Spazi di Hilbert

Trascrizione della lezione del 2 marzo 2021.

Premesse. Notazioni di base che useremo in tutto il corso: dato un numero complesso  α∈ℂ, indicheremo con (OverBar[α]) il coniugato di α, con Re(α) la parte reale, con Im(α) la parte immaginaria. La chiusura di un sottinsieme E di uno spazio topologico la indicheremo con cl(E). Dato uno spazio vettoriale V e un un sottinsieme  E, indicheremo con span(E) l’insieme delle combinazioni lineari finite di elementi di E, cioè il sottospazio vettoriale generato.

Assiomi degli spazi con prodotto scalare. Sia V uno spazio vettoriale sui complessi (il caso reale è più semplice). Diremo prodotto scalare (prodotto interno) hermitiano su V un’applicazione (x,y)↦⟨x,y⟩ che va da V×V->ℂ che abbia le seguenti proprietà:

Notazioni alternative: ⟨x|y⟩, (x,y), x·y.

Attenzione: scrivendo in LATEX le parentesi angolose si fanno con \langle e \rangle, NON con < >.

Corollari degli assiomi.

Dall’assioma di non negatività possiamo definire questo oggetto:  ‖x‖=(Sqrt[⟨x,x⟩]) (radice quadrata aritmetica, cioè ≥0). Sarà una norma, ma ancora non lo sappiamo. Per il momento non siamo autorizzati a usare le proprietà della norma, che vanno dimostrate.

Osserviamo che ‖x‖≥0, dall’assioma di non negatività sulla diagonale.

Una degli assiomi delle norme è che ‖x‖=0⟺x=0. Viene sùbito dalla non degenerazione sulla diagonale.

Omogeneità assoluta della norma: ‖α x‖=|α|·‖x‖ (per esercizio).

La parte degli assiomi della norma che richiede sforzo è la subadditività: ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖. Prima stabiliamo alcune formule che valgono negli spazi con prodotto scalare.

Formule utili. Quadrato del binomio:

((‖x+y‖)^2)=((((Sqrt[⟨x+y,x+y⟩])))^2)=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+⟨x,y⟩+(OverBar[⟨x,y⟩])=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩

a+i b+(OverBar[a+i b])=a+i b+a-i b=2a, cioè α+(OverBar[α])=2Re α

((‖x+y‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩: il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati più due volte la parte reale del prodotto.

((‖x-y‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)-2Re⟨x,y⟩  è utile da ricordare.

Generalizzazione a un numero (finito) di vettori:

((‖(∑_(k=1,2,3,...n))(Subscript[x, k])‖)^2)=(∑_k)((‖(Subscript[x, k])‖)^2)+2(∑_(k<j))Re⟨(Subscript[x, k]),(Subscript[x, j])⟩

Il caso interessante è quando i vettori (Subscript[x, k]) sono a due a due ortogonali, cioè quando ⟨(Subscript[x, k]),(Subscript[x, j])⟩=0 se k≠j. Dalla formula spariscono i doppi prodotti:

((‖(∑_k)(Subscript[x, k])‖)^2)=(∑_k)((‖(Subscript[x, k])‖)^2)

il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati! La “norma quadra” si comporta come se fosse lineare, o additiva. Questa è una generalizzazione del teorema di Pitagora.

Trascrizione della lezione del 5 marzo 2021.

Disuguaglianza di Schwarz. In uno spazio con prodotto scalare, vale sempre la disuguaglianza |⟨x,y⟩|≤‖x‖·‖y‖.

Dimostrazione.

Osserviamo che α·(OverBar[α])=((|α|)^2) se α∈ℂ.

Fissiamo x,y∈V, y≠0. Consideriamo il vettore z:=x-⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖)). Imponiamo che ((‖z‖)^2)≥0, che segue direttamente dagli assiomi del prodotto scalare:

0≤((‖z‖)^2)=⟨z,z⟩=((‖x-⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖))‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖))‖)^2)-2Re⟨x,⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖))⟩=((‖x‖)^2)+((‖⟨x,y⟩(y/((‖y‖)^2))‖)^2)-2Re((OverBar[⟨x,(y/(‖y‖))⟩])(1/(‖y‖))⟨x,y⟩)=((‖x‖)^2)+(((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^4))((‖y‖)^2)-2Re((1/((‖y‖)^2))(OverBar[⟨x,y⟩])⟨x,y⟩)=((‖x‖)^2)+(((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^2))-(2/((‖y‖)^2))Re((OverBar[⟨x,y⟩])⟨x,y⟩)=((‖x‖)^2)+(((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^2))-(2/((‖y‖)^2))Re((|⟨x,y⟩|)^2)=((‖x‖)^2)+(((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^2))-(2/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)=((‖x‖)^2)-(((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^2)).

Portiamo (((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^2)) al primo membro:

(((|⟨x,y⟩|)^2)/((‖y‖)^2))≤((‖x‖)^2). Moltiplichiamo per ((‖y‖)^2), che è >0: ((|⟨x,y⟩|)^2)≤((‖x‖)^2)((‖y‖)^2). Estraiamo la radice quadrata aritmetica: |⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖, che è la disuguaglianza di Schwarz. Nel caso y=0 la disuguaglianza è banale. QED.

Esercizio: rifare la dimostrazione con z=((‖y‖)^2)x-⟨x,y⟩y.

Disuguaglianza triangolare. In uno spazio con prodotto scalare vale la disuguaglianza ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.

Dimostrazione. Consideriamo ((‖x+y‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩. Osserviamo che se α∈ℂ, Re α≤|α| (esercizio).

Quindi, applicando Schwarz,

((‖x+y‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩≤((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2|⟨x,y⟩|≤((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2‖x‖·‖y‖=(((‖x‖+‖y‖))^2).

Estraiamo la radice quadrata di primo e ultimo membro:

‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖. QED

‖x‖ ha tutte le proprietà richieste da una norma. Ogni spazio con prodotto scalare ha indotta una norma, e può essere visto come spazio normato, e di conseguenza spazio metrico e topologico. Qualora fosse completo come spazio metrico (ogni successione di Cauchy converge), sarà detto spazio di Hilbert. Se non vale la completezza (o non so se vale) viene talvolta detto spazio pre-hilbertiano.

La sruttura di spazio di Hilbert generalizza lo spazio euclideo che ci è familiare in dimensione 2 e 3. In particolare è utile la generalizzazione a spazi di dimensione infinita.

Esempi di spazi di Hilbert. Conosciamo già  (ℂ^n): dato x=((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n])),y=((Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n])) ennuple di numeri complessi, consideriamo il prodotto scalare canonico

⟨x,y⟩=(Subscript[x, 1])(OverBar[(Subscript[y, 1])])+(Subscript[x, 2])(OverBar[(Subscript[y, 2])])+(Subscript[x, 3])(OverBar[(Subscript[y, 3])])+…+(Subscript[x, n])(OverBar[(Subscript[y, n])]). Sappiamo che è un prodotto scalare. A meno di cambi di base, sappiamo che questo è l’unico spazio con prodotto scalare di dimensione n sui complessi.

In dimensione infinita, prendiamo uno spazio di misura positiva (X,ℳ,μ) (insieme, sigma-algebra, misura), e condideriamo H=(L^2)(μ). Dati f,g∈H, poniamo ⟨f,g⟩:=(∫_X)f·(OverBar[g])dμ. Questo è un prodotto scalare, rispetto al quale H è spazio di Hilbert. L’unica parte forse non banale è mostrare che ⟨f,g⟩ ha senso ed è un numero complesso, cioè che f·(OverBar[g])∈(L^1), ma questo viene dalla disuguaglianza di Hölder, con p=q=2:

(∫_X)|f·(OverBar[g])|dμ≤((((∫_X)((|f|)^p)dμ))^(1/p))((((∫_X)((|(OverBar[g])|)^q)dμ))^(1/q))=(Subscript[‖f‖, (L^p)])((((∫_X)((|g|)^q)dμ))^(1/q))=(Subscript[‖f‖, (L^p)])(Subscript[‖g‖, (L^q)])=(Subscript[‖f‖, (L^2)])(Subscript[‖g‖, (L^2)])<+∞.

Quindi (∫_X)f·(OverBar[g])dμ∈ℂ e gli assiomi valgono facilmente (esercizio). La norma indotta dal prodotto scalare è ‖f‖=(Sqrt[⟨f,f⟩])=(Sqrt[(∫_X)f·(OverBar[f])dμ])=(Sqrt[(∫_X)((|f|)^2)dμ])=(Subscript[‖f‖, (L^2)]), che coincide con la norma in (L^2) vista come caso particolare di (L^p). Non c’è conflitto fra le due norme.

L’esempio di (ℂ^n) si può far rientrare come caso particolare di (L^2)(μ) per un particolare spazio di misura (X,ℳ,μ). Precisamente prendiamo X={1,2,3,…,n}, ℳ=𝒫(X), μ la cardinalità. Una ennupla ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n])) si può interpretare come una funzione che va da X in ℂ. L’integrale di una funzione X->ℂ rispetto a μ è semplicemente la somma dei valori:

(∫_X)xdμ=(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+…+(Subscript[x, n])=(∑_(k∈X))(Subscript[x, k]).

⟨x,y⟩=(∫_X)x·(OverBar[y])dμ. Esercizio.

L’esempio di spazio di Hilbert  H=(L^2)(μ) ingloba anche l’esempio (ℂ^n). Esistono esempi di spazi di Hilbert che non siano del tipo (L^2)(μ). No. Sono tutti questi. Se ammetto l’assioma di scelta, tutti gli spazi di Hilbert sono del tipo (L^2)(μ) per un opportuno spazio di misura. Ne riparleremo più avanti. La teoria degli spazi di Hilbert in un certo senso coincide con la teoria degli spazi (L^2)(μ) (non rispetto alla misura di Lebesgue).

Questo fatto dà una certa rigidità alla teoria, ne limita l’applicabilità. In compenso negli spazi di Hilbert valgono propretà molto belle, per cui vale la pena studiarli.

Se ci accontentiamo di spazi con prodotto scalare non completi, ci sono esempi non del tipo (L^2)(μ). Consideriamo l’inieme V delle funzioni continue [0,1]->ℝ, dotate del prodotto scalare (reale) ⟨f,g⟩:=⟨f,g⟩:=(∫_0^1)f(x)g(x)dx (integrale di Riemann). Esercizio: questo è uno spazio con prodotto scalare. Però non è completo!

Questa successione di funzioni (Subscript[f, n])∈V, sono di Cauchy per la norma indotta, ma non esiste alcun elemento di V a cui converga.

Fatto: dato uno spazio metrico non completo, è possibile costruire uno spazio metrico completo del quale lo spazio iniziale sia sottinsieme denso (il completamento dello spazio di partenza). La costruzione dei numeri reali a partire dai razionali ha delle analogie. Può essere utile in queto corso rinfrescare quegli argomenti.

In questo corso alcuni teoremi richiedono la completezza, altri no.

Trascrizione della lezione del 9 marzo 2021.

Quando siamo in uno spazio con prodotto scalare abbiamo la topologia indotta dalla norma e abbiamo anche altre funzioni:

x↦⟨x,y⟩, V->ℂ oltre che lineare è anche continua (uniformemente, anzi, lipschitziana):

|⟨(Subscript[x, 1]),y⟩-⟨(Subscript[x, 2]),y⟩|=|⟨(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2]),y⟩|≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖·‖y‖.

y↦⟨x,y⟩ pure continua.

x↦‖x‖ è continua: ‖(Subscript[x, 1])‖=‖((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2]))+(Subscript[x, 2])‖≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖+‖(Subscript[x, 2])‖, invertendo i ruoli:

‖(Subscript[x, 2])‖≤‖(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1])‖+‖(Subscript[x, 1])‖:

‖(Subscript[x, 1])‖-‖(Subscript[x, 2])‖≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖, e anche ‖(Subscript[x, 2])‖-‖(Subscript[x, 1])‖≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖, e quindi

|‖(Subscript[x, 1])‖-‖(Subscript[x, 2])‖|≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖ , e da qui segue che x↦‖x‖ è lipschitziana di costante 1.

