24 settembre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Equazioni autonome. Regolarità delle soluzioni di una EDO. Cenni alla riduzione in forma normale.
25 settembre: Funzioni localmente lipschitziane. La locale lipschitzianità implica la lipschitzianità sui compatti. Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza e unicità locale. Cilindri di sicurezza. Alcune questioni concernenti l'unicità delle soluzioni. Introduzione al Teorema di Peano.
1 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Richiami sugli spazi metrici e compattezza in spazi metrici.
2 ottobre: Spazi topologici separabili. Gli spazi metrici compatti sono separabili. Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui ed equiuniformemente continui. Il teorema di Ascoli-Arzelà.
8 ottobre: Il teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni.
9 ottobre: Un esempio di approssimazione con le iterate di Picard. Questioni legate all'unicità delle soluzioni: l'unicità locale implica l'unicità globale. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore e inferiore (cenni).
15 ottobre: Prolungabilità delle soluzioni. Soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza. Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale è localmente lipschitziano oppure continuo. Fuga dai compatti.
16 ottobre: Fuga dai compatti. Comportamento in futuro/passato delle soluzioni massimali; esplosione della norma in tempo finito. Esempi ed esercizi.
22 ottobre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la compattezza e limitatezza implica l'esistenza in grande; la limitatezza implica l'esistenza in grande. Il metodo delle funzioni ausiliarie. Esempi ed esercizi.
23 ottobre: La sublinearità implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianità globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni. I sistemi lineari a coefficienti continui hanno esistenza ed unicità in grande delle soluzioni. Esempi ed esercizi. Un teorema sulla dipendenza continua dai dati iniziali.
29 ottobre: Il Teorema di Peano sui compatti. Il Lemma di Gronwall. Alcuni teoremi sulla dipendenza continua dai dati iniziali e dal campo vettoriale. Il Teorema di Kamke (tre formulazioni, solo enunciati). Differenziabilità rispetto al dato iniziale (cenni).
30 ottobre: Il teorema del confronto (due versioni). Il criterio dell'asintoto. Esempi ed esercizi.
5 novembre: Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.
6 novembre: Esercizi sullo studio qualitativo delle soluzioni. Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione.
12 novembre: Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi. Esempi. Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia.
13 novembre: Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni (cenni). La ricerca di integrali primi: il metodo della 1-forme; fattori integranti. Esempi ed esercizi.
19 novembre: La ricerca di integrali primi: il metodo della 1-forme; fattori integranti. Esempi ed esercizi. Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra.
20 novembre: Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra. Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione, analisi e comparazione dei modelli. Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi.
26 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Il problema della fune inestensibile. Sistemi lineari di equazioni differenziali. Sistema omogeneo associato. La soluzione generale di un sistema lineare è somma della generica soluzione del sitema omogeneo e di una qualsiasi soluzione fissata del sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n. Matrice fondamentale e matrice soluzione.
27 novembre: Formula di variazione delle costanti. Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato ad un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice diagonale a blocchi.
3 dicembre: Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice di rotazione 2x2, matrice diagonalizzabile reale, matrice diagonalizzabile in campo complesso, matrice somma di una matrice semplice e di una nilpotente che commutano.
4 dicembre: Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim) con applicazioni al calcolo della matrice esponenziale. Esempi ed esercizi.
10 dicembre: Esercizi. Forma canonica di Jordan (senza dim). Caso delle matrici 2x2 e 3x3. Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti.
11 dicembre: Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti. Cenni alle soluzioni periodiche per sistemi di equazioni differenziali. Un teorema di esistenza di soluzioni periodiche. Il caso dell'oscillatore forzato. Il teorema di Poincaré-Bendixson (cenni).