16 gennaio : Presentazione del corso. Equazioni differenziali alle derivate parziali di ordine k (PDE) . Il concetto di soluzione classica. Il problema di Dirichlet e il problema di Neumann. Equazioni lineari, semilineari, quasilineari e totalmente nonlineari. Alcuni esempi di PDE. La nozione di problema ben posto. Il principio di sovrapposizione per le equazioni lineari.
17 gennaio : Il principio di sovrapposizione per le equazioni lineari. L'equazione omogenea del trasporto. Il problema ai valori iniziali e la formula risolutiva nel caso dei dati di classe C1.
21 gennaio : L'equazione non omogenea del trasporto. Il problema ai valori iniziali e la formula risolutiva nel caso dei dati di classe C1. Il principio di Duhamel per problemi lineari di evoluzione. Applicazioni al caso dell'equazione del trasporto. Unicità della soluzione e dipendenza continua rispetto ai dati iniziali.
23 gennaio : L'equazione di Laplace e l'equazione di Poisson. Le funzioni armoniche. Il caso di dimensione 1. Il caso di dimensione 2: relazione con le funzioni olomorfe. Il Laplaciano è invariante per rotazioni. Le soluzioni a simmetria radiale. La soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.
24 gennaio : Funzioni sub- e super-armoniche. Esempi. Il principio debole del massimo per funzioni sub-armoniche, e il principio debole del minimo per funzioni super-armoniche. Unicità della soluzione classica del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson su aperti limitati. Integrazione di funzioni su varietà parametriche. La formula d'integrazione sulle sfere.
28 gennaio : La funzione gamma di Eulero sui numeri reali positivi e le sue proprietà fondamentali. Il calcolo del volume della palla n-dimensionale e della misura della sfera (n-1)-dimensionale.
30 gennaio : Punti regolari e frontiera regolare di un aperto di Rn. Il vettore unitario normale. Teorema della divergenza. Teorema del gradiente. Formula di integrazione per parti. Formule di Green. La formula di rappresentazione integrale di Green.
31 gennaio : Un esempio di equazione di Poisson in Rn. Il problema di Dirichlet per il Laplaciano e la funzione di Green. La funzione di Green e il nucleo di Poisson sulla palla.
04 febbraio : Simmetria della funzione di Green. Proprietà della funzione di Green. Il nucleo di Poisson sulla palla e sue proprietà. Il problema di Dirichlet per il Laplaciano sulla palla con dati continui al bordo: esistenza ed unicità. Cenni al caso dei dati non continui.
06 febbraio : Il problema di Dirichlet per il Laplaciano sul semispazio con dati continui al bordo. Il nucleo di Poisson sul semispazio. Teorema di esistenza di una soluzione. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson: formula di rappresentazione. Il prodotto di convoluzione. Convoluzione di funzioni L1. La convoluzione e la derivazione.
07 febbraio : I nuclei di convoluzione. Unità approssimate. Convoluzione con mollificatori. Approssimazione di funzioni integrabili mediante funzioni regolari e regolari a supporto compatto.
11 febbraio : I teoremi delle medie integrali. La regolarità delle funzioni armoniche. Il principio del massimo e minimo forte.
13 febbraio : Il teorema di Liouville. Il metodo dell'energia. Il principio di Dirichlet. La trasformata di Fourier in L1.
14 febbraio : Proprietà della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier e la derivazione.
18 febbraio : Inversione della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier nello spazio di Schwarz e in L2. Il teorema di Plancherel. Introduzione all'equazione del calore.
20 febbraio : Formula risolutiva per il problema omogeneo ai valori iniziali. La soluzione fondamentale e sue proprietà.
21 febbraio : Il problema non omogeneo ai valori iniziali. L'equazione del calore su domini limitati. Il principio del massimo debole. Unicità della soluzione su domini limitati. Il metodo dell'energia.
25 febbraio : Il principio del massimo forte (senza dim). La proprietà di media per l'equazione del calore (senza dim). Principio del massimo in Rn. Teorema di unicità per l'equazione in Rn. Regolarità delle soluzioni.
27 febbraio : Lemma di Urysohn. L'equazione
delle onde. Il problema ai valori iniziali nel caso
unodimensionale: la formula di d'Alambert. Il caso della corda vibrante fissata
ad un estremo; il metodo di riflessione. Il dominio di dipendenza e il cono di
influenza. Velocità finita di propagazione.
03 marzo : Il problema omogeneo ai valori iniziali nel caso n=3: il metodo delle medie sferiche. Il problema omogeneo ai valori iniziali nel caso n=2: il metodo della discesa. Cenni al caso n>=4. Il principio di Huygens.
05 marzo : Il problema non omogeneo ai valori
iniziali. L'unicità delle soluzioni per il problema misto e per il problema
ai valori iniziali. Il metodo dell'energia. Dominio di dipendenza e velocità
finita di
propagazione.
06 marzo : Il metodo di separazione della variabili. Il problema retrogrado per l'equazione del calore è mal posto. Richiami sulle serie di Fourier. Serie di Fourier trigonometriche. Serie di Fourier in L^2 e completezza della base trigonometrica. Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval.
10 marzo : Lemma di Riemann-Lebesgue. Sviluppo in serie di seni e di coseni. Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.
12 marzo : Cenni alla convergenza puntuale delle serie di Fourier. Esempi. Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema misto per l'equazione omogenea del calore unidimensionale; il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace sulla palla 2-dimensionale.
13 marzo : Applicazioni del metodo di separazione delle variabili: il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace sulla palla 2-dimensionale; il problema della corda vibrante fissata ai due estremi. Estensione del metodo di separazione delle variabili: il metodo di Fourier per il problema misto per l'equazione non omogenea del calore unidimensionale.