Esercizio: (x,y)->⟨x,y⟩ è continuo su V×V, uniformemente sui limitati.

Identità di polarizzazione.

Abbiamo visto che in uno spazio con prodotto scalare la norma di deduce dal prodotto scalare. Si può fare anche il viceversa: ricavare il prodotto scalare dalla norma, grazie all’identità di polarizzazione:

⟨x,y⟩=((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4)+i((((‖i x+y‖)^2)-((‖i x-y‖)^2))/4).

(Se lo spazio è reale si omette la parte immaginaria). La verifica è un conticino algebrico: in uno spazio reale:

((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4)=(((((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩)-(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)-2Re⟨x,y⟩))/4)=Re⟨x,y⟩=⟨x,y⟩.

Identità del parallelogrammo.

In ogni spazio con prodotto scalare vale l’identità del parallelogrammo:

((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2)=2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2).

Interpretazione geometrica: in un parallelogrammo, la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati.

Dimostrazione per via algebrica:

((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2)=(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩)+(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)-2Re⟨x,y⟩)=2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2).

Fatto notevole: possiamo usare l’identità del parallelogrammo per scovare degli spazi normati la cui norma non viene da un prodotto scalare. Per esempio in (ℝ^2) possiamo definire delle norme (Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, 1])=|(Subscript[x, 1])|+|(Subscript[x, 2])|, (Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, ∞])=max{|(Subscript[x, 1])|,|(Subscript[x, 2])|}. Per esercizio verificare che non vale l’identità del parallelogrammo.

Non tutti gli spazi normati derivano da un prodotto scalare.

Fatto notevole: gli spazi con prodotto scalare sono tutti e soli quelli in cui vale l’identità del parallelogrammo. Jordan e von Neumann 1935. Faccio un cenno di dimostrazione.

Per semplicità mettiamoci in uno spazio normato reale. Definiamo  ⟨x,y⟩:=((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4), e consideriamo anche la funzione di due variabili

ϕ(x,y)=((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2)-2((‖x‖)^2)-2((‖y‖)^2).

Queste due funzioni di due variabili hanno senso in ogni spazio normato. La ϕ è identicamente nulla se e solo se vale l’identità del parallelogrammo.

Ci sono due identità notevoli che coinvolgono queste due funzioni e valgono in tutti gli spazi normati:

4(⟨2x,y⟩-2⟨x,y⟩)=ϕ(x+y,x)-ϕ(x-y,x),

4(⟨x,z⟩+⟨y,z⟩-2⟨((x+y)/2),z⟩)=ϕ(((x+y)/2)+z,((x-y)/2))-ϕ(((x+y)/2)-z,((x-y)/2)).

Si possono dimostrare usando solo le proprietà generali delle norme. Esercizio.

Se mettiamo l’ipotesi che nel nostro spazio normato valga l’identità del parallelogrammo, la ϕ è identicamente nulla, e i secondi membri delle due identità sono nulli. Dalla prima risulta

⟨2x,y⟩-2⟨x,y⟩=0, cioè ⟨2x,y⟩=2⟨x,y⟩, che è un caso particolare dell’omogeneità del prodotto scalare rispetto al primo fattore, con α=2.

Passiamo alla seconda identià: risulta che

⟨x,z⟩+⟨y,z⟩-2⟨((x+y)/2),z⟩=0, cioè ⟨x,z⟩+⟨y,z⟩=2⟨((x+y)/2),z⟩. Porto dentro il fattore 2:

⟨x,z⟩+⟨y,z⟩=⟨2((x+y)/2),z⟩=⟨x+y,z⟩, cioè l’additività rispetto al primo fattore.

Il teorema della minima distanza.

Conosciamo il concetto di insieme convesso in uno spazio vettoriale: un insieme C in uno spazio vettoriale (reale o complesso) si dice convesso se per ogni x,y∈C e per ogni t∈[0,1] abbiamo che t x+(1-t)y∈C. Notare che t viene preso reale anche negli spazi compessi. Interpretazione geometrica:

al variare di t∈[0,1] il punto t x+(1-t)y parametrizza il segmento che congiunge x con y:

l’insieme è convesso se tutti i segmenti che hanno estremi in C sono contenuti interamente in C:

Insieme non convesso:

L’espressione  t x+(1-t)y è chiamata anche combinazione lineare convessa di x e y.

Osservazione banale: i sottospazi vettoriali sono particolari convessi. Veniamo al teorema.

Teorema della minima distanza. Dati uno spazio di Hilbert H, un sottinsieme C convesso, chiuso e non vuoto, e un punto x∈H, esiste un unico (OverBar[y])∈C che ha minima distanza da x fra tutti i punti di C, cioè tale che

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-y‖ per ogni y∈C, o ancora equivalentemente, se

‖x-(OverBar[y])‖=(inf_(y∈C))‖x-y‖.

Dimostrazione. Poniamo d=(inf_(y∈C))‖x-y‖, la distanza fra x e l’insieme C. Si ha che 0≤d<+∞.

Stabiliamo alcune formule. Prendiamo due punti (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]) generici in C. Applicando l’identità del parallelogrammo otteniamo

((‖((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2])-x)-x‖)^2)+((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)

Isoliamo ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2):

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-((‖((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2])-x)-x‖)^2)=2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-((‖(Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2])-2x‖)^2)=
2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-((‖2((((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x)‖)^2)=
2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4((‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖)^2)

Osserviamo che (((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2) è il centro del parallelogrammo, in particolare è il punto medio del segmento che congiunge (Subscript[y, 1]) con (Subscript[y, 2]). Poiché (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C per ipotesi, anche il punto medio sta in C. Quindi ‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖≥d, perché ‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖ è la distanza fra x e un punto di C. Quindi possiamo maggiorare:

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=
2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(((((Overscript[‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖, ⏞]))))^2)≤2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(d^2).

Riassumendo, per ogni (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C vale ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(d^2),

disuguaglianza che useremo ripetutamente.

Dimostriamo prima l’unicità, che è facile: supponiamo che (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C siano entrambe di minima distanza: ‖(Subscript[y, 1])-x‖=d e anche ‖(Subscript[y, 2])-x‖=d. Sostituiamo nella disuguaglianza:

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(d^2)=2(d^2)+2(d^2)-4(d^2)=0.

Per la nondegenerazione della norma concludiamo che (Subscript[y, 1])=(Subscript[y, 2]), cioè l’unicità.

L’esistenza è dove entra in gioco l’ipotesi che lo spazio sia completo. Poiché  d=(inf_(y∈C))‖x-y‖, esiste una successione minimizzante, cioè esiste (Subscript[y, n])∈C tale che ‖(Subscript[y, n])-x‖->d per n->∞. Applichiamo la disuguaglianza ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(d^2) a due punti generici della successione minimizzante:

((‖(Subscript[y, n])-(Subscript[y, m])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, n])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, m])-x‖)^2)-4(d^2).

Da qui deduciamo che la successione minimizzante è di Cauchy. Osserviamo che ‖(Subscript[y, n])-x‖->d, e quindi ((‖(Subscript[y, n])-x‖)^2)->(SuperPlus[((d^2))]).

Fissato ϵ>0 esiste un indice (Subscript[N, ϵ])∈ℕ tale che per ogni n≥(Subscript[N, ϵ]) vale ((‖(Subscript[y, n])-x‖)^2)<(d^2)+((ϵ^2)/4).

Se n,m≥(Subscript[N, ϵ]) possiamo maggiorare

((‖(Subscript[y, n])-(Subscript[y, m])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, n])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, m])-x‖)^2)-4(d^2)<2((d^2)+((ϵ^2)/4))+2((d^2)+((ϵ^2)/4))-4(d^2)=
2(d^2)+((ϵ^2)/2)+2(d^2)+((ϵ^2)/2)-4(d^2)=(ϵ^2).

Estraendo la radice quadrata ‖(Subscript[y, n])-(Subscript[y, m])‖<ϵ per ogni n,m≥(Subscript[N, ϵ]), che è la proprietà di Cauchy.

Poiché lo spazio per ipotesi è completo, (Subscript[y, n]) converge a un (OverBar[y])∈H. D’altra parte (Subscript[y, n])∈C, che è chiuso per ipotesi. Quindi anche il limite appartiene a C, cioè (OverBar[y])∈C. Infine usiamo il fatto che la norma è una funzione continua: ‖(Subscript[y, n])-x‖-> d perché la successione è minimizzante, ma ‖(Subscript[y, n])-x‖->‖(OverBar[y])-x‖ perché la norma è continua. Uguagliando i limiti abbiamo che ‖(OverBar[y])-x‖=d, cioè (OverBar[y]) è di minima distanza. CVD.

Trascrizione della lezione del 12 marzo 2021.

L’interesse del teorema di minima distanza è in dimensione infinita. In dimensione finita l’esistenza del punto di minima distanza non richiede la convessità, e si può dimostrare usando il fatto che le successioni limitate hanno sempre una sottosuccessione convergente.

In uno spazio normato, anche in dimensione finita, l’unicità può venire a mancare anche per un convesso. Per esempio, per la norma (Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, ∞])=max{|(Subscript[x, 1])|,|(Subscript[x, 2])|}, la palla unitaria chiusa di centro l’origine è un quadrato (convesso, chiuso ovviamente), se prendiamo x=(2,0), i punti di minima distanza sono tutti i punti di un lato del quadrato. Qualcosa di simile avviene per la norma (Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, 1])=|(Subscript[x, 1])|+|(Subscript[x, 2])|.

Riformulazione della condizione di minima distanza in termini del prodotto scalare. Non mi pongo ora il problema di esistenza, solo la riscrittura della condizione.

Proposizione. Siano V uno spazio con prodotto scalare, C un sottinsieme convesso non vuoto, e prendiamo x∈V, (OverBar[y])∈C. Allora si equivalgono le condizioni seguenti:

Dimostrazione. Poiché C è convesso, se (OverBar[y]),y∈C, tutto il segmento che li congiunge appartiene ancora a C. Quindi la condizione ‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-y‖ per ogni y∈C equivale alla seguente:

Raccogliamo t:

Eleviamo al quadrato (entrambi i membri sono positivi):

Sviluppiamo i quadrati:

Cancello i termini uguali e porto la parte reale al primo membro:

Portiamo fuori i fattori reali t:

Tutti i passaggi fatti finora sono equivalenze. Dividiamo per t quando t>0

Faccio tendere t a (SuperPlus[0]), e la disuguaglianza si mantiene:

Dividendo per 2:

Che è la seconda condizione dell’enunciato. Ho dimostrato che la prima condizione implica la seconda. Per il viceversa basta osservare che l’ultima condizione implica ovviamente

CVD.

Significato geometrico in uno spazio reale: ⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0 significa che l’angolo fra i due vettori x-(OverBar[y]) e y-(OverBar[y]) è ottuso:

(RowDefault[, (RowDefault[, (Spacer1), ])])

Seconda interpretazione: (x∉C) C è contenuto nel semispazio {y∈V:Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0}, semispazio ortogonale alla congiungente fra x e (OverBar[y]), con (OverBar[y]) sul bordo.

