26 settembre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Funzioni localmente lipschitziane. La locale lipschitzianità implica la lipschitzianità sui compatti. Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza ed unicità locale.
27 settembre: Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza ed unicità locale. Alcune questioni concernenti l'unicità delle soluzioni. Regolarità delle soluzioni di una EDO. Esempi di approssimazione con le iterate di Picard. Introduzione al Teorema di Peano.
3 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Richiami sugli spazi metrici e compattezza in spazi metrici.
4 ottobre: Spazi topologici separabili. Gli spazi metrici compatti sono separabili. Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui ed equiuniformemente continui. Il teorema di Ascoli-Arzelà.
10 ottobre: Il teorema di Ascoli-Arzelà. Il teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero.
11 ottobre: Il teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni. Questioni legate all'unicitā delle soluzioni: l'unicitā locale implica l'unicitā globale.
17 ottobre: L'unicitā locale implica l'unicitā globale. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore ed inferiore (cenni). Prolungabilitā delle soluzioni. Soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza.
18 ottobre: Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale č localmente lipschitziano oppure continuo. Fuga dai compatti.
24 ottobre: Comportamento in futuro/passato delle soluzioni massimali; esplosione della norma in tempo finito. Esempi ed esercizi. Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la compattezza e limitatezza implica l'esistenza in grande.
25 ottobre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la limitatezza implica l'esistenza in grande. Il metodo delle funzioni ausiliarie. La sublinearitā implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianitā globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni. I sistemi lineari a coefficienti continui hanno esistenza ed unicitā in grande delle soluzioni. Esempi ed esercizi.
2 novembre: Esistenza ed unicità per equazioni scalari di ordine n. Il teorema del confronto (due versioni). Il teorema di dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali e dal campo vettoriale (solo enunciato).
7 novembre: Il criterio dell'asintoto. Esempi ed esercizi.
8 novembre: Esercizi. Analisi di un sistema di Lotka-Volterra: caso dell'estinzione.
14 novembre: Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi. Esempi. Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia. Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni.
15 novembre: Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni. Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra.
21 novembre: Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione, analisi e comparazione dei modelli. Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi.
22 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Esempi ed esercizi.
28 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Il problema della fune inestensibile e il problema della brachistocrona. Esempi ed esercizi.
29 novembre: Sistemi lineari. Sistema omogeneo associato. La soluzione generale di un sistema lineare è somma della generica soluzione del sitema omogeneo e di una qualsiasi soluzione fissata del sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n. Matrice fondamentale e matrice soluzione. Formula di variazione delle costanti.
5 dicembre: Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato ad un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice diagonale a blocchi.
6 dicembre: Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice di rotazione 2x2, matrice diagonalizzabile reale, matrice diagonalizzabile in campo complesso, matrice somma di una matrice semplice e di una nilpotente che commutano.
12 dicembre: Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim) con applicazioni al calcolo della matrice esponenziale. Esempi ed esercizi.
13 dicembre: Esercizi. Forma canonica di Jordan (senza dim). Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti.
19 dicembre: Il lemma di Gronwall. Il teorema di Kamke. Cenni alle soluzioni periodiche per sistemi di equazioni differenziali.