Programma dell'insegnamento di ANALISI NUMERICA I
Prof.ssa R. Vermiglio, Dott. Stefano De Marchi
anno accademico 1999-2000

Analisi degli errori
Errore analitico, inerente, algoritmico. Condizionamento di un problema numerico. Teorema di rappresentazione dei numeri reali in base B. Numeri di macchina: rappresentazione in virgola mobile. Precisione di macchina. Standard IEEE. Operazioni di macchina e loro proprietˆ. Coefficienti di amplificazione. Fenomeno della cancellazione. Teorema di rappresentazione dell'errore nel calcolo di una funzione. Grafi di computazione e studio della propagazione degli errori. Algoritmi stabili e instabili. Overflow e underflow. Studio di un caso: somma di n numeri.

Algebra lineare: sistemi lineari.
Richiami di algebra lineare: vettori, norme, prodotto scalare, matrici. Determinante di una matrice. Matrice inversa. Definizioni e proprietˆ di autovalori e autovettori. Matrici con particolari struttutre e proprietˆ: matrici diagonali, triangolari, simmetriche, definite positive, ortogonali. Norme matriciali. Caratterizzazione di alcune norme matriciali indotte: norma 1, norma 2, norma infinito. Teoremi di Gershgorin.
Sistemi lineari. Condizionamento del problema. Numero di condizionamento di una matrice. Teorema sulla maggiorazione dell'errore relativo. Metodi diretti. Metodo di Gauss: descrizione dell'algoritmo, implementazione, applicabilitˆ, complessitˆ computazionale. Teorema di fattorizzazione LU. Analisi dell'errore algoritmico. Tecniche del pivot parziale e totale e loro implementazione. Tecniche compatte. Raffinamento iterativo. Metodo di Gauss-Jordan e sua applicazione al calcolo della matrice inversa. Teorema di fattorizzazione LLH delle matrici definite positive. Metodo di Choleski. Metodi iterativi: definizione, teorema di convergenza, criteri di arresto, tasso asintotico di convergenza. Metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel: definizione, teoremi di convergenza per matrici a predominanza diagonale. Teorema di Stein-Rosemberg. Caso delle matrici tridiagonali. Metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel a blocchi (cenni). Metodo SOR. Teorema di Kahan. Caso delle matrici tridiagonali definite positive. Valutazione del parametro ottimale.

Zeri di funzione.
Metodo di bisezione. Metodi di iterazione funzionale. Teorema del punto fisso. Ordine di un metodo. Valutazione dell'errore. Criteri di arresto. Metodo delle corde, delle secanti, di Newton: ordine di convergenza, condizioni sufficienti per la convergenza. Metodo "Regula Falsi".

A complemento si sono svolte delle esercitazioni in laboratorio utilizzando il MATLAB.

Testi consigliati:
Testi per eventuali approfondimenti