A noi nel seguito serve soltanto il caso in cui C è un sottospazio vettoriale. È ovvio che i sottospazi vettoriali sono dei particolari convessi. In questa situazione abbiamo una nuova riformulazione più semplice:

Proposizione. Siano V uno spazio con prodotto scalare, M un sottospazio vettoriale di V e sia x∈V, (OverBar[y])∈M. Allora si equivalgono le due condizioni seguenti:

Dimostrazione. Poiché M è un convesso, per la proposizione precedente la condizione di minima distanza equivale a

Poiché y-(OverBar[y])∈M, in quanto combinazione lineare di elementi di M, la condizione

implica

cioè la minima distanza. Per il viceversa bisogna lavorare di più.

Sia y∈M e t∈ℝ. Allora anche (OverBar[y])+t y∈M, perché combinazione lineare di elementi di M. Quindi da

segue

Semplifichiamo:

Portiamo fuori il coefficiente t reale:

Prendendo successivamente t=1 e t=-1 deduciamo che

da cui

Se lo spazio è reale abbiamo già finito. Se lo spazio è complesso, osserviamo che, se y∈M e t∈ℝ, allora anche (OverBar[y])+t i y∈M, perché combinazione lineare complessa di elementi di M. Dalla

segue, ponendo (OverBar[y])+t i y al posto di y:

Semplifichiamo:

Portiamo fuori la i:

cioè

Cosa succede alla Re(i(α+i β))=Re(i α-β)=-β=-Im (α+i β). Possiamo riscrivere come

Ponendo successivamente t=1 e t=-1 ricaviamo che

CVD.

Interpretazione geometrica con M di dimensione 1:

Interpretazione geometrica quando M ha dimensione 2:

Ortogonalità.

La condizione di minima distanza è legata in modo cruciale a quella di ortogonalità. Introduciamo definizioni formali.

Definizione. In uno spazio V con prodotto scalare, due vettori x,y si dicono ortogonali (fra loro) se ⟨x,y⟩=0, e in tal caso scriveremo anche x⊥y. L’insieme dei vettori di V ortogonali a x si indica con

(x^⊥):={y∈V:x⊥y}={y∈V:⟨x,y⟩=0}.

L’insieme dei vettori ortogonali a ogni elemento di un sottinsieme qualsiasi E⊆V è detto l’ortogonale di E e si indica ancora con

(E^⊥)={y∈V:x⊥y per ogni x∈E}=(⋂_(x∈E)){y∈V:x⊥y}=(⋂_(x∈E))(x^⊥).

Trascrizione della lezione del 16 marzo 2021.

Dati E,F⊆V, diremo che E⊥F se x⊥y per ogni x∈E,y∈F.

Proposizione. Sia V uno spazio con prodotto scalare, x,y∈V, E,F⊆V. Allora x⊥y⟺y⊥x. Inoltre (x^⊥) e (E^⊥) sono sempre sottospazi vettoriali chiusi di V. Inoltre E⊆F=>(E^⊥)⊇(F^⊥).

Dimostrazione. x⊥y⟺⟨x,y⟩=0⟺(OverBar[⟨y,x⟩])=0⟺⟨y,x⟩=0⟺y⊥x.

Definiamo (Subscript[L, x])(y):=⟨y,x⟩. Questa (Subscript[L, x]):V->ℂ è lineare e continua. Quindi il suo nucleo è un sottospazio vettoriale: ker (Subscript[L, x])={y∈V:(Subscript[L, x])(y)=0}={y∈V:⟨y,x⟩=0}=(x^⊥). Inoltre sappiamo anche che (Subscript[L, x]) è continua, e quindi (x^⊥)=((Subscript[L, x])^(-1))({0}), che è chiuso perché contrimmagine tramite una funzione continua del singoletto di 0, che è chiuso in ℂ. Quindi (x^⊥) è effettivamente un sottospazio vettoriale chiuso. Riguardo a (E^⊥)=(⋂_(x∈E))(x^⊥) è intersezione di una famiglia (finita o infinita) di sottospazi vettoriali chiusi. Quindi (E^⊥) è un sottospazio vettoriale chiuso. Infine, se E⊆F, (E^⊥)=(⋂_(x∈E))(x^⊥)⊇(⋂_(x∈F))(x^⊥)=(F^⊥), perché più intersechiamo più si rimpicciolisce l’intersezione.

cl E è la chiusura topologica di E, span E è l’insieme delle combinazioni lineari finite di vettori di E, cioè il sottospazio vettoriale generato da E.

Proposizione. Sia V uno spazio con prodotto scalare, ed E⊆V. Allora

(E^⊥)=(((cl E))^⊥)=(((span E))^⊥)=(((cl(span E)))^⊥),

E⋂(E^⊥)⊆{0},

E⊆cl(span E)⊆((((E^⊥)))^⊥),

V⊇(cl(span E))⊕(E^⊥).

Dimostrazione. È chiaro che E⊆cl E, e passando agli ortogonali (E^⊥)⊇(((cl E))^⊥). Rimane da dimostrare che (E^⊥)⊆(((cl E))^⊥). Sia y∈(E^⊥), (OverBar[x])∈cl E. Esiste una successione (Subscript[x, n])∈E che tende a (OverBar[x]). Allora

y∈(E^⊥)=>(y⊥(Subscript[x, n])  ∀n)⟺(⟨y,(Subscript[x, n])⟩=0  ∀n)=>⟨y,(OverBar[x])⟩=0⟺y⊥(OverBar[x]) .

Quindi ogni elemento y∈(E^⊥) è ortogonale a ogni elemento della chiusura di E, cioè y∈(((cl E))^⊥). È dimostrato che (E^⊥)⊆(((cl E))^⊥).

Supponiamo che y∈E⋂(E^⊥). In particolare y è ortogonale a se stesso: y⊥y, cioè ⟨y,y⟩=0, ma questo implica y=0.

Dimostriamo che E⊆((((E^⊥)))^⊥):

x∈E=>(∀y∈(E^⊥) x⊥y)=>x∈((((E^⊥)))^⊥).

Infine (cl(span E))⊕(E^⊥) ha senso perché (cl(span E)) e (E^⊥) sono sottospazi vettoriali, e si incontrano solo nell’origine. CVD.

Ulteriore riscrittura della condizione di minima distanza:

Proposizione. Siano V uno spazio con prodotto scalare, M un sottospazio vettoriale di V e siano x∈V, (OverBar[y])∈M. Allora si equivalgono le due condizioni seguenti:

Il teorema della minima distanza verrà usato nel seguito nella forma seguente:

Teorema della decomposizione ortogonale. Sia H uno spazio di Hilbert, M un sottospazio vettoriale chiuso. Allora H=M⊕(M^⊥), cioè lo spazio si decompone nella somma diretta fra il sottospazio e il suo ortogonale. Inoltre ((((M^⊥)))^⊥)=M.

Dimostrazione. Sappiamo già che M e (M^⊥) sono sottospazi vettoriali (chiusi) e che si intersecano solo nell’origine, per cui H⊇M⊕(M^⊥). Per dimostrare l’uguaglianza, prendiamo un qualsiasi elemento x∈H, e facciamo vedere che x è la somma di un elemento di M con uno di (M^⊥). Sia (OverBar[y]) il punto di M più vicino a x (esiste per il teorema di minima distanza). Per la proposizione precedente x-(OverBar[y])⊥M. Ma allora

x=(Overscript[(OverBar[y]), (Overscript[⏞, ∈M])])+((Overscript[x-(OverBar[y]), (Overscript[⏞, ∈(M^⊥)])])), come si voleva.

Rimane da dimostrare che ((((M^⊥)))^⊥)=M. Sappiamo già che ((((M^⊥)))^⊥)⊇M. Supponiamo per assurdo che siano diversi: ((((M^⊥)))^⊥)≠M. Osserviamo che ((((M^⊥)))^⊥) è un sottospazio vettoriale chiuso di H, quindi completo, cioè è esso stesso uno spazio di Hilbert, ed M è un sottospazio vettoriale chiuso di ((((M^⊥)))^⊥). Possiamo fare la decomposizione ortogonale non in H ma in ((((M^⊥)))^⊥): possiamo scrivere ((((M^⊥)))^⊥)=M⊕M' con M'⊥M, M'≠{0}. Prendiamo x'∈M'∖{0}. Questo x' è ortogonale a M, cioè x'∈(M^⊥) (ortogonale in H) e contemporaneamente x'∈((((M^⊥)))^⊥). In particolare x' è ortogonale a se stesso, e quindi è nullo, contraddizione. CVD.

Esercizio. Siano N,M sottospazi vettoriali chiusi di H. Allora M=(N^⊥)⟺(M^⊥)=N, e N=M⟺(N^⊥)=(M^⊥).

Se N,M sono sottospazi vettoriali non necessariamente chiusi: M=(N^⊥)=>(M^⊥)=cl N, cl M=(N^⊥)=>(M^⊥)=cl N.

Esercizio. Sia V lo spazio vettoriale delle funzioni continue [0,1]->ℝ con il prodotto scalare di (L^2). Sia M l’insieme delle f∈V tali che

(∫_0^(1/2))f(t)dt-(∫_(1/2)^1)f(t)dt=0. Dimostrare che M è un sottospazio vettoriale chiuso e proprio di V, che (M^⊥)={0}, M≠((((M^⊥)))^⊥)=V, V≠M⊕(M^⊥). (Immergere V in (L^2), che è di Hilbert).

In generale, quando uno spazio vettoriale si decompone in somma diretta, alla decomposizione si associano le due proiezioni nei due sottospazi, che sono operatori lineari. Nel caso della decomposizione ortogonale H=M⊕(M^⊥), le due proiezioni sono dette proiezioni ortogonali, e le indicheremo con (Subscript[P, M]),(Subscript[P, (M^⊥)]). Mentre in una somma diretta generica le proiezioni dipendono dalla scelta di entrambi i sottospazi, non solo da ciascuno separatamente, nella proiezione ortogonale la scelta di un sottospazio obbliga l’altra. Possiamo scrivere

x=(Subscript[P, M])x+(Subscript[P, (M^⊥)])x, con (Subscript[P, M])x∈M, (Subscript[P, (M^⊥)])x∈(M^⊥), e (Subscript[P, M])x⊥(Subscript[P, (M^⊥)])x. Più in generale, se riusciamo a scrivere x=x'+x'' con x'∈M e x''∈(M^⊥), allora x'=(Subscript[P, M])x e x''=(Subscript[P, (M^⊥)])x.

Altro fatto semplice ma di uso frequente riguarda le norme quadre:

((‖x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x+(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)+((‖(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2), che può essere vista come una versione del teorema di Pitagora.

In particolare ((‖x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x+(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)+((‖(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)≥((‖(Subscript[P, M])x‖)^2), da cui, estraendo la radice quadrata ‖(Subscript[P, M])x‖≤‖x‖. Quindi la proiezione ortogonale è sempre continua, anzi, è non espansiva, cioè la norma viene sempre rimpicciolita o lasciata uguale, mai ingrandita.

Le proiezioni ortogonali sono lineari continue (Subscript[P, M]):H->M⊆H, (Subscript[P, (M^⊥)]):H->(M^⊥)⊆H, (Subscript[P, M])+(Subscript[P, (M^⊥)])=(Subscript[id, H]) (identità su H).

Trascrizione della lezione del 19 marzo 2021.

Proiezione ortogonale su sottospazi a dimensione finita

Per affrontare il caso di sottospazi a dimensione finita è utile un lemma.

Lemma. Sia V uno spazio normato, M un sottopazio vettoriale chiuso, (OverBar[y])∈V∖M. Allora span(M⋃{(OverBar[y])}) è ancora chiuso.

Se aggiungiamo un vettore a un sottospazio vettoriale chiuso, il nuovo sottospazio è ancora chiuso.

