30 settembre: Presentazione del corso. Alcuni richiami di analisi. Equazioni differenziali alle derivate parziali di ordine k (PDE) . Il concetto di soluzione classica. Il problema di Dirichlet e il problema di Neumann. Equazioni lineari, semilineari, quasilineari e totalmente nonlineari. Alcuni esempi di PDE.
02 ottobre: Alcuni esempi di PDE. Il principio di sovrapposizione ed altre proprietà per le equazioni lineari. Esercizi.
07 ottobre: La nozione di problema ben posto. Unicità per problemi lineari. Il teorema di continuità e derivabilità per integrali dipendenti da un parametro. Il metodo di separazione della variabili: un esempio introduttivo. Richiami sugli spazi di Hilbert e sulle serie di Fourier. Basi ortogonali e ortonormali. Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval (senza dimostrazione).
09 ottobre: Serie di Fourier trigonometriche. Serie di Fourier in L^2 e completezza della base trigonometrica. Lemma di Riemann-Lebesgue. Sviluppo in serie di seni e di coseni. Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.
14 ottobre: Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier. Cenni alla convergenza puntuale delle serie di Fourier. Esempi di calcolo di alcune serie di Fourier. Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema misto per l'equazione del calore omogenea unidimensionale con condizioni nulle al bordo.
21 ottobre: Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema della corda vibrante fissata ai due estremi. Interpretazione: scomposizione di un suono in armoniche elementari. Estensione del metodo di separazione delle variabili: il metodo di Fourier per il problema misto per l'equazione del calore unidimensionale non omogenea.
23 ottobre: L'equazione lineare omogenea del trasporto a coefficienti costanti: il problema ai valori iniziali e la formula risolutiva nel caso dei dati di classe C1. L'equazione lineare non omogenea del trasporto a coefficienti costanti: il problema ai valori iniziali e la formula risolutiva nel caso dei dati di classe C1. Il principio di Duhamel per problemi lineari di evoluzione.
28 ottobre: Applicazione del principio di Duhamel al caso dell'equazione del trasporto. Unicità della soluzione e dipendenza continua rispetto ai dati iniziali. Il problema di Cauchy per l'equazione semilineare del trasporto: il metodo delle caratteristiche. Esempi ed esercizi.
04 novembre: L'equazione di Laplace e l'equazione di Poisson. Le funzioni armoniche. Il caso di dimensione 1. Il caso di dimensione 2: relazione con le funzioni olomorfe. Il Laplaciano è invariante per rotazioni. Le soluzioni a simmetria radiale. La soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace. Funzioni sub- e super-armoniche. Esempi.
06 novembre: Il principio debole del massimo per funzioni sub-armoniche, e il principio debole del minimo per funzioni super-armoniche. Unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione classica del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson su aperti limitati. I teoremi di Fubini e Tonelli (senza dim). Il teorema di cambiamento di variabili per l'integrale di Lebesgue (senza dim). La funzione gamma di Eulero sui numeri reali positivi e le sue proprietà fondamentali. Integrazione di funzioni su varietà parametriche.
11 novembre: La formula d'integrazione sulle sfere e vari corollari. Il calcolo del volume della palla n-dimensionale e della misura della sfera (n-1)-dimensionale.
13 novembre: Punti regolari e frontiera regolare di un aperto di Rn. Il vettore unitario normale. Teorema della divergenza. Teorema del gradiente. Formula di integrazione per parti. Formule di Green. La formula di rappresentazione integrale di Green.
18 novembre: Il
problema di Dirichlet per il Laplaciano e la funzione di Green. La funzione
di Green e il nucleo di Poisson sulla palla. Proprietà della funzione
di Green. Simmetria della funzione di Green
(senza dim). Il nucleo di Poisson sulla palla e sue proprietà.
20 novembre: Il problema di Dirichlet per il Laplaciano sulla palla con dati continui al bordo: esistenza ed unicità. Cenni al caso dei dati non continui. Il prodotto di convoluzione. Convoluzione di funzioni L1. La convoluzione e la derivazione.
25 novembre: La convoluzione e la derivazione. I nuclei di convoluzione. Unità approssimate. Convoluzione con mollificatori.
27 novembre: Approssimazione di funzioni integrabili mediante funzioni regolari e regolari a supporto compatto. Un esempio di equazione di Poisson. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson: formula di rappresentazione. I teoremi delle medie integrali per funzioni armoniche.
02 dicembre: La regolarità delle funzioni armoniche. Il principio del massimo e minimo forte. Il teorema di Liouville. Il metodo dell'energia. Il principio di Dirichlet.
04 dicembre: La trasformata di Fourier in L1. Proprietà della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier e la derivazione.
09 dicembre: La trasformata della funzione gaussiana. Inversione della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier nello spazio di Schwarz e in L2 (cenni). Il teorema di Plancherel (senza dim). Esempi.
11 dicembre: L'equazione del calore. La soluzione fondamentale e alcune sue proprietà. Formula risolutiva per il problema omogeneo ai valori iniziali.
16 dicembre: Velocità infinita di propagazione. L'equazione del calore su domini limitati. Il principio del massimo debole. Unicità della soluzione su domini limitati e dipendenza continua dai dati. Il problema non omogeneo ai valori iniziali.
18 dicembre: Il problema non omogeneo ai valori iniziali. Il metodo dell'energia. Principio del massimo in Rn (senza dim). Teorema di unicità per l'equazione in Rn. Regolarità delle soluzioni (senza dim). Soluzione del problema misto per la barra semi-infinita e per la barra finita con dati omogeni al bordo.
08 gennaio: L'equazione delle onde. Il problema ai valori iniziali nel caso unidimensionale: la formula di d'Alambert. Il dominio di dipendenza e il cono di influenza. Velocità finita di propagazione. Il caso della corda vibrante fissata ad un estremo; il metodo di riflessione.
13 gennaio: Formula risolutiva per il problema della corda vibrante fissata ad un estremo. Il problema omogeneo ai valori iniziali nel caso n=3: il metodo delle medie sferiche. Il problema omogeneo ai valori iniziali nel caso n=2: il metodo della discesa.
15 gennaio: Cenni al caso n>=4. Il principio di Huygens. Il problema non omogeneo ai valori iniziali. L'unicità delle soluzioni per il problema misto e per il problema ai valori iniziali. Il metodo dell'energia. Dominio di dipendenza e velocità finita di propagazione.