30 settembre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Equazioni autonome. Cenni alla riduzione in forma normale.
1 ottobre: Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza e unicità locale (richiami). Cilindri di sicurezza. Funzioni localmente lipschitziane. La locale lipschitzianità implica la lipschitzianità sui compatti. Alcune questioni concernenti l'unicità delle soluzioni. Introduzione al Teorema di Peano.
7 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Richiami sugli spazi metrici e compattezza in spazi metrici. Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui ed equiuniformemente continui.
8 ottobre: Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); il Teorema di Ascoli-Arzelà (senza dim). Il Teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni. Il Teorema di Peano sui compatti.
14 ottobre: Questioni legate all'unicità delle soluzioni: l'unicità locale implica l'unicità globale (richiami). Il metodo di separazione delle variabili nel caso di un campo vettoriale solamente continuo. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore e inferiore (cenni). Il Teorema di Kneser (solo enunciato).
15 ottobre: Prolungabilità delle soluzioni, soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza (richiami). Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale è solamente continuo. Fuga dai compatti. Comportamento in futuro/passato delle soluzioni massimali; esplosione della norma in tempo finito.
21 ottobre: Esempi ed esercizi sul teorema di fuga dai compatti. Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la compattezza implica l'esistenza in grande; la limitatezza implica l'esistenza in grande.
22 ottobre: Il metodo delle funzioni ausiliarie. La sublinearità implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianità globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni. Esempi ed esercizi.
28 ottobre: Esempi ed esercizi sui teoremi di esistenza globale. Un primo teorema sulla dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali.
29 ottobre: Il Lemma di Gronwall. Alcuni teoremi sulla dipendenza continua dai dati iniziali e dal campo vettoriale. Il Teorema di Kamke (tre formulazioni, due con dimostrazione). Differenziabilità rispetto al dato iniziale (cenni).
4 novembre: Il teorema del confronto (due versioni). Il criterio dell'asintoto e alcune conseguenze.
5 novembre: Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.
11 novembre: Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni. Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione. Cenni alla stabilità degli equilibri. Equilibri stabili, asintoticamente stabili, instabili. Relazioni tra la stabilità lineare e nonlineare. Il Teorema dell'intorno tubulare. Insiemi invarianti in futuro/passato, insiemi invarianti.
12 novembre: Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi. Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia. Esempi. Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni.
18 novembre: La ricerca di integrali primi: il metodo della 1-forme; fattori integranti. Esempi ed esercizi.
19 novembre: Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra. Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui (richiami). L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione, analisi e comparazione dei modelli. Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi.
25 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Il problema della fune inestensibile. Sistemi lineari di equazioni differenziali. Sistema omogeneo associato. La soluzione generale di un sistema lineare è somma della generica soluzione del sitema omogeneo e di una qualsiasi soluzione fissata del sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n. Matrice fondamentale e matrice soluzione.
26 novembre: Matrice fondamentale e matrice soluzione. Il Teorema di Liouville. Formula della variazione delle costanti. Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato ad un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice diagonale a blocchi, matrice di rotazione 2x2.
2 dicembre: Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice diagonalizzabile reale, matrice diagonalizzabile in campo complesso, matrice somma di una matrice semplice e di una nilpotente che commutano. Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim).
3 dicembre: Applicazione del teorema di decomposizione al calcolo della matrice esponenziale. Esempi ed esercizi. Forma canonica di Jordan (senza dim). Caso delle matrici 2x2 e 3x3.
9 dicembre: Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti. Il metodo di separazione della variabili per equazioni differenziali alle derivate parziali: problematiche e obiettivi. Un esempio introduttivo. Richiami sulle serie di Fourier.
10 dicembre: Richiami sulle serie di Fourier. Sviluppo in serie di seni e di coseni. Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di seni. Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema misto per l’equazione del calore uni-dimensionale omogenea con condizioni nulle al bordo. Il problema della corda vibrante fissata ai due estremi.
16 dicembre: Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: l'equazione di Laplace sulla palla 2 -dimensionale. Estensione del metodo di separazione delle variabili: il metodo di Fourier per il problema misto per l'equazione del calore unidimensionale non omogenea.
17 dicembre: L’equazione del trasporto lineare, semilineare e quasilineare, omogeneo e non omogeneo. Il metodo delle caratteristiche (cenni).