Dimostrazione. Prendiamo (OverBar[z])∈cl(span(M⋃{(OverBar[y])})). Dobbiamo dimostrare che

(OverBar[z])∈span(M⋃{(OverBar[y])}). Prendiamo (Subscript[z, n])∈span(M⋃{(OverBar[y])}) tali che (Subscript[z, n])->(OverBar[z]). Per definizione di span, esistono (Subscript[x, n])∈M, (Subscript[λ, n]) scalare tali che (Subscript[z, n])=(Subscript[x, n])+(Subscript[λ, n])(OverBar[y]). Poiché (Subscript[z, n]) converge, in particolare è limitata: ‖(Subscript[z, n])‖≤r per ogni n.

Voglio dimostrare che (Subscript[λ, n]) è una successione limitata di scalari. Per assurdo, supponiamo che non sia limitata. Allora esiste una sottosuccessione (Subscript[λ, (Subscript[n, k])]) tale che |(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|->+∞. Prendiamo la disuguaglianza ‖(Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y])‖≤r e dividiamola per |(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|:

((‖(Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y])‖)/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|))≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|)). Portiamo (Subscript[λ, (Subscript[n, k])]) dentro alla norma:

‖(((Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y]))/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))‖≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|)). Proprietà distributiva: ‖((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))+(OverBar[y])‖≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|)), o anche

‖(OverBar[y])-(Overscript[(-((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))), (Overscript[⏞, ∈M])])‖≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|))->0. Per definizione di limite, la successione -((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])) tende a (OverBar[y]). Però -((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])) è in M, che è chiuso per ipotesi. Quindi (OverBar[y])∈M, che è contro l’ipotesi dell’enunciato.

La successione  (Subscript[λ, n]) è quindi limitata. Possiamo estrarre una sottosuccessione convergente (Subscript[λ, (Subscript[n, k])])->(OverBar[λ]). Consideriamo (Subscript[x, (Subscript[n, k])])=(Subscript[z, (Subscript[n, k])])-(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y]). Abbiamo che (Subscript[x, (Subscript[n, k])])->(OverBar[z])-(OverBar[λ])(OverBar[y]). D’altra parte (Subscript[x, (Subscript[n, k])])∈M, che è chiuso. Ne segue che anche (OverBar[x]):=(OverBar[z])-(OverBar[λ])(OverBar[y])∈M. Riordinando (OverBar[z])=(OverBar[x])+(OverBar[λ])(OverBar[y])∈span(M⋃{(OverBar[y])}), CVD.

Proposizione. Ogni sottospazio di dimensione finita di uno spazio normato è chiuso.

Dimostrazione. Per induzione sulla dimensione del sottospazio. Se la dimensione è 0, il sottospazio è {0}, che è chiuso. Il passo induttivo è dato dal lemma precedente. CVD.

Torniamo agli spazi di Hilbert. I sottospazi di dimensione finita sono chiusi, e si prestano ad applicare il teorema della decomposizione ortogonale. Studiamo questo caso importante in dettaglio. Sia H uno spazio di Hilbert, di dimensione anche infinita, M un sottospazio di dimensione finita con base (vettoriale) (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),…,(Subscript[u, n]), nota. Prendiamo x∈H. Problema: calcolare (Subscript[P, M])x (l’esistenza e unicità la sappiamo). Usiamo la condizione di ortogonalità. Per semplicità poniamo (OverBar[y])=(Subscript[P, M])x. Questo (OverBar[y]) è il punto di M più vicino a x, o anche: (x-(OverBar[y]))⊥M. Equivalentemente: (x-(OverBar[y]))⊥(Subscript[u, k]) per ogni k=1,…,n, cioè ancora ⟨x-(OverBar[y]),(Subscript[u, k])⟩=0 per ogni k=1,…,n. Ricordiamoci che (OverBar[y])∈M, e quindi (OverBar[y]) si scrive come combinazione degli elementi della base: (OverBar[y])=(Subscript[λ, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[λ, 2])(Subscript[u, 2])+…+(Subscript[λ, n])(Subscript[u, n])=(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])(Subscript[u, k]), con (Subscript[λ, 1]),…,(Subscript[λ, n]) scalari incogniti. Sostituiamo dentro le equazioni di ortogonalità:

⟨x-(OverBar[y]),(Subscript[u, k])⟩=0 diventa ⟨x-(∑_(j=1)^n)(Subscript[λ, j])(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k])⟩=0. Isolo i coefficienti incogniti:

⟨x,(Subscript[u, k])⟩-(∑_(j=1)^n)(Subscript[λ, j])⟨(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k])⟩=0. Questo è un sistema di n equazioni lineari nelle incognite (Subscript[λ, j]). Si riscrive anche come (∑_(j=1)^n)⟨(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[λ, j])=⟨x,(Subscript[u, k])⟩. Tutto dipende dalla matrice dei coefficienti (Subscript[a, j,k]):=⟨(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k])⟩ e dal vettore dei termini noti ⟨x,(Subscript[u, k])⟩. La matrice è hermitiana, cioè il trasposto è uguale al coniugato. Inoltre è definita positiva. Il problema ha soluzione unica, che si può ottenere per esempio invertendo la matrice.

Il caso che ci interessa particolarmente è quando la base di M è ortonormale: i vettori della base hanno norma 1 e sono a due a due ortogonali: ⟨(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k])⟩=({{{, ({{1, se j=k}, {0, se j≠k}})}}), o se la matrice (Subscript[a, j,k]) è l’identità.

Le equazioni per i coefficienti (Subscript[λ, j]) si semplificano: (Subscript[λ, k])=⟨x,(Subscript[u, k])⟩. Sostituendo otteniamo la formula notevole:

Proposizione. (Subscript[P, M])x=(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]), valida quando gli (Subscript[u, k]) sono una base ortonormale di M.

Nel caso n=1, troviamo (Subscript[P, M])x=⟨x,u⟩u, che è una giustificazione a posteriori della formula che abbiamo usato nel dimostrare la disuguaglianza di Schwarz.

Il coefficiente ⟨x,(Subscript[u, k])⟩ dipende solo da (Subscript[u, k]), non dagli altri elementi della base. Se cambio il resto della base, lasciandola ortonormale, questo coefficiente non cambia. Non farsi trarre in inganno: per una base qualsiasi, non ortonormale, se cambio gli altri elementi della base, cambia anche il coefficiente.

Osserviamo che la somma (∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) è ortogonale (non ortonormale). Vale il teorema di Pitagora: la norma quadra della somma è uguale alla somma delle norme quadre:

((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)=((‖(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=1)^n)((‖⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=1)^n)((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)((‖(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=1)^n)((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2):

la norma quadra della proiezione ortogonale è uguale alla somma dei quadrati dei coefficienti rispetto a una base ortonormale. Il valore assoluto è importante nel caso di spazi complessi, si può togliere nel caso di spazi reali.

Corollario. Sia H uno spazio di Hilbert, (Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n]) dei vettori ortonormali, e sia x∈H. Allora

(∑_(k=1)^n)((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)≤((‖x‖)^2).

Questa è la teoria della proiezione ortogonale su sottospazi a dimensione finita. Dobbiamo generalizzarla a sottospazi chiusi qualsiasi. Per questo dobbiamo chiarirci le idee sulle combinazioni lineari infinite di vettori, o su somme infinite di vettori. La cosa è un po’ meno banale di quanto si potrebbe pensare.

Somme infinite di vettori

Definizione di sommabilità. Sia V uno spazio normato, Λ un insieme di indici, {(Subscript[x, λ]):λ∈Λ} una famiglia di vettori di V indicizzata da Λ, e sia s∈V. Diremo che la famiglia (Subscript[x, λ]) è sommabile con somma s se per ogni ϵ>0 esiste un sottinsieme finito (Subscript[F, ϵ])⊆Λ tale che per ogni suo soprainsieme finito F con (Subscript[F, ϵ])⊆F⊆Λ si ha che

‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖<ϵ.

(RowDefault)

Esercizio: la somma s è unica. La somma si comporta bene per operatori lineari continui, cioè se A:V->W operatore lineare continuo fra due spazi normati, e se {(Subscript[x, λ]):λ∈Λ} è sommabile in V, la famiglia dei trasformati {A (Subscript[x, λ]):λ∈Λ} è sommabile in W, e la A si raccoglie.

Definizione di proprietà di Cauchy. Sia V uno spazio normato,  Λ un insieme di indici, {(Subscript[x, λ]):λ∈Λ} una famiglia di vettori di V indicizzata da Λ. Diremo che la famiglia ha la proprietà di Cauchy per la sommabilità se: per ogni ϵ>0 esiste un sottinsieme finito (Subscript[G, ϵ])⊆Λ tale che per ogni altro insieme finito di indici G digiunto da (Subscript[G, ϵ]) si ha che

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖<ϵ.

(RowDefault)

Trascrizione della lezione del 23 marzo 2021.

Proposizione. La sommabilità implica la condizione di Cauchy.

Dimostrazione. Prendiamo una famiglia (Subscript[x, λ]) sommabile con somma s. Fissiamo ϵ>0. Per definizione di sommabilità esite un (Subscript[F, ϵ/2]) finito ⊆Λ tale che per ogni F⊇(Subscript[F, ϵ]) (finito) vale la disuguaglianza ‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖<ϵ/2. Definiamo (Subscript[G, ϵ])=(Subscript[F, ϵ/2]). Prendiamo un qualsiasi G⊆Λ finito e disgiunto da (Subscript[G, ϵ]). Facciamo il conto:

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖=‖(∑_(λ∈G⋃(Subscript[G, ϵ])))(Subscript[x, λ])-s+s-(∑_(λ∈(Subscript[G, ϵ])))(Subscript[x, λ])‖≤‖(∑_(λ∈G⋃(Subscript[G, ϵ])))(Subscript[x, λ])-s‖+‖s-(∑_(λ∈(Subscript[G, ϵ])))(Subscript[x, λ])‖<(ϵ/2)+(ϵ/2)=ϵ.

CVD.

Proposizione. (I vettori non nulli sono al più numerabili). Se la famiglia (Subscript[x, λ]) ha la proprietà di Cauchy, allora l’insieme {λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0} è finito o numerabile.

Dimostrazione. Sia ϵ>0, (Subscript[G, ϵ]) come nella definizione della proprietà di Cauchy, (Subscript[λ, 0])∈Λ \ (Subscript[G, ϵ]). Allora il singoletto {(Subscript[λ, 0])}=G è disgiunto da (Subscript[G, ϵ]), e quindi

‖(Subscript[x, (Subscript[λ, 0])])‖=‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖<ϵ. In altre parole (Subscript[λ, 0])∉(Subscript[G, ϵ])=>‖(Subscript[x, (Subscript[λ, 0])])‖<ϵ.

Contronominale: ‖(Subscript[x, (Subscript[λ, 0])])‖≥ϵ=>(Subscript[λ, 0])∈(Subscript[G, ϵ]).

Conto:

{λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0}={λ∈Λ:‖(Subscript[x, λ])‖>0}={λ∈Λ:∃n∈ℕ tale che ‖(Subscript[x, λ])‖≥1/n}=
(⋃_(n∈ℕ)){λ∈Λ: ‖(Subscript[x, λ])‖≥1/n}⊆(⋃_(n∈ℕ))(Subscript[G, 1/n])

L’ultimo membro è una unione numerabile di insiemi finiti. Quindi è al più numerabile. L’insieme {λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0} sottinsieme di un insieme al più numerabile, e pertanto è al più numerabile. CVD.

Proposizione. (Cauchy implica sommabilità negli spazi completi). In uno spazio normato completo V, se la famiglia (Subscript[x, λ]) ha la proprietà di Cauchy, allora è sommabile.

