29 settembre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Equazioni autonome. Regolarità delle soluzioni di una EDO. Cenni alla riduzione in forma normale.
30 settembre: Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza e unicità locale (richiami). Cilindri di sicurezza. Funzioni localmente lipschitziane. La locale lipschitzianità implica la lipschitzianità sui compatti. Un esempio di approssimazione con le iterate di Picard. Introduzione al Teorema di Peano.
6 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Richiami sugli spazi metrici e compattezza in spazi metrici. Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui, equiuniformemente continui, equilipschitziani ed equilimitati.
7 ottobre: Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); il Teorema di Ascoli-Arzelà (senza dim). Il Teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni.
13 ottobre: Il Teorema di Peano sui compatti. Questioni legate all'unicità delle soluzioni: l'unicità locale implica l'unicità globale. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore e inferiore (cenni). Il Teorema di Kneser (solo enunciato). Esempi ed esercizi.
14 ottobre: Il metodo di separazione delle variabili nel caso di un campo vettoriale solamente continuo. Prolungabilità delle soluzioni, soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza (richiami). Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale è solamente continuo. Teorema della fuga dai compatti.
20 ottobre: Comportamento in futuro/passato delle soluzioni massimali; esplosione della norma in tempo finito. Esempi ed esercizi sul teorema di fuga dai compatti.
21 ottobre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la compattezza implica l'esistenza in grande; la limitatezza implica l'esistenza in grande. Il metodo delle funzioni ausiliarie. La sublinearità implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianità globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni.
27 ottobre: Esempi ed esercizi sui teoremi di esistenza globale. Un primo teorema sulla dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali.
28 ottobre: Il Lemma di Gronwall. Alcuni teoremi sulla dipendenza continua dai dati iniziali e dal campo vettoriale. Il Teorema di Kamke (tre formulazioni, due con dimostrazione). Differenziabilità rispetto al dato iniziale (cenni).
3 novembre: Il teorema del confronto (due versioni). Il criterio dell'asintoto e alcune conseguenze.
4 novembre: Alcune conseguenze del criterio dell'asintoto. Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.
10 novembre: Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni. Il Lemma di Gronwall e il Teorema del confronto. Cenni alla stabilità degli equilibri. Equilibri stabili, asintoticamente stabili, instabili. Relazioni tra la stabilità lineare e nonlineare. Il Teorema dell'intorno tubulare. Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione.
11 novembre: Il Teorema di Hartman-Grobman (cenni). Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione. Insiemi invarianti in futuro/passato, insiemi invarianti. Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi.
17 novembre: Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia. Esempi. La ricerca di integrali primi: il metodo della 1-forme; fattori integranti. Esempi ed esercizi.
18 novembre: Altri metodi per la ricerca dei fattori integranti. Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra. Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui (richiami). L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione, analisi e comparazione dei modelli.
24 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi. Alcune classi di equazioni di ordine 2. Il problema della fune inestensibile. Alcune classi di equazioni in forma non normale. Il problema della brachistocrona.
25 novembre: Sistemi lineari di equazioni differenziali. Sistema omogeneo associato. Alcuni richiami sulle proprietà di base. Matrice fondamentale e matrice soluzione. Il Teorema di Liouville. Formula della variazione delle costanti. Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato a un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice diagonale a blocchi.
1 dicembre: Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice di rotazione 2x2, matrice diagonalizzabile reale, matrice diagonalizzabile in campo complesso, matrice somma di una matrice semplice e di una nilpotente che commutano. Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim).
2 dicembre: Applicazione del teorema di decomposizione al calcolo della matrice esponenziale. Esempi ed esercizi. Forma canonica di Jordan (cenni).
9 dicembre: Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti. Il metodo per simiglianza (senza dim). Il metodo di separazione della variabili per equazioni differenziali alle derivate parziali: problematiche e obiettivi. Un esempio introduttivo. Richiami sulle serie di Fourier.
15 dicembre: Richiami sulle serie di Fourier. Sviluppo in serie di seni e di coseni. Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di seni. Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema misto per l’equazione del calore uni-dimensionale omogenea con condizioni nulle al bordo.
16 dicembre: Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: Il problema della corda vibrante fissata ai due estremi. Estensione del metodo di separazione delle variabili: il metodo di Fourier per il problema misto per l'equazione del calore unidimensionale non omogenea.
22 dicembre: L’equazione del trasporto lineare, semilineare e quasilineare, omogeneo e non omogeneo. Il metodo delle caratteristiche (cenni).
12 gennaio: Esercitazioni di riepilogo.
13 gennaio: Esercitazioni di riepilogo.