy (ripresa). Conseguenze del teorema di Lagrange: il teorema della derivata nulla.
Registrazione della lezione del 2021-05-10, parte 2. La relazione fra monotonia e segno della derivata. Il teorema de L'Hôpital (dimostrazione nel caso $0/0$ e $x_0$ finito). Note generali sull'uso della regola del L'Hôpital.
Registrazione della lezione del 2021-05-14. Le derivate seconde, terze e successive, con le varie notazioni. Interpretazione geometrica del segno della derivata seconda, in termini di direzione di curvatura. Posizione relativa del grafico di una funzione e della retta tangente. Definizione di funzioni convesse e di funzioni concave. Teorema sul legame fra convessità/concavità e segno della derivata seconda (prima parte).
Registrazione della lezione del 2021-05-17, parte 1. Teorema sul legame fra convessità/concavità e segno della derivata seconda (seconda parte). Rette asintotiche al grafico di una funzione: definizione geometrica.
Registrazione della lezione del 2021-05-17, parte 2. Criterio algebrico per trovare le rette asintotiche al grafico di una funzione. Esempi di studio di funzione. Il criterio dei minimi flessi per abbozzare un grafico con poche informazioni.
Registrazione della lezione del 2021-05-21. Esercizi su derivate, studio di funzione e limiti.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-05-24, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi: parte 1, parte 2. Derivabilità, studio di funzione, limiti.
Registrazione della lezione del 2021-05-28. Introduzione all'integrale: il problema dell'area delle figure curvilinee, trapezoidi, suddivisioni marcate, plurirettangoli, somme di Riemann. Le somme di Riemann si stabilizzano all'infittirsi della suddivisione: evidenze numeriche. Definizione di ampiezza di una suddivisione. Definizione di integrale di una funzione secondo Riemann. La notazione dell'integrale. Cenno a definizioni alternative. Il teorema fondamentale del calcolo (senza dimostrazione). Esempi di uso del teorema fondamentale per trovare aree di trapezoidi.
Registrazione della lezione del 2021-05-31, parte 1. Definizione di primitiva (integrale indefinito, antiderivata) di una funzione. Teorema: ogni funzione continua su un intervallo ha primitiva (senza dimostrazione). Le primitive non sono mai uniche: aggiungendo una costante a una primitiva se ne ottiene un'altra. Su un intervallo due primitive di una data funzione differiscono sempre per una costante (con dimostrazione). Il problema di trovare primitive elementari di una funzione elementare non sempre ha soluzione. Cenno all'algoritmo di Risch. Elenco di funzioni elementari che non hanno primitiva elementare.
Registrazione della lezione del 2021-05-31, parte 2. Regole elementari di integrazione: linearità, integrali immediati e ``quasi immediati''.
Registrazione della lezione del 2021-06-04. Integrali quasi immediati. Integrazione per parti. Esempio di integrazione per parte due volte. Integrazione per sostituzione, o cambio di variabile, con esempi.
Registrazione della lezione del 2021-06-07, parte 1. Integrazione delle funzioni razionali: abbassamento del grado del numeratore, decomposizione in fratti semplici con denominatore di grado uno o due (o relativa potenza).
Registrazione della lezione del 2021-06-07, parte 2. Completamento del quadrato nel caso di grado~2. Esempi.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-06-14, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Integrali riconducibili agli immediati, per parti, per sostituzione, di razionali fratte.
Registrazione dell'esercitazione del 2021-06-21, tenuta dal Prof. Nizar Salahi al Asbahi. Esercizi di riepilogo: limiti, studio di funzione, integrali.

Esami scritti:

2021-02-10: primo compitino (solo testo)
2021-06-24: secondo compitino (solo testo)
2021-07-07: scritto globale (solo testo).
2021-07-23: scritto globale (solo testo).
2021-09-06: scritto globale (solo testo).
2022-02-01: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2019/20

Lo scritto globale di Analisi Matematica per Informatica e IBW del 4 settembre 2020 si svolgerà da casa in remoto. Il testo sarà disponibile dalle 9:00 sulla pagina personale del docente, su e-Learning e su Teams. Sul calendario di Teams è previsto l'esame. Gli studenti dovranno collegarsi al meeting con la telecamera accesa tutto il tempo, e presentare i documenti a richiesta, tenendo d'occhio la chat.
Il compito sarà simile a quelli degli anni scorsi, con l'eccezione dei polinomi di Taylor, che quest'anno non sono stati svolti.
Al termine della prova lo studente fotograferà o scansionerà il compito manoscritto in modo leggibile, comprendendo la tessera universitaria e la carta d'identità, e scrivendo una dichiarazione firmata di non aver imbrogliato.
La consegna avverrà tramite email indirizzata al docente. Farà fede l'ora di spedizione della mail, lasciando un margine di tolleranza di 20 minuti oltre alle tre ore del compito per il tempo di scansione e spedizione. Si consiglia di collaudare la scansione nei giorni precedenti.