Dimostrazione. Ci appoggiamo sul concetto di sommabilità di serie classiche. C’è un pochino di complicazione nel raccordare i due concetti di sommabilità: nelle serie classiche è importante l’ordine in cui vengono sommati i vettori, invece nella sommabilità introdotta adesso non c’è alcun ordine nella famiglia di indici (c’è un ordine parziale nella famiglia di sottinsiemi finiti di Λ, che è un’altra cosa).

Supponiamo che valga la proprietà di Cauchy per una certa famiglia (Subscript[x, λ]).

Poniamo (Subscript[Λ, 0]):={λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0}. Questo è finito o numerabile per la proposizione precedente. Nel caso che (Subscript[Λ, 0]) sia finito la sommabilità è banale. Supponiamo d’ora in poi che sia numerabile, cioè che esista una biiezione ϕ:ℕ->(Subscript[Λ, 0]).

Consideriamo la successione di somme parziali (Subscript[s, n]):=(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, ϕ(k)]). Questa è una successione di vettori di V. Dimostriamo che è di Cauchy come successione. Sia ϵ>0. Dalla definizione  di proprietà di Cauchy per la sommabilità, esiste un sottinsieme finito (Subscript[G, ϵ])⊆Λ tale che…

Consideriamo (ϕ^(-1))((Subscript[G, ϵ])). È un sottinsieme finito di ℕ. Prendiamone il massimo

(Subscript[N, ϵ]):=max (ϕ^(-1))((Subscript[G, ϵ])). Se per caso (ϕ^(-1))((Subscript[G, ϵ])) è vuoto, (Subscript[N, ϵ])=1.

Se prendiamo m>(Subscript[N, ϵ]), avremo ϕ(m)∉(Subscript[G, ϵ]). Prendiamo G:={ϕ(m+1),ϕ(m+2),…,ϕ(n)}, con n>m>(Subscript[N, ϵ]). Osserviamo che G è disgiunto da (Subscript[G, ϵ]). Consideriamo

‖(Subscript[s, n])-(Subscript[s, m])‖=‖(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, ϕ(k)])-(∑_(k=1)^m)(Subscript[x, ϕ(k)])‖=‖(∑_(k=m+1)^n)(Subscript[x, ϕ(k)])‖=‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖<ϵ.

Effettivamente la successione delle somme parziali è di Cauchy, nel senso delle successioni. Per ipotesi lo spazio V è completo. Quindi (Subscript[s, n])->s per un qualche s∈V. Bisogna dimostrare che questa s è la somma nel senso della sommabilità. Esercizio. CVD.

Raccordi con altri concetti di sommabilità.

Proposizione (sommabilità di famiglie di numeri reali positivi o nulli). Sia V=ℝ, prendiamo una famiglia (Subscript[x, λ]) tale che (Subscript[x, λ])≥0 per ogni λ. Poniamo

s:=sup{(∑_(λ∈H))(Subscript[x, λ]):H sottinsieme finito di Λ}.

Allora la famiglia (Subscript[x, λ]) è sommabile nel senso della sommabilità infinita di vettori se e solo se s<+∞, e in tal caso la somma è proprio s.

Nel caso di una somma infinita di numeri non negativi, la somma esiste sempre, e la famiglia è sommabile quando la somma è finita, e i due concetti coincidono.

Proposizione (la convergenza assoluta implica Cauchy). Sia V uno spazio normato e (Subscript[x, λ]) una famiglia di vettori. Se

(∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞ (condizione di convergenza assoluta)

allora la famiglia ha la proprietà di Cauchy per la sommabilità. Se V è anche completo, è sommabile.

(se una serie converge assolutamente, allora converge anche semplicemente).

Dimostrazione. Poniamo r=(∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞. Sia ϵ>0. Per definizione di estremo superiore, esiste un (Subscript[G, ϵ])⊆Λ finito tale che

(∑_(λ∈(Subscript[G, ϵ])))‖(Subscript[x, λ])‖>r-ϵ.

Prendiamo G finito disgiunto da (Subscript[G, ϵ]). Allora

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖≤(∑_(λ∈G))‖(Subscript[x, λ])‖=(∑_(λ∈G⋃(Subscript[G, ϵ])))‖(Subscript[x, λ])‖-(∑_(λ∈(Subscript[G, ϵ])))‖(Subscript[x, λ])‖≤r-(∑_(λ∈(Subscript[G, ϵ])))‖(Subscript[x, λ])‖<r-(r-ϵ)=ϵ,

cioè vale la proprietà di Cauchy. CVD.

Proposizione (somma infinita di numeri reali di segno qualsiasi). Quando V=ℝ, condizione necessaria e sufficiente perché la famiglia (Subscript[x, λ])∈ℝ sia sommabile è che la somma dei valori assoluti sia finita:

(∑_(λ∈Λ))|(Subscript[x, λ])|<+∞.

In tal caso la somma è data da s=(∑_(λ∈Λ,(Subscript[x, λ])≥0))(Subscript[x, λ])-(∑_(λ∈Λ,(Subscript[x, λ])<0))(-(Subscript[x, λ])).

Proposizione (in dimensione finita la sommabilità equivale alla convergenza assoluta).

Quando V=(ℝ^n) o V=(ℂ^n), la famiglia (Subscript[x, λ])∈V è sommabile se e solo se la famiglia ‖(Subscript[x, λ])‖ è sommabile, cioè se e solo se (∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞.

Esiste anche un altro approccio alle somme infinite di di numeri reali, o complessi (o più in generale a dimensione finita). Ci si appoggia alla teoria della misura. Si introduce sull’insieme Λ degli indici la σ-algebra 𝒫(Λ) di tutti i sottinsiemi, con la misura del conteggio: (counting measure), definita come

#(E):=({{{, ({{cardinalità di E, se E è finito}, {+∞, se E è infinito}})}})

Verificate che (Λ,𝒫(Λ),#) è uno spazio di misura.

Una famiglia (Subscript[x, λ])∈ℝ può essere vista come una funzione Λ->ℝ, e quindi abbiamo il concetto di integrale rispetto alla misura #:

(∫_Λ)xd#, quando l’integrale converge, cioè quando x∈(L^1)(#).

È possibile definire (∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ]):=(∫_Λ)xd#.

Non dimostriamo, ma questo altro concetto di somma coincide con la sommabilità vista prima, in dimensione finita.

Ci sono sorprese in dimensione infinita: i vari concetti non coincidono.

Esempio. Consideriamo lo spazio (ℓ^p) delle successioni x:ℕ->ℂ con la norma

(Subscript[‖x‖, p]):=((((∑_(k∈ℕ))((|x(k)|)^p)))^(1/p)).

Esiste anche (ℓ^∞) che ha norma (Subscript[‖x‖, ∞]):=sup{|x(k)|:k∈ℕ}.

Caso particolare p=1: (Subscript[‖x‖, 1]):=(∑_(k∈ℕ))|x(k)|.

Lo spazio (ℓ^p) è analogo a (L^p).

Trascrizione della lezione del 26 marzo 2021.

Attenzione: in dimensione finita la sommabilità è condizione più restrittiva della convergenza semplice della serie. Prendiamo (Subscript[x, n])=(((-1))^n)/n, x:ℕ->ℝ. Questa famiglia (successione) non è sommabile, perché la somma dei valori assoluti diverge:

(∑_(n=1)^(+∞))|(Subscript[x, n])|=(∑_(n=1)^(+∞))|(((-1))^n)/n|=(∑_(n=1)^(+∞))1/n=+∞,

però la successione delle somme parziali (Subscript[s, n]):=(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, k])=(∑_(k=1)^n)(((-1))^k)/k converge semplicemente (serie armonica a segni alterni).

Altra differenza fra i due concetti è che la sommabilità non usa alcun ordinamento interno all’insieme degli indici Λ. Se prendo una permutazione ϕ:Λ->Λ (biiezione), verificare che (Subscript[x, λ]) è sommabile se e solo se lo è (Subscript[x, ϕ(λ)]), con la stessa somma. In altre parole, la sommabilità ha la proprietà commutativa infinita. Invece il concetto di limite delle somme parziali (lim_(n->∞))(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, k]) può dipendere dall’ordine in cui si prendono gli elementi. Cioè se ϕ:ℕ->ℕ è biiettiva, non è detto che (lim_(n->∞))(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, k])=(lim_(n->∞))(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, ϕ(k)]), anzi, non è detto che se esiste un limite esista anche l’altro. Non vale la proprietà commutativa nelle serie che convergono solo semplicemente ma non assolutamente.

Abbozziamo la dimostrazione che la serie armonica a segni alterni (∑_(k=1)^(+∞))(((-1))^k)/k non è commutativa.

Dividiamo gli addendi in due sottinsiemi, quelli positivi e quelli negativi, ordinandoli con valore assoluto decrescente:

positivi: (1/2), (1/4), (1/6), (1/8),…

negativi: -1, -(1/3), -(1/5),  -(1/7),  -(1/9), …

Ciascuno di questi due sottinsiemi ha somma infinita (l’andamento asintotico è come 1/n), e i valori tendono a zero.

Prendiamo un qualsiasi numero reale, per esempio L=10. Voglio mostrare che è possibile costruire una biiezione ϕ:ℕ->ℕ tale che (∑_(k=1)^(+∞))(((-1))^(ϕ(k)))/ϕ(k)=L=10.

Questo L è positivo. Cominciamo a sommare termini positivi della serie, nell’ordine descrescente: (1/2)+(1/4)+(1/8)+… finché la somma parziale non supera L=10. Appena la supera ci fermiamo. Siamo sicuri che la supererà prima o poi perché la somma totale dei termini positivi è infinita.

Cominciamo a sommare termini negativi, nell’ordine scritto. Prima o poi la somma parziale torna sotto L=10. Ci fermiamo.

Ricominciamo a sommare termini positivi non ancora utilizzati, nell’ordine indicato. Prima o poi torniamo a superare 10. Appena lo superiamo ci fermiamo.

Torniamo a sommare termini negativi, finché non torniamo sotto 10.

Eccetera.

Questa procedura userà prima o poi ogni singolo termine della serie, una sola volta. L’ordine in cui vengono presi definisce quindi una permutazione dei numeri naturali.

La serie così permutata converge semplicemente e la somma è proprio 10. Questo sfrutta il fatto che i termini della serie tendono a zero, e lo scarto da 10 quando lo si supera è infinitesimo.

Variante: fissati (Subscript[L, 1])<(Subscript[L, 2]) reali (o infiniti), è possibile trovare una permutazione della serie tale che le somme parziali abbiano (Subscript[L, 1]) come minimo limite, e (Subscript[L, 2]) come massimo limite.

In particolare, è possibile far divergere la serie armonica a segni alterni con una permutazione.

Il procedimento si generalizza a una qualsiasi serie tale che (∑_(k=1)^(+∞))|(Subscript[a, k])|=+∞ e (Subscript[a, k])->0 per k->+∞.

Torniamo all’argomento principale: la sommabilità prescinde da eventuali ordinamenti interni all’insieme degli indici, invece la convergenza delle somme parziali dipende dall’ordinamento di ℕ se la serie non converge assolutamente.

Torniamo a parlare dello spazio (ℓ^p) delle successioni x:ℕ->ℂ con la norma

(Subscript[‖x‖, p]):=((((∑_(k∈ℕ))((|x(k)|)^p)))^(1/p)).

(ℓ^p) è un caso particolare di (L^p), quando come spazio di misura prendo la misura del conteggio: (ℕ,𝒫(ℕ),#). L’integrale corrisponde alla serie:

(Subscript[‖x‖, p]):=((((∑_(k∈ℕ))((|x(k)|)^p)))^(1/p))=((((∫_ℕ)((|x|)^p)d#))^(1/p))=(Subscript[‖x‖, (L^p)(#)]).

