29 settembre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza ed unicità locale.
1 ottobre: Regolarità delle soluzioni di una EDO. Esempi di approssimazione con le iterate di Picard. Introduzione al Teorema di Peano. Il metodo delle poligonali di Eulero.
6 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Richiami sugli spazi metrici e compattezza in spazi metrici. Spazi topologici separabili. Gli spazi metrici compatti sono separabili.
8 ottobre: Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui ed equiuniformemente continui. Il teorema di Ascoli-Arzelà.
13 ottobre: Il teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni.
15 ottobre: Questioni legate all'unicitā delle soluzioni: l'unicitā locale implica l'unicitā globale. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore ed inferiore (cenni).
22 ottobre: Prolungabilitā delle soluzioni. Soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza. Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale č localmente lipschitziano oppure continuo.
27 ottobre: Fuga dai compatti. Conseguenze ad applicazioni del teorema sulla fuga dai compatti. Esplosione delle soluzioni in tempo finito.
3 novembre: Esempi ed esercizi. Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la compattezza e limitatezza implica l'esistenza in grande.
5 novembre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la limitatezza implica l'esistenza in grande. Il metodo delle funzioni ausiliarie. La sublinearitā implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianitā globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni. I sistemi lineari a coefficienti continui hanno esistenza ed unicitā in grande delle soluzioni. Esempi ed esercizi.
10 novembre: Esistenza ed unicità per equazioni scalari di ordine n. Il teorema del confronto (due versioni). Il teorema di dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali e dal campo vettoriale (solo enunciato).
12 novembre: Il criterio dell'asintoto. Esempi ed esercizi.
17 novembre: Esercizi. Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi. Esempi. Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia.
19 novembre: Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni. Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra.
24 novembre: Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione, analisi e comparazione dei modelli. Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi.
26 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Esempi ed esercizi.
1 dicembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Esempi ed esercizi.
3 dicembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Esempi ed esercizi. Sistemi lineari. Sistema omogeneo associato. La soluzione generale di un sistema lineare è somma della generica soluzione del sitema omogeneo e di una qualsiasi soluzione fissata del sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n.
10 dicembre: Matrice fondamentale e matrice soluzione. Formula di variazione delle costanti. Esponenziale di una matrice.
15 dicembre: Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato ad un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice di rotazione 2x2, matrice diagonalizzabile reale.
17 dicembre: Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice diagonalizzabile in campo complesso, matrice somma di una matrice semplice e di una nilpotente che commutano. Esempi ed esercizi.
22 dicembre: Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim) con applicazioni al calcolo della matrice esponenziale. Esempi ed esercizi.
12 gennaio: Esercizi. Forma canonica di Jordan (senza dim): caso di matrici 2x2 e 3x3, cenni al caso generale; applicazione ai sistemi lineari.
14 gennaio: Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti. Introduzione al metodo delle caratteristiche.Introduzione al metodo delle caratteristiche.