Programma dettagliato del corso.

Avviso Più sotto in questa pagina sono scaricabili gli svolgimenti dettagliati dei compitini degli anni accademici 2014-15, 2013-14, 2012-13, 2011-12, 2010-11.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa.

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player.
Un videogioco che aiuta a capire la definizione di limite. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player.
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player.
Un'introduzione al concetto di derivata. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player.
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram Player.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Registro delle lezioni.

Registrazioni video delle lezioni (richiedono Flash, collaudate su Firefox):

30 settembre 2019, struttura del corso e dell'esame, introduzione ai numeri naturali.
1 ottobre 2019, insiemi numerici.
4 ottobre 2019, numeri calcolabili e non calcolabili.
7 ottobre 2019, cardinalità e insiemi numerabili.
8 ottobre 2019, potenza del continuo, algebra dei numeri reali.
14 ottobre 2019, ordinamento dei numeri reali.
15 ottobre 2019, logica, proposizioni e predicati
22 ottobre 2019, connettivi logici, implicazioni semplici e doppie
25 ottobre 2019, implicazioni ed equivalenze
28 ottobre 2019, catene di implicazioni vere.
29 ottobre 2019, logica e insiemi.
4 novembre 2019, puntini e intervalli.
11 novembre 2019, valore assoluto.
12 novembre 2019, valore assoluto, max, min. Stranamente non si sono registrati gli ultimi venti minuti della lezione.
15 novembre 2019, segno, parte intera, potenze.
18 novembre 2019, disequazioni con radice quadrata.
19 novembre 2019, disequazioni con radice quadrata.
25 novembre 2019, funzioni inverse.
29 novembre 2019, inverse, esponenziali, logaritmi.
2 dicembre 2019, logaritmi, funzioni trigonometriche, studio del segno.
3 dicembre 2019, studio del segno, introduzione all'induzione.
9 dicembre 2019, induzione.
10 dicembre 2019, induzione.
13 dicembre 2019, induzione.
16 dicembre 2019, massimo e minimo.
17 dicembre 2019, sup e inf.
20 dicembre 2019, esercizi su sup e inf.
23 dicembre 2019, esempi introduttivi al concetto di limite.
7 gennaio 2020, definizione di limite.
10 gennaio 2020, definizione di limite (continuazione). Per un inconveniente tecnico si è registrato il solo audio.
13 gennaio 2020, unicità del limite.
14 gennaio 2020, algebra dei limiti.
17 gennaio 2020, calcolo dei limiti.
La lezione frontale di Analisi del 3 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 5 marzo 2019, su limiti notevoli, successioni monotòne.
La lezione frontale di Analisi del 5 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 6 marzo 2019, sulla successione fondamentale (1+1/n)^n e il numero di Nepero.
La lezione frontale di Analisi del 10 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione dell'8 marzo 2019, su limiti e disuguaglianze e il fattoriale.
La lezione frontale di Analisi del 12 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 12 marzo 2019, sui limiti con fattoriali.
La lezione frontale di Analisi del 17 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 13 marzo 2019, sula gerarchia degli infiniti e i simboli di Bachman-Landau.
La lezione frontale di Analisi del 19 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 19 marzo 2019, sul teorema dell'esistenza degli zeri.
La lezione frontale di Analisi del 24 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 20 marzo 2019, sul teorema dell'esistenza degli zeri (seconda parte).
La lezione frontale di Analisi del 26 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 22 marzo 2019, su valori intermedi, monotonia, invertibilità.
La lezione frontale di Analisi del 31 marzo 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 26 marzo 2019, sul teorema di Weierstraß sui massimi e minimi.
La lezione frontale di Analisi del 7 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 27 marzo 2019, sui massimi e minimi globali e locali.
La lezione frontale di Analisi del 9 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 29 marzo 2019, che introduce alla derivata.
La lezione frontale di Analisi del 13 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 2 aprile 2019, su rapporto incrementale e derivata.
La lezione frontale di Analisi del 16 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 3 aprile 2019, sull'algebra delle derivate.
La lezione frontale di Analisi del 21 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 5 aprile 2019, sulle regole di calcolo delle derivate.
La lezione frontale di Analisi del 28 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 9 aprile 2019, sul calcolo delle derivate.
La lezione frontale di Analisi del 30 aprile 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 10 aprile 2019, sui punti singolari e il teorema di Fermat.
5 maggio 2020, sui teoremi del valor medio di Rolle, Lagrange, Cauchy. Appunti scritti.
7 maggio 2020, sulle conseguenze dei teoremi del valor medio: derivata nulla, monotonia e segno della derivata, teorema de L'Hôpital. Appunti scritti.
12 maggio 2020, uso della regola de L'Hôpital. Derivata seconda, terza e successive. Il significato geometrico della derivata seconda. Appunti scritti.