Insomma, (ℓ^p) è un caso particolare di (L^p). Gli elementi di (ℓ^p) sono successioni, che può convenire siano pensate come infinituple:

x=(x(1),x(2),x(3),…).

Se invece di avere infinituple prendiamo solo un numero finito n di elementi ricadiamo in (ℂ^n) o (ℝ^n) con la norma (Subscript[‖(x(1),x(2),…,x(n))‖, p])=((((∑_(k=1)^n)((|x(k)|)^p)))^(1/p)).

Caso particolare n=2: (Subscript[‖(x,y)‖, p])=(((((|x|)^p)+((|y|)^p)))^(1/p)).

Caso particolare p=1: (Subscript[‖(x,y)‖, 1])=|x|+|y|.

Caso particolare p=2: (Subscript[‖(x,y)‖, 2])=(Sqrt[((|x|)^2)+((|y|)^2)]), norma euclidea.

Esercizio: (lim_(p->+∞))(Subscript[‖(x,y)‖, p])=(Subscript[‖(x,y)‖, ∞])=max{|x|,|y|}.

Torniamo a (ℓ^p) con vettori della forma x=(x(1),x(2),x(3),…).

Consideriamo questa successione di vettori:

(Subscript[x, 1])=(1,0,0,0,0,…) (prima componente 1, le altre zero),

(Subscript[x, 2])=(0,1/2,0,0,0,…) (seconda componente 1/2, le altre zero),

(Subscript[x, 3])=(0,0,1/3,0,0,…) (terza componente 1/3, le altre zero),

(Subscript[x, 4])=(0,0,0,1/4,0,…) (quarta componente 1/4, le altre zero),

eccetera

(Subscript[x, n])=(0,0,0,0,0,…,0,1/n,0,…) (n-esima componente 1/n, le altre zero).

Esercizio: questa è una famiglia sommabile se 1<p<+∞, con somma

s=(1,1/2,1/3,1/4,1/5,…,1/n,…) (n-esima componente 1/n).

(Quello che si ottiene facendo le somme componente per componente).

Però la somma delle norme non è finita, cioè non vale la condizione di convergenza assoluta:

(∑_(n=1)^(+∞))(Subscript[‖(Subscript[x, n])‖, p])=
(∑_(n=1)^(+∞))(Subscript[‖(0,0,0,0,0,…,0,1/n,0,…)‖, p])=
(∑_(n=1)^(+∞))((((0^p)+(0^p)+…+(((1/n))^p)+(0^p)+…))^(1/p))=
(∑_(n=1)^(+∞))1/n=+∞.

In uno spazio a dimensione infinita, la sommabilità non è equivalente alla convergenza assoluta.

Altro esempio, in uno spazio diverso V:=𝒞([0,1]), funzioni continue [0,1]->ℝ con la norma del sup (Subscript[‖f‖, ∞]):=sup{|f(x)|:x∈[0,1]}, cioè la norma della convergenza uniforme.

In questo spazio V consideriamo questa successione di funzioni (Subscript[f, n])∈V:

({{, , }, {, , }})

Questa successione è sommabile nel senso delle somme infinite e la somma s=(∑_(n∈ℕ))(Subscript[f, n]) ha infinite tende. Però la somma delle norme (∑_(n∈ℕ))(Subscript[‖(Subscript[f, n])‖, ∞])=(∑_(n∈ℕ))1/n=+∞.

In dimensione infinita la sommabilità è distinta dalla convergenza assoluta.

In dimensione finita la sommabilità equivale alla convergenza assoluta.

Torniamo agli spazi di Hilbert con l’ortogonalità.

Definizione. Una famiglia di vettori {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} si dice ortogonale se i vettori sono a due a due ortogonali, e si dice ortonormale se in più ognuno ha norma 1.

Proposizione. Condizione di sommabilità per famiglie ortogonali. Sia H uno spazio di Hilbert,  {(Subscript[x, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortogonale. Allora la famiglia è sommabile se e solo se

(∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2)<+∞.

Se poi vale questa condizione, vale anche

((‖(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2).

Questo generalizza quello che abbiamo chiamato teorema di Pitagora per somme finite. Chiamiamo anche questo “teorema di Pitagora” infinito.

Dimostrazione. Supponiamo che valga la proprietà di Cauchy per (Subscript[x, λ]). Quindi per ogni ϵ>0 esite (Subscript[G, ϵ]) con le proprietà della definizione. Fissiamo ϵ>0. Prendiamo un G finito disgiunto da (Subscript[G, (Sqrt[ϵ])]). Allora

ϵ=((((Sqrt[ϵ])))^2)>((‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈G))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2).

Questo dimostra che la famiglia λ↦((‖(Subscript[x, λ])‖)^2) ha la proprietà di Cauchy per la sommabilità.

Il vicevera è analogo.

Trascrizione della lezione del 30 marzo 2021.

Supponiamo quindi che (∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ]) sia sommabile con somma s. Vogliamo dimostrare che

((‖s‖)^2)=(∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2).

Fissiamo ϵ>0.  Per definizione di sommabilità esiste (Subscript[F, ϵ]) come da definizione. Prendiamo F soprainsieme finito di (Subscript[F, ϵ]). Possiamo fare questo conto:

|((‖s‖)^2)-(∑_(λ∈F))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2)|=|((‖s‖)^2)-((‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)^2)|=
|‖s‖-‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖|·|‖s‖+‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖|≤‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖·(‖s‖+‖s-s+(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)≤
ϵ(‖s‖+‖s‖+‖-s+(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)<ϵ(2‖s‖+ϵ).

L’ultimo membro si può rendere piccolo a piacere.  Concludiamo che anche la famiglia λ↦((‖(Subscript[x, λ])‖)^2) è sommabile, con somma ((‖s‖)^2). CVD.

Prendiamo la serie armonica a segni alterni (∑_(k=1)^(+∞))(((-1))^k)/k, se faccio la somma dei quadrati (∑_(k=1)^(+∞))((|(((-1))^k)/k|)^2)=(∑_(k=1)^(+∞))1/(k^2)<+∞, però la serie armonica a segni alterni non è sommabile. Però gli addendi non sono ortogonali uno all’altro. Lo spazio V sono i reali, che hanno dimensione 1, non è possibile trovare famiglie di vettori ortogonali che non siano banali.

Osservazione: la condizione di convergenza assoluta (∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞ implica (∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2)<+∞, non viceversa.

A noi interessano in particolare le somme della forma (∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]), quando (Subscript[u, λ]) forma una famiglia ortonormale. La famiglia λ↦⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]) è ortogonale, in generale i vettori non hanno norma 1. Per la sua sommabilità possiamo applicare il criterio visto sopra. Prendiamo un sottinsieme finito F⊆Λ, sia (Subscript[M, F])=span{(Subscript[u, λ]):λ∈F}. Possiamo scrivere:

(∑_(λ∈F))((‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=((‖(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=((‖(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖)^2)≤((‖x‖)^2).

Quindi (∑_(λ∈Λ))((‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=sup{(∑_(λ∈F))((‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2):F finito}≤((‖x‖)^2)<+∞.

Per il criterio di sommabilità, se siamo in uno spazio di Hilbert (∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]) è sommabile. Vedermo fra non molto l’interpretazione geometrica della somma.

Definizione. Dato uno spazio di Hilbert H e un sistema ortonormale {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}, indicheremo con (OverHat[x]) la funzione λ↦⟨x,(Subscript[u, λ])⟩, Λ->ℂ, cioè (OverHat[x])(λ)=⟨x,(Subscript[u, λ])⟩. Gli scalari (OverHat[x])(λ) saranno chiamati coefficienti di Fourier di x rispetto al sistema ortonormale. Nella notazione (OverHat[x]) il sistema ortonormale viene sottinteso.

Proposizione. Sia dato uno spazio di Hilbert H e un sistema ortonormale {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}. Prendiamo un qualsiasi x∈H. Allora la funzione (OverHat[x])(λ)=⟨x,(Subscript[u, λ])⟩ appartiene a (ℓ^2)(Λ). Inoltre l’applicazione x↦(OverHat[x]) è linerare, continua e suriettiva H->(ℓ^2)(Λ). Più precisamente vale la disuguaglianza (Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)(Λ)])≤ (Subscript[‖x‖, H]).

Dimostrazione. Facciamo il conto

(Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)]^2)=(∫_Λ)((|(OverHat[x])|)^2)d#=(∑_(λ∈Λ))((|(OverHat[x])(λ)|)^2)=sup{(∑_(λ∈F))((|(OverHat[x])(λ)|)^2):F finito ⊆Λ}=
sup{(∑_(λ∈F))(Subscript[‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖, H]^2):F finito ⊆Λ}=sup{(Subscript[‖(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖, H]^2):F finito ⊆Λ}=
sup{(Subscript[‖(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖, H]^2):F finito ⊆Λ}≤(Subscript[‖x‖, H]^2)<+∞.

Quindi effettivamente (OverHat[x])∈(ℓ^2)(Λ).

L’applicazione x↦(OverHat[x]) è lineare (banale). È anche continua, anzi (Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)(Λ)])≤ (Subscript[‖x‖, H]). Manca solo da dimostrare che è suriettiva. Prendiamo a∈(ℓ^2)(Λ). Questo a è una funzione λ↦(Subscript[a, λ]). Definiamo il vettore s=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]). Questa somma è sommabile perché è una somma ortogonale e (∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈Λ))((|(Subscript[a, λ])|)^2)=(Subscript[‖a‖, (ℓ^2)(Λ)]^2)<+∞. Dico che (OverHat[s])=a. Per vederlo, considero il funzionale lineare continuo (Subscript[L, (Subscript[λ, 0])])z:=⟨z,(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩, H->ℂ. Le somme infinite commutano con in funzionali lineari continui. Quindi

(OverHat[s])((Subscript[λ, 0]))=⟨s,(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(Subscript[L, (Subscript[λ, 0])])s=(Subscript[L, (Subscript[λ, 0])])(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ])=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[L, (Subscript[λ, 0])])((Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]))=(∑_(λ∈Λ))⟨(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=
(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])⟨(Subscript[u, λ]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(Subscript[a, (Subscript[λ, 0])])⟨(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(Subscript[a, (Subscript[λ, 0])]).

Questo dimostra che effettivamente (OverHat[s])=a. CVD.

La disuguaglianza (Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)(Λ)])≤ (Subscript[‖x‖, H]), cioè (∑_(λ∈Λ))((|⟨x,(Subscript[u, λ])⟩|)^2)≤ (Subscript[‖x‖, H]^2), è detta anche disuguaglianza di Bessel. Il caso particolarmente interessante è quando vale l’uguaglianza, che in tal caso è detta identità di Bessel.

Lemma. (Precisazione di un tratto della dimostrazione del teorema di minima distanza). Sia H uno spazio di Hilbert, x∈H, C un sottinsieme convesso non vuoto,

d:=dist(x,C)=(inf_(y∈C))‖x-y‖, e sia ϵ>0. Allora esiste δ>0 tale che per ogni (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),

(({{(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C}, {‖x-(Subscript[y, 1])‖<d+δ}, {‖x-(Subscript[y, 2])‖<d+δ}}) )=>‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖<ϵ.

Dimostrazione. Riprendiamo la dimostrazione del teorema di minima distanza: applicando l’identità del parallelogrammo avevamo stabilito che se (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C valeva la disuguaglianza

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(d^2). Noi vogliamo che il primo membro sia più piccolo di (ϵ^2).  Prendiamo un δ>0 tale che ‖x-(Subscript[y, 1])‖<d+δ, ‖x-(Subscript[y, 2])‖<d+δ, con δ da trovare. Allora

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖(Subscript[y, 1])-x‖)^2)+2((‖(Subscript[y, 2])-x‖)^2)-4(d^2)<2(((d+δ))^2)+2(((d+δ))^2)-4(d^2)=
4(((d+δ))^2)-4(d^2).

