29 settembre: Introduzione al corso. Alcuni richiami: definizione di equazione/sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO); soluzione di un'equazione differenziale. Teorema di Cauchy-Lipschtz di esistenza ed unicità locale.
2 ottobre: Alcune questioni concernenti l'unicità delle soluzioni. Regolarità delle soluzioni di una EDO. Esempi di approssimazione con le iterate di Picard. Introduzione al Teorema di Peano.
6 ottobre: Il metodo delle poligonali di Eulero. Richiami sugli spazi metrici e compattezza in spazi metrici.
9 ottobre: Spazi topologici separabili. Gli spazi metrici compatti sono separabili. Insiemi compatti e relativamente compatti in C(E,R); insiemi equicontinui ed equiuniformemente continui. Il teorema di Ascoli-Arzelà.
13 ottobre: Il teorema di Peano: dimostrazione dell'esistenza di una soluzione tramite approssimazione con le poligonali di Eulero. Cenni di altre dimostrazioni.
15 ottobre: Questioni legate all'unicitā delle soluzioni: l'unicitā locale implica l'unicitā globale. Conseguenze dell'unicità sulle traiettorie e sulle orbite delle soluzioni. Il fenomeno di Peano, integrale superiore ed inferiore (cenni).
20 ottobre: Prolungabilitā delle soluzioni. Soluzioni massimali e intervalli massimali d'esistenza. Teorema di esistenza delle soluzioni massimali nel caso in cui il campo vettoriale č localmente lipschitziano oppure continuo. Fuga dai compatti.
22 ottobre: Conseguenze ad applicazioni del teorema sulla fuga dai compatti. Esplosione delle soluzioni in tempo finito. Esempi ed esercizi.
27 ottobre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: compattezza e limitatezza implicano l'esistenza in grande. Il metodo delle funzioni ausiliarie.
29 ottobre: Conseguenze del teorema della fuga dai compatti: la sublinearitā implica l'esistenza in grande delle soluzioni. La lipschitzianitā globale implica l'esistenza in grande delle soluzioni. I sistemi lineari a coefficienti continui hanno esistenza ed unicitā in grande delle soluzioni. Esempi ed esercizi.
3 novembre: Il teorema del confronto (due versioni). Il teorema di dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali e dal campo vettoriale (solo enunciato). Il criterio dell'asintoto.
5 novembre: Esempi ed esercizi. Sistemi autonomi ed integrali primi. Sistemi conservativi. Esempi.
10 novembre: Esistenza ed unicità per equazioni scalari di ordine n. Sistemi fisici conservativi; caso dell'energia. Il pendolo non lineare: analisi qualitativa delle soluzioni.
12 novembre: Analisi del modello nonlineare preda-predatore di Lotka-Volterra. Formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. L'equazione di Bernoulli. L'equazione di Malthus e l'equazione logistica di Verhulst; risoluzione ed analisi dei modelli.
17 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Equazioni omogenee. Esempi ed esercizi.
19 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Esempi ed esercizi.
24 novembre: Alcune classi di equazioni integrabili. Esempi ed esercizi. Sistemi lineari. Sistema omogeneo associato. La soluzione generale di un sistema lineare è somma della generica soluzione del sitema omogeneo e di una qualsiasi soluzione fissata del sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n.
26 novembre: Matrice fondamentale e matrice soluzione. Formula di variazione delle costanti. Esponenziale di una matrice.
1 dicembre: Esponenziale di una matrice: definizione e proprietà. Soluzione del problema di Cauchy associato ad un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti. Calcolo esplicito dell'esponenziale di una matrice in alcuni casi particolari: matrice multipla dell'identità, matrice di rotazione 2x2, matrice diagonalizzabile reale.
3 dicembre: Decomposizione di una matrice nella somma di una matrice diagonalizzabile e di una nilpotente (senza dim) con applicazioni al calcolo della matrice esponenziale. Vari esempi ed esercizi.
10 dicembre: Esempi ed esercizi. Forma canonica di Jordan (senza dim): caso di matrici 2x2 e 3x3, cenni al caso generale; applicazione ai sistemi lineari. Applicazione della teoria svolta al caso delle equazioni differenziali ordinarie di ordine n a coefficienti costanti.
15 dicembre: La misura di Lebesgue: insufficienza della misura di Peano-Jordan. L'insieme ternario di Cantor e una sua generalizzazione (cenni). Sigma-algebre di parti di Rn e misure sulle sigma-algebre. Misura esterna di Lebesgue in Rn e sue proprietà. La misura esterna dei plurintervalli.
16 dicembre: Definizione di Caratheodory di insieme misurabile. I plurintervalli sono insiemi misurabili. Teorema di Caratheodory: l'insieme dei sottoinsiemi misurabili forma una sigma-algebra e la misura esterna ristretta ai misurabili è numerabilmente additiva. La misura di Lebesgue. Gli aperti e i chiusi sono insiemi misurabili. La misura dei punti, di Q e dell'insieme di Cantor. Esempio di insieme compatto privo di punti interni e con misura positiva.
17 dicembre:Invarianza per traslazioni della misura di Lebesgue. L'insieme non misurabile di Vitali e sue conseguenze. Il paradosso di Banach-Tarski (cenni). La sigma-algebra generata da un insieme. La sigma algebra dei boreliani. Gdelta-insiemi e Fsigma-insiemi. Altre caratterizzazioni degli insiemi misurabili: approssimazioni con aperti dall'esterno, con chiusi dall'interno, con boreliani e con unioni finite di intervalli a due a due disgiunti.