19 maggio 2020, asintoti obliqui del grafico di una funzione, introduzione all'integrale.

Appunti scritti.

La lezione frontale di Analisi del 21 maggio 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 17 maggio 2019, sull'integrale, a partire dal minuto 30 in poi..
La lezione frontale di Analisi del 26 maggio 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 21 maggio 2019, sugli integrali immediati..
La lezione frontale di Analisi del 28 maggio 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 22 maggio 2019, sull'integrale per parti e per sostituzione..
La lezione frontale di Analisi del 4 giugno 2020 viene sostituita dalla visione della registrazione della lezione del 28 maggio 2019, sull'integrale per parti e per sostituzione..
Gli studenti sono invitati a vedere la registrazione della lezione del 29 maggio 2019, integrale di funzioni razionali..

Esami scritti:

2020-02-12: primo compitino (solo testo)
2020-06-24: secondo compitino (solo testo)
2020-07-07: scritto globale (solo testo).
2020-07-23: scritto globale (solo testo).
2020-09-04: scritto globale (solo testo).
2021-02-04: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2018/19

Programma dettagliato del corso.

Avviso Più sotto in questa pagina sono scaricabili gli svolgimenti dettagliati dei compitini degli anni accademici 2014-15, 2013-14, 2012-13, 2011-12, 2010-11.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa.

Dispense:

Registro delle lezioni.

Registrazioni video delle lezioni (richiedono Flash, collaudate su Firefox):

Esami scritti:

2019-02-05: primo compitino (solo testo)
2019-06-27: secondo compitino (solo testo)
2019-07-08: compito globale (solo testo)
2019-07-24: compito globale (solo testo)
2019-09-09: compito globale (solo testo)

Anno Accademico 2017/18

Programma dettagliato del corso.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa:

esercizi per casa.

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un videogioco che aiuta a capire la definizione di limite. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un'introduzione al concetto di derivata. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Illustrazioni sui polinomi di Taylor in formato pdf e in formato cdf. Per aprire il file cdf occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Registro delle lezioni.

Registrazioni video di alcune lezioni (richiedono Flash, collaudate su Firefox, non funzionano con Safari):

Esami scritti:

2018-02-02: primo compitino (solo testo).
2018-06-18: secondo compitino (solo testo).
2018-07-04: scritto globale (solo testo).
2018-07-25: scritto globale (solo testo).
2018-09-06: scritto globale (solo testo).
2019-02-07: scritto globale (solo testo)

Anno Accademico 2016/17

Programma dettagliato del corso.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa:

esercizi per casa.

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un videogioco che aiuta a capire la definizione di limite. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un'introduzione al concetto di derivata. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Illustrazioni sui polinomi di Taylor in formato pdf e in formato cdf. Per aprire il file cdf occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2017-02-08: primo compitino (solo testo).
2017-06-22: secondo compitino (solo testo).
2017-07-06: scritto globale (solo testo).
2017-07-24: scritto globale (solo testo).
2017-09-11: scritto globale (solo testo).
2018-02-05: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2015/16

Programma del corso.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa:

esercizi per casa.