Imponiamo che l’ultimo membro sia <(ϵ^2). Viene una disequazione nell’incognita δ:

4(((d+δ))^2)-4(d^2)<(ϵ^2)⟺4(((d+δ))^2)<4(d^2)+(ϵ^2)⟺2(d+δ)<(Sqrt[4(d^2)+(ϵ^2)])⟺
0<δ<-d+((Sqrt[4(d^2)+(ϵ^2)])/2)=(Sqrt[(d^2)+((ϵ^2)/4)])-d.

Osserviamo che l’ultimo membro è >0. La disequazione ha soluzioni in δ. Volendo possiamo prendere δ=(Sqrt[(d^2)+((ϵ^2)/4)])-d. CVD.

Teorema della proiezione ortogonale su un sottospazio chiuso generato da un sistema ortonormale. Sia H uno spazio di Hilbert, {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortonormale. Poniamo M=cl(span{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}). Prendiamo x∈H. Allora la proiezione ortogonale di x su M è data dalla somma

(Subscript[P, M])x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]), intesa come somma infinita di vettori.

Questo generalizza il caso in cui M ha dimensione finita.

Dimostrazione. Sia ϵ>0 e poniamo d=dist(x,M). Il lemma precedente ci fornisce un δ>0 associato a ϵ.

Dato che (Subscript[P, M])x∈M, possiamo approssimarla a meno di δ con una combinazione lineare finita di vettori del sistema ortonormale:

‖(Subscript[P, M])x-((Subscript[a, 1])(Subscript[u, (Subscript[λ, 1])])+(Subscript[a, 2])(Subscript[u, (Subscript[λ, 2])])+…+(Subscript[a, n])(Subscript[u, (Subscript[λ, n])]))‖<δ.

Poniamo z=(Subscript[a, 1])(Subscript[u, (Subscript[λ, 1])])+(Subscript[a, 2])(Subscript[u, (Subscript[λ, 2])])+…+(Subscript[a, n])(Subscript[u, (Subscript[λ, n])]), (Subscript[F, ϵ]):={(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),…,(Subscript[λ, n])}, che è un sottinsieme finito di Λ. Per la disuguaglianza triangolare

‖x-z‖≤‖x-(Subscript[P, M])x‖+‖(Subscript[P, M])x-z‖<d+δ e osserviamo che z∈M.

Sia F un soprainsieme finito di (Subscript[F, ϵ]), e poniamo (Subscript[M, F]):=span{(Subscript[u, λ]):λ∈F}. In particolare z∈(Subscript[M, F]).

La proiezione ortogonale di x su (Subscript[M, F]) è il punto di (Subscript[M, F]) più vicino a x. Quindi (Subscript[P, (Subscript[M, F])])x è più vicina a x di quanto lo sia z:

‖x-(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖≤‖x-z‖<d+δ.

Osserviamo anche che (Subscript[M, F])⊆M, e quindi (Subscript[P, (Subscript[M, F])])x∈M. Abbiamo quindi

(({{(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x∈M, (Subscript[P, M])x∈M}, {‖x-(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖<d+δ}, {‖x- (Subscript[P, M])x‖=d<d+δ}}))=>‖(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x-(Subscript[P, M])x‖<ϵ.

Quindi per ogni ϵ>0 esiste (Subscript[F, ϵ]) finito tale che per ogni soprainsieme finito F abbiamo

‖(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])-(Subscript[P, M])x‖<ϵ. Per definizione di sommabilità, (Subscript[P, M])x è la somma (∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]). CVD.

Trascrizione della lezione del 9 aprile 2021.

Basi hilbertiane.

Teorema delle caratterizzazioni delle basi hilbertiane. Sia H uno spazio di Hilbert e {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} un sistema ortonormale. Sia inoltre M la chiusura del sottospazio generato dal sistema, cioè M=cl(span{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}). Allora si equivalgono le condizioni seguenti:

Se queste condizioni equivalenti sono soddisfatte, il sistema ortonormale {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} sarà detto base hilbertiana di H, o anche base ortonormale, o sistema ortonormale completo.

Dimostrazione. Cominciamo con 1=>2, anzi, la contronominale non 2=>non 1. Supponiamo che span{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} non sia denso in H. Quindi la sua chiusura, che è M, non è tutto H. Per il teorema della decomposizione ortogonale H=M⊕(M^⊥). Quindi (M^⊥)≠{0}. Prendiamo un vettore non nullo in (M^⊥), che chiamiamo z, e possiamo supporre che abbia norma 1. Aggiungiamo il vettore z al sistema ortonormale: {z}⋃{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}. Salvo indicizzazioni, questa è una famiglia ortonormale, che contiene propriamente la famiglia di partenza. Quindi {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} non è massimale per inclusione, cioè la possiamo ingrandire.

Dimostriamo che 2=>3. Supponiamo che span{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} sia denso in H, cioè che M=H. Ma allora la proiezione ortogonale di H su M è semplicemente l’identità: il vettore di M più vicino a x è x stesso. Per il teorema della proiezione ortogonale x=(Subscript[P, H])x=(Subscript[P, M])x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]), che è la 3.

Dimostriamo che 3=>4. Supponiamo che per ogni x∈H valga x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]). Questa è una somma ortogonale, per cui possiamo applicare il teorema di Pitagora generalizzato:

(Subscript[‖x‖, H]^2)=(Subscript[‖(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖, H]^2)=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖, H]^2)=(∑_(λ∈Λ))((|⟨x,(Subscript[u, λ])⟩|)^2)=(∑_(λ∈Λ))((|(OverHat[x])(λ)|)^2)=(∫_Λ)((|(OverHat[x])|)^2)d#=
(Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)]^2).

Quindi l’applicazione x↦(OverHat[x]) è isometria, cioè conserva la norma.

Dimostriamo che 4=>5. Supponiamo che x↦(OverHat[x]) sia isometria, cioè che (Subscript[‖x‖, H])=(Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)]) per ogni x∈H. Andiamo a riprendere l’identità di polarizzazione:

(Subscript[⟨x,y⟩, H])=(((Subscript[‖x+y‖, H]^2)-(Subscript[‖x-y‖, H]^2))/4)+i(((Subscript[‖i x+y‖, H]^2)-(Subscript[‖i x-y‖, H]^2))/4).

Osserviamo che al secondo membro ci sono solo norme, e che le norme sono conservate dall’isometria. Quindi possiamo applicare il cappuccio a tutti i vettori di cui prendiamo la norma al secondo membro e applicare la linearità di x↦(OverHat[x]) e infine la polarizzazione in senso inverso:

(Subscript[⟨x,y⟩, H])=(((Subscript[‖x+y‖, H]^2)-(Subscript[‖x-y‖, H]^2))/4)+i(((Subscript[‖i x+y‖, H]^2)-(Subscript[‖i x-y‖, H]^2))/4)=
(((Subscript[‖(OverHat[x+y])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖(OverHat[x-y])‖, (ℓ^2)]^2))/4)+i(((Subscript[‖(OverHat[i x+y])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖(OverHat[i x-y])‖, (ℓ^2)]^2))/4)=
(((Subscript[‖(OverHat[x])+(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖(OverHat[x])-(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2))/4)+i(((Subscript[‖i (OverHat[x])+(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖i (OverHat[x])-(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2))/4)=
(Subscript[⟨(OverHat[x]),(OverHat[y])⟩, (ℓ^2)])..

Dimostriamo che 5=>1. Anzi, la contronominale non 1=>non 5. Neghiamo che {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} sia massimale per inclusione. Quindi esiste un altro sistema ortonormale che lo contiene propriamente. In particolare, esiste un versore, che chiamo z, che è ortogonale a tutti gli (Subscript[u, λ]). Consideriamo (OverHat[z])∈(ℓ^2). Per definizione (OverHat[z])(λ)=(Subscript[⟨z,(Subscript[u, λ])⟩, H])=0 per ogni λ, e quindi (OverHat[z]) è il vettore nullo di (ℓ^2), e quindi 0=(Subscript[⟨0,0⟩, (ℓ^2)])=(Subscript[⟨(OverHat[z]),(OverHat[z])⟩, (ℓ^2)]), mentre (Subscript[⟨z,z⟩, H])=(Subscript[‖z‖, H]^2)=1. Ne concludiamo che l’applicazione x↦(OverHat[x]) non conserva il prodotto scalare. Non vale la 5.

Dimostriamo che 4=>6. Supponiamo che valga l’identità di Bessel (Subscript[‖x‖, H])=(Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)]) per ogni x. Necessariamente, se (OverHat[x])=0 anche x=0. Il nucleo dell’applicazione x↦(OverHat[x]) è il solo 0. L’applicazione x↦(OverHat[x]) è iniettiva.

Infine vediamo che 6=>1. Anzi, la contronominale non 1=>non 6. Supponiamo che il sistema {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} non sia massimale. Come prima, esiste un versore, che chiamo z, che è ortogonale a tutti gli (Subscript[u, λ]). Ma allora (OverHat[z])(λ)=(Subscript[⟨z,(Subscript[u, λ])⟩, H])=0, e l’applicazione x↦(OverHat[x]) non è iniettiva. CVD.

Se in uno spazio di Hilbert abbiamo una base hilbertiana, lo possiamo identificare con uno spazio (ℓ^2), con una isometria che conserva anche i prodotti scalari.

Non confondere le basi hilbertiane con le basi “vettoriali”: una base vettoriale è una base in senso puramente algebrico, cioè ogni vettore è combinazione lineare finita di vettori della base. In dimensione finita c’è praticamente una sola topologia, per cui è lecito confondere i due concetti.

In dimensione infinita i due concetti vanno assolutamente distinti. È noto che una base vettoriale di uno spazio di Banach (completo) di dimensione infinita è per forza più che numerabile, e l’unico modo di ottenerle è con l’assioma di scelta. Non sono note basi vettoriali esplicite di spazi di Banach a dimensione infinita. Per esempio prendiamo 𝒞([0,1]), che è di Banach per la convergenza uniforme. Una base vettoriale di questo spazio dovrebbe essere una famiglia più che numerabile di funzioni continue tali che ogni altra funzione continua è combinazione lineare di una sottofamiglia finita. Non è nota alcuna famiglia esplicita di questo tipo. Il concetto di base vettoriale per spazi di Banach a dimensione infinita è di scarsa utilità.

Il concetto di base hilbertiana è molto utile. Sono note basi hilbertiane numerabili esplicite e abbastanza semplici di spazi di Hilbert concreti di interesse pratico.

Proposizione. Uno spazio di Hilbert ha una base hilbertiana finita o numerabile se e solo se è separabile, cioè se ha un sottinsieme numerabile denso.

In genere gli spazi di Hilbert di interesse pratico sono separabili, e le basi hilbertiane non hanno bisogno dell’assioma di scelta, si possono trovare esplicitamente.

Se si accetta l’assioma di scelta, tutti gli spazi di Hilbert hanno una base hilbertiana. Facciamo un cenno di dimostrazione. Usiamo l’assioma di scelta nella versione del principio di massimalità di Hausdorff: ogni insieme parzialmente ordinato e non vuoto contiene un sottinsieme totalmente ordinato massimale.

Teorema (esistenza di basi hilbertiane). Ogni sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert si può estendere a una base hilbertiana.

