1 ottobre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Equazioni autonome. Regolarità delle soluzioni di una EDO. Cenni alla riduzione in forma normale.
2 ottobre: Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza e unicità locale (richiami). Cilindri di sicurezza. Introduzione al Teorema di Peano.
8 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui ed equiuniformemente continui. Il teorema di Ascoli-Arzelà (senza dim).
9 ottobre: Il teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni. Il Teorema di Peano sui compatti.
15 ottobre: Questioni legate all'unicità delle soluzioni: l'unicità locale implica l'unicità globale. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore e inferiore (cenni).
16 ottobre: Prolungabilità delle soluzioni. Soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza. Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale è localmente lipschitziano oppure continuo. Fuga dai compatti.
22 ottobre: Comportamento in futuro/passato delle soluzioni massimali; esplosione della norma in tempo finito. Esempi ed esercizi.
23 ottobre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la compattezza implica l'esistenza in grande; la limitatezza implica l'esistenza in grande. Il metodo delle funzioni ausiliarie. Esempi ed esercizi. La sublinearità implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianità globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni.
29 ottobre: Esempi ed esercizi sui teoremi di esistenza globale.
30 ottobre: Il Lemma di Gronwall. Alcuni teoremi sulla dipendenza continua dai dati iniziali e dal campo vettoriale. Il Teorema di Kamke (tre formulazioni, solo enunciati). Differenziabilità rispetto al dato iniziale (cenni).
5 novembre: Il teorema del confronto (due versioni). Il criterio dell'asintoto e alcune conseguenze.
6 novembre: Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale. Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione.
12 novembre: Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione. Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi.
13 novembre: Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia. Esempi. Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni.
19 novembre: La ricerca di integrali primi: il metodo della 1-forme; fattori integranti. Esempi ed esercizi.
20 novembre: Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra. Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione, analisi e comparazione dei modelli. Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi.
26 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Il problema della fune inestensibile. Il problema della brachistocrona. Sistemi lineari di equazioni differenziali. Sistema omogeneo associato. La soluzione generale di un sistema lineare è somma della generica soluzione del sitema omogeneo e di una qualsiasi soluzione fissata del sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n.
27 novembre: Matrice fondamentale e matrice soluzione. Formula della variazione delle costanti. Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato ad un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti.
3 dicembre: Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice diagonale a blocchi, matrice di rotazione 2x2, matrice diagonalizzabile reale, matrice diagonalizzabile in campo complesso, matrice somma di una matrice semplice e di una nilpotente che commutano. Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim).
4 dicembre: Applicazione del teorema di decomposizione al calcolo della matrice esponenziale. Esempi ed esercizi.
10 dicembre: Forma canonica di Jordan (senza dim). Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti. Il metodo di separazione della variabili per equazioni differenziali alle derivate parziali: problematiche e obiettivi. Un esempio introduttivo.
11 dicembre: Spazi di Hilbert. Insiemi ortogonali e ortonormali. Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval (senza dimostrazione). Basi ortogonali e ortonormali, serie di Fourier in spazi di Hilbert. Serie di Fourier trigonometriche. Serie di Fourier in L^2 e completezza della base trigonometrica (senza dimostrazione). Lemma di Riemann-Lebesgue. Sviluppo in serie di seni e di coseni.
17 dicembre: Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier. Cenni alla convergenza puntuale delle serie di Fourier.
18 dicembre: Esempi di calcolo di serie di Fourier. Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema misto per l'equazione del calore unidimensionale omogenea con condizioni nulle al bordo.
19 dicembre: Lezione supplementare: applicazioni del metodo di separazione delle variabili. Il problema della corda vibrante fissata ai due estremi. L'equazione di Laplace sulla palla 2-dimensionale. Estensione del metodo di separazione delle variabili: il metodo di Fourier per il problema misto per l'equazione del calore unidimensionale non omogenea.
7 gennaio: Esercitazioni supplementari.
8 gennaio: Esercitazioni supplementari.