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite (70K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Un'introduzione al concetto di derivata. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Illustrazioni sui polinomi di Taylor in formato pdf e in formato cdf. Per aprire il file cdf occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2016-02-08: primo compitino (solo testo).
2016-06-28: secondo compitino (solo testo).
2016-07-08: scritto globale (solo testo).
2016-07-26: scritto globale (solo testo).
2016-09-02: scritto globale (solo testo).
2017-02-10: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2014/15

Programma del corso.

Libro di testo: McGraw-Hill e-book dal titolo Analisi Matematica, Custom Publishing McGraw-Hill, Prof. Gianluca Gorni, M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, ISBN: 9781308323664. L'edizione cartacea 2013-14 del libro, con qualche materiale in meno, è disponibile presso la Libreria Moderna Udinese, via Cavour 13, Udine. Il libro originale su cui è basato l'e-book ha anche un sito internet dedicato.

A chi consegna uno scritto globale vengono annullati i compitini e gli scritti globali precedenti (vale solo l'ultimo scritto consegnato).

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Anno Accademico 2013/14

Programma del corso.

Libro di testo: Analisi Matematica, Custom Publishing McGraw-Hill, Prof. Gianluca Gorni, Prof. Paolo Baiti (M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli), ISBN: 978-11-219-5647-6. Il libro è disponibile presso la Libreria Moderna Udinese, via Cavour 13, Udine. Il libro ha anche un sito internet dedicato.

Regolamento d'esame. Ci sono tre modi per ottenere i crediti del corso: (a) due prove parziali scritte senza orale, (b) due prove parziali scritte più orale, (c) un singolo scritto globale più orale. Al termine dei due periodi didattici si svolgono i 2 "compitini" (prove parziali), ognuno con votazione data in trentesimi. Chi prende meno di 12 in un compitino deve passare alla modalità scritto globale più orale.

Al momento dell'iscrizione al secondo compitino si è pregati di iscriversi su esse3 anche al primo appello orale estivo. Per chi supera tutti e due i compitini con voto di almeno 12, viene calcolata la media dei due voti, arrotondata per eccesso, e troncata al tetto massimo di 30; tale media, quando di almeno 18, verrà inserita come esito provvisorio su esse3 al primo appello orale estivo. (Chi non risulterà iscritto a quell'appello orale andrà incontro a ritardi nella registrazione dei voti).

Lo studente con media minore di 18 (ma almeno 12) non la troverà riportata su esse3. Può presentarsi all'orale con tale media come voto di partenza, oppure passare alla modalità scritto globale più orale. Se consegna lo scritto globale i compitini vengono annullati.

Gli orali sono di sola teoria, su teoremi elencati dettagliatamente nel programma del corso. Chi venga respinto all'esame orale deve rifare sia lo scritto che l'orale.

I compitini e gli scritti non hanno scadenza di validità ai fini di quando fare l'orale.

Esercizi per casa:

esercizi per casa (aggiornato il 2014-06-06).

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite (32K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un'introduzione al concetto di derivata. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player.
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2014-02-11: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2014-06-19: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2014-07-03: scritto globale (solo testo).
2014-07-29: scritto globale (solo testo).
2014-09-02: scritto globale (solo testo).
2014-09-16: scritto globale (solo testo).
2015-02-05: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2012/13

Programma del corso.

Libro di testo: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, MacGraw-Hill, ISBN: 9788838662348. Seconda Edizione, ISBN 9788838662812. Il libro ha anche un sito internet dedicato

Esercizi per casa:

esercizi per casa.

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite (32K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un videogoco per illustrare la definizione di limite (32K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un'introduzione al concetto di derivata (lavoro in corso). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2013-02-07: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2013-06-20: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2013-07-17: scritto globale (solo testo).
2013-09-02: scritto globale (solo testo).
2013-09-25: scritto globale (solo testo).
2014-02-11: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2011/12

Libro di testo: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, MacGraw-Hill, ISBN: 9788838662348. Seconda Edizione, ISBN 9788838662812. Il libro ha anche un sito internet dedicato

Programma del corso.

Esercizi per casa:

esercizi per casa.

Dispense:

Una collezione di animazioni introduttive al concetto di limite (32K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un videogoco per illustrare la definizione di limite (32K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un sommario delle forme indeterminate dei limiti, con quiz finale (76K). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Un'introduzione al concetto di derivata (lavoro in corso). Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
I teoremi del valor medio di Rolle e Lagrange. Per aprire il file occorre il programma gratuito Wolfram CDF Player (170 MB circa).
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.7MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2012-01-31: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2012-06-14: secondo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2012-07-02: scritto globale (solo testo).
2012-07-26: scritto globale (solo testo).
2012-09-05: scritto globale (solo testo).
2013-02-07: scritto globale (solo testo).

Anno Accademico 2010/11

Libro di testo: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, MacGraw-Hill, ISBN: 9788838662348. Il libro ha anche un sito internet dedicato

Programma del corso.

Diario delle lezioni.

Dispense:

Un videogoco per illustrare la definizione di limite (32K). Si può giocare gratis, basta scaricare il Mathematica Player (110 MB circa).
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 3.8MB) con sommario stampabile.

Esercizi per casa:

esercizi per casa.

Esami scritti:

2011-02-04: primo compitino, con svolgimento dettagliato del tema A.
2011-06-16: secondo compitino, con svolgimento del tema A, (questo tema A vale anche come compito globale).
2011-07-11: scritto globale, solo testo.
2011-09-05: scritto globale, solo testo.
2011-09-19: scritto globale, solo testo.
2012-01-31: scritto globale, solo testo.

Anno Accademico 2009/10

Libro di testo: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, MacGraw-Hill, ISBN: 9788838662348. Il libro ha anche un sito internet dedicato

Programma del corso.

Dispense:

Un videogoco per illustrare la definizione di limite (32K). Si può giocare gratis, basta scaricare il Mathematica Player (80MB).

Esercizi per casa:

esercizi di preparazione al primo compitino.

Esami scritti:

2010-02-04: primo compitino, solo testo.
2010-07-08: secondo compitino, coincidente con lo scritto globale, solo testo.
2010-07-22: scritto globale, solo testo.
2010-09-03: scritto globale, solo testo.
2010-09-20: scritto globale, solo testo.
2011-02-04: scritto globale, solo testo.

Anno Accademico 2008/09

Libro di testo: Giulio Cesare Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN 88-08-01169-0

Programma del corso.

Esercizi per casa:

Dispense:

La radice quadrata di 2 (pdf, 112K)
Un videogoco per illustrare la definizione di limite (32K). Si può giocare gratis, basta scaricare il Mathematica Player (80MB).
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 3.8MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2009-02-18: primo compitino, solo testo.
2009-06-23: secondo compitino, solo testo.
2009-07-14: scritto globale, solo testo.
2009-09-01: scritto globale, solo testo.
2009-09-15: scritto globale, solo testo.
2010-02-04: scritto globale, solo testo.

Anno Accademico 2007/08

Libro di testo: Giulio Cesare Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN 88-08-01169-0

Programma del corso.

Esercizi per casa:

archivio di tutti gli esercizi.

Dispense:

La radice quadrata di 2 (pdf, 112K)
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 3.8MB) con sommario stampabile.
Note del Dott. Matiz sull'integrazione delle funzioni razionali.
Introduzione alle funzioni di due variabili.

Esami scritti:

2007-12-20: primo compitino, solo testo.
2008-04-11: secondo compitino, solo testo.
2008-06-26: terzo compitino, solo testo.
2008-07-21: solo testo.
2008-09-01: solo testo.
2008-09-15: solo testo.
2009-02-25: solo testo.

Anno Accademico 2006/07

Libro di testo: Giulio Cesare Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN 88-08-01169-0

Programma del corso.

Esercizi per casa:

archivio di tutti gli esercizi.

Dispense:

La radice quadrata di 2 (pdf, 112K)
Illustrazioni sui polinomi di Taylor (60K)
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.2MB) con sommario stampabile.
Note del Dott. Matiz sull'integrazione delle funzioni razionali.
Introduzione alle funzioni di due variabili.

Esami scritti:

2007-01-10: primo compitino, solo testo.
2007-04-13: secondo compitino, solo testo.
2007-06-27: terzo compitino, solo testo.
2007-07-16: solo testo.
2007-09-05: solo testo.
2007-09-20: solo testo.

Anno Accademico 2005/06

Programma del corso.

Esercizi per casa:

archivio di tutti gli esercizi.

Dispense:

La radice quadrata di 2 (pdf, 112K)
Illustrazioni sui polinomi di Taylor (60K)
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 3.7MB) con sommario stampabile.
Introduzione alle funzioni di due variabili.

Esami scritti:

2005-12-19: primo compitino, solo testo.
2006-04-04: secondo compitino, solo testo.
2006-07-03: terzo compitino, solo testo.
2006-07-17: solo testo.
2006-09-05: solo testo.
2006-09-20: solo testo.

Anno Accademico 2004/05

Programma del corso. (104K)

Esercizi per casa:

archivio di tutti gli esercizi.

Dispense:

La radice quadrata di 2 (pdf, 112K)
Illustrazioni sui polinomi di Taylor (60K)
Introduzione alla teoria dell'integrazione (lucidi pdf; 4.2MB) con sommario stampabile.

Esami scritti:

2004-12-10: primo compitino, solo testo (100K).
2005-04-07: secondo compitino, solo testo (100K).
2005-06-24: terzo compitino, solo testo (68K).
2005-07-08: solo testo (56K).
2005-07-21: solo testo (60K).
2005-09-15: solo testo (60K).

Academic year 2003/04

in collaboration with Dr. Carlo Magagna

Homework:

archive of all homework.

Written examinations:

2003-12-17: primo compitino, text only (100K).
2004-04-01: secondo compitino, text only (96K).
2004-06-23: terzo compitino, text only (92K).
2004-07-07: text and detailed solution (268K).
2004-07-21: text and detailed solution (244K).
2004-09-08: text only (48K).
2004-09-22: text only (48K).

Lecture notes:

The square root of 2 (pdf, 176K)
Illustrations on Taylor polynomials (60K)
Introduction to the theory of integration (lecture slides; 2.9MB) with printable text summary.
A pictorial introduction to functions of two variables, (pdf, 1.2 M).
Go to Dott. Carlo Magagna's pages for his lecture notes.

Academic year 2002/03

in collaboration with Dr. Paolo Baiti

Course Program (120K)

Homework

all homeworks.

Lecture notes:

The square root of 2 (pdf, 176K)
Integration
A pictorial introduction to functions of two variables,.

Written examinations:

2002-12-20: primo compitino, text and detailed solution (252K).
2003-04-01: secondo compitino, text and detailed solution (580K).
2003-06-24: terzo compitino, text and detailed solution (372K).
2003-07-09: text and detailed solution (296K).
2003-07-21: text and detailed solution (288K).
2003-09-04: text and detailed solution (184K).
2003-09-15: text and detailed solution (256K).

Academic year 2001/02

in collaboration with Dr. Paolo Baiti

Course Program (120K)

A pictorial introduction to functions of two variables, (pdf, 1.2 M).

Exercises:

All homeworks (160K).

Written examinations:

2001-12-05: primo compitino, text and detailed solution (370K).
2002-03-12: secondo compitino, text and detailed solution (572K).
2002-03-13: secondo compitino, text and detailed solution (536K)
2002-06-12: terzo compitino, text and detailed solution (700K).
2002-06-28: text and detailed solution (328K).
2002-07-15: text and detailed solution (244K).
2002-09-05: text and detailed solution (164K).
2002-09-17: text and detailed solution (180K).

Academic year 2000/01

in collaboration with Dr. Paolo Baiti

Course Program (120K)

A pictorial introduction to functions of two variables, (pdf, 1307 K).

Exercises:

All homeworks (265K).

Written examinations:

2000-12-11: primo compitino, text and solutions (241K).
2001-03-16: secondo compitino, text and detailed solutions (505K).
2001-06-13: terzo compitino, text and detailed solutions (252K).
2002-07-06: text and detailed solutions (270K).
2001-07-20: text and detailed solutions (162K).
2001-09-03: text and detailed solutions (220K).
2001-09-17: text and detailed solutions (205K).

Academic year 1997/98

Joint course with Prof. Lorenzo Freddi

Course Program (96K)

Written examinations

The material that you can't find here may still perhaps be found in Prof. Lorenzo Freddi's site.

1998-04-03: text and detailed solution (162K).

Academic year 1996/97

in collaboration with Prof. Sergio Stella

Course Program (107K)

Written examinations

1996-12-05: text (63K).

1997-04-17: text (57K).

1997-05-29: text and detailed solution (193K).

1997-06-10: text and detailed solution (159K).

1997-06-24: text and detailed solution (170K).

1997-07-09: text and detailed solution (166K).

1997-09-03: text and detailed solution (163K).

1997-09-24: text and detailed solution (131K).

1997-12-22: text and detailed solution (181K).

1998-02-02: text and detailed solution (176K).

1998-02-18: text and detailed solution (173K).