Dimostrazione (cenno). Trattiamo i sistemi ortonormali come insiemi di vettori, invece che come famiglie indicizzate. Sia B un sistema ortonormale nello spazio di Hilbert H, e sia 𝒞 l’insieme di tutti i sistemi ortonormali in H che contengono B. Poiché B∈𝒞, 𝒞 è non vuoto, ed è ordinato parzialmente per inclusione in quanto sottinsieme dell’insieme delle parti di H. Per il principio di massimalità di Hausdorff, eiste un sottinsieme Ω⊆𝒞 totalmente ordinato massimale. Se prendiamo due elementi (Subscript[A, 1]),(Subscript[A, 2])∈Ω, uno dei due dev’essere contenuto nell’altro per l’ordinamento totale. Gli elementi di Ω sono insiemi di vettori di H. Facciamo l’unione di tutti questi insiemi e chiamiamola S. Questo S è un insieme di vettori. Questo è un sistema ortonormale massimale che contiene B.

Con una dimostrazione analoga si dimostra che ogni spazio vettoriale ha una base vettoriale.

Due spazi di Hilbert sono isometrici se e solo se hanno basi hilbertiane della stessa cardinalità.

La teoria degli spazi di Hilbert coincide con la teoria degli spazi (L^2)(μ), al variare di μ, in particolare μ=#.

Spazi di Hilbert non separabili? Si considerano nel trattare “continui quantistici”.

Basi hilbertiane esplicite di spazi concreti.

(ℓ^2)(ℕ), lo spazio delle infinituple ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),…), col prodotto scalare hermitiano. Base hilbertiana di questo spazio è semplicemente quella “canonica” (1,0,0,0,…), (0,1,0,0,…), (0,0,1,0,0,…) ecc. Generalizzazione diretta della base canonica di (ℂ^n).

Altro spazio di interesse vitale è (L^2)(ℝ), con la misura di Lebesgue. Una prima base hilbertiana esplicita di questo spazio è stata data da Haar nel 1910. Si parte dall’ondina madre:

ψ(t)=({{{, ({{1, se 0≤t<1/2}, {-1, se 1/2≤t<1}, {0, altrimenti}})}})

Le ondine figlie (“wavelets”) sono ottenute con riscalamenti e traslazioni orizzontali:

(Subscript[ψ, n,m])(t):=(2^(n/2))ψ((2^n)t-m), n,m∈ℤ.

Ebbene, la famiglia a due parametri (Subscript[ψ, n,m]) al variare di n,m∈ℤ è una base hilbertiana di (L^2)(ℝ), le ondine di Haar.

Trascrizione della lezione del 13 aprile 2021.

Variante delle ondine di Haar:

ϕ(t)=({{{, ({{1, se 0≤t<1}, {0, altrove}})}})

Traslate di questa: (Subscript[ϕ, n])(t)=ϕ(t-n), per n∈ℤ.

Formiamo una nuova base prendendo {(Subscript[ϕ, n]):n∈ℤ}⋃{(Subscript[ψ, n,m]):m,n∈ℤ,n≥0}. Con questa base si approssimano funzioni con integrale non nullo non solo in (L^2)(ℝ) ma anche in (L^1)(ℝ).

Per lo spazio (L^2)([0,2π]) c’è la base di Fourier classica:

{(1/(Sqrt[2π]))sen (n t):n=1,2,3,…}⋃{(1/(Sqrt[2π]))cos (n t):n=0,1,2,3,…}.

Compattezza in dimensione infinita

Definizione di spazio topologico compatto: ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.

Come si specializza la compattezza in spazi metrici. Notazione: la palla aperta di centro x e raggio r in uno spazio metrico X sarà indicata con B(x,r), oppure con (Subscript[B, X])(x,r).

Definizione. Uno spazio metrico X si dice totalmente limitato, o anche precompatto, se per ogni ϵ>0 si può ricoprire X con un numero finito di palle aperte di raggio ϵ, cioè esiste n∈ℕ e (Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])∈X tali che X⊆(⋃_(k=1)^n)B((Subscript[x, k]),ϵ).

Proposizione. Uno spazio metrico X è compatto (topologicamente) se e solo se vale una delle condizioni seguenti:

Esercizio. Per uno spazio metrico si equivalgono:

Esercizi: un sottinsieme di uno spazio metrico completo è precompatto se e solo se la sua chiusura è compatta. Ogni precompatto è limitato. Una funzione continua manda compatti in compatti. Una funzione uniformemente continua manda successioni di Cauchy in successioni di Cauchy, completi in completi, precompatti in precompatti. Una funzione lineare continua fra spazi normati manda successioni di Cauchy in successioni di Cauchy, completi in completi, precompatti in precompatti.

Esempi di insiemi compatti: tutti (e soli) i sottinsiemi chiusi e limitati di (ℝ^n) o (ℂ^n) sono compatti. Questa proprietà NON si estende alla dimensione infinita. Esempio semplice: sia {(Subscript[u, n]):n∈ℕ} una base hilbertiana di uno spazio di Hilbert H separabile. Vista come successione di vettori, (Subscript[u, n]) non ha sottosuccessioni di Cauchy: ognuno di questi vettori dista da ogni altro esattamente (Sqrt[2]). Tantomeno ci sono sottosuccessioni convergenti. Però {(Subscript[u, n]):n∈ℕ} è un sottinsieme chiuso e limitato di H.

L’idea di compattezza è utile anche in dimensione infinita, però capita più raramente ed è più complicata.

Lemma. Sia V uno spazio normato, ed M uno sottospazio vettoriale chiuso strettamente contenuto in V. Allora esiste un versore (OverBar[z])∈V che dista almeno 1/2 da ogni elemento di M.

Dimostrazione.

Sia (OverBar[y])∈V\M qualsiasi. Poiché M è chiuso, esiste un intorno di (OverBar[y]) che non interseca M. Sia d=(inf_(x∈M))‖x-(OverBar[y])‖>0 . Ogni punto di M dista da (OverBar[y]) almeno d. Sia ϵ>0. Poiché d+ϵ>d, esiste un (OverBar[x])∈M che ha distanza da (OverBar[y]) compresa fra d e d+ϵ. Poniamo (OverBar[z])=(((OverBar[y])-(OverBar[x]))/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖)). Sia x∈M qualsiasi:

‖x-(OverBar[z])‖=‖x-(((OverBar[y])-(OverBar[x]))/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖=‖((‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x-(OverBar[y])+(OverBar[x]))/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖=(1/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x+(OverBar[x]))-(OverBar[y])‖≥(d/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))≥(d/(d+ϵ)).

Prendiamo ϵ=d: viene che ‖x-(OverBar[z])‖≥1/2. CVD.

Esercizio: cosa succede in uno spazio di Hilbert?

Proposizione. In qualsiasi spazio normato con dimensione infinita esistono successioni limitate che non hanno alcuna sottosuccessione di Cauchy.

Dimostrazione. Per ipotesi esiste una successione di vettori (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),… linearmente indipendenti. Sia (Subscript[M, n])=span{(Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])}. Questo è un sottospazio vettoriale a dimensione finita, quindi è chiuso (già visto) e proprio di (Subscript[M, n+1]). Quindi in (Subscript[M, n+1]) esiste un versore (Subscript[y, n]) che dista almeno 1/2 da ogno elemento di (Subscript[M, n]). Gli (Subscript[y, n]) formano una successione limitata (sono versori) e distano ognuno dall’altro almeno 1/2. Quindi non hanno alcuna sottosuccessione di Cauchy. CVD.

Corollario. In uno spazio normato a dimensione infinita, un sottinsieme aperto non vuoto contiene sempre una successione che non ha sottosuccessioni di Cauchy, e ogni sottinsieme compatto (o precompatto) ha parte interna vuota. Non è omeomorfo a un (ℂ^n) o (ℝ^n).

Dimostrazione. Sia A un sottinsieme che contenga una palla B((Subscript[x, 0]),ϵ), con ϵ>0. Sappiamo che esiste una successione (Subscript[y, n]) di versori che non ha sottosuccessioni di Cauchy. Consideriamo (Subscript[z, n])=(Subscript[x, 0])+ϵ (Subscript[y, n])/2. Questi (Subscript[z, n]) appartengono alla palla, e quindi ad A, ma distano ognuno dall’altro almeno ϵ>0, e quindi non hanno sottosuccessioni di Cauchy. CVD.

Vediamo di chiarire il ruolo dei sottospazi a dimensione finita.

Lemma. Sia V uno spazio normato, M un sottospazio vettoriale chiuso (e proprio), e prendiamo (OverBar[y])∈V∖M. Sia M'=span M⋃{(OverBar[y])}=M⊕(ℂ(OverBar[y])). Siano (Subscript[ϕ, 1]):M'->M, (Subscript[ϕ, 2]):M'->ℂ le proiezioni tali che per ogni x∈M' si scrive x=(Subscript[ϕ, 1])(x)+(Subscript[ϕ, 2])(x)(OverBar[y]). Allora (Subscript[ϕ, 1]) e (Subscript[ϕ, 2]) sono lineari e continue.

Dimostrazione. Dalla teoria delle somme dirette sappiamo che (Subscript[ϕ, 1]) e (Subscript[ϕ, 2]) sono lineari. Si tratta di dimostrare la continuità. Come in un lemma precedente prendiamo d=(inf_(x∈M))‖x-(OverBar[y])‖>0

Prendiamo x∈M'. Decomponiamo x=(Subscript[ϕ, 1])(x)+(Subscript[ϕ, 2])(x)(OverBar[y]). Supponiamo che (Subscript[ϕ, 2])(x)≠0. Dividiamo per (Subscript[ϕ, 2])(x):

‖(x/((Subscript[ϕ, 2])(x)))‖=‖(((Subscript[ϕ, 1])(x)+(Subscript[ϕ, 2])(x)(OverBar[y]))/((Subscript[ϕ, 2])(x)))‖=‖(((Subscript[ϕ, 1])(x))/((Subscript[ϕ, 2])(x)))+(OverBar[y])‖=‖(OverBar[y])-(-(((Subscript[ϕ, 1])(x))/((Subscript[ϕ, 2])(x))))‖≥d.

Quindi |(Subscript[ϕ, 2])(x)|≤(1/d)‖x‖ è vera per ogni x. Deduciamo che (Subscript[ϕ, 2]) è continua.

(Un operatore lineare L:X->Y fra spazi normato è continuo se e solo se esiste una costante N>0 tale che ‖L x‖≤N‖x‖ per ogni x).

Per quanto riguarda (Subscript[ϕ, 1]), scriviamo

‖(Subscript[ϕ, 1])(x)‖=‖x-(Subscript[ϕ, 2])(x)(OverBar[y])‖≤‖x‖+|(Subscript[ϕ, 2])(x)|‖(OverBar[y])‖≤‖x‖+(1/d)‖x‖‖(OverBar[y])‖=(1+(1/d)‖(OverBar[y])‖)‖x‖,

quindi anche (Subscript[ϕ, 1]) è continua. CVD.

Lemma. I sottospazi a dimensione finita di uno spazio normato sono sempre completi, come spazi metrici (anche se lo spazio ambiente non è completo).

Dimostrazione. Se lo spazio ambiente V è completo, possiamo usare il fatto che i sottospazi a dimensione finita sono chiusi (dimostrato in precedenza) e che i sottospazi chiusi di uno spazio completo sono completi.

Nel caso generale ragioniamo per induzione sulla dimensione del sottospazio. Nel caso di dimensione zero, il sottospazio è un singoletto, che è completo banalmente. Per ipotesi induttiva supponiamo che ogni sottospazio di dimensione n sia completo. Prendiamo un sottospazio M' di dimensione n+1. Scomponiamolo nella somma diretta M'=span M⋃{(OverBar[y])}. Consideriamo le due proiezioni (Subscript[ϕ, 1]),(Subscript[ϕ, 2]) come nel lemma precedente.  Sia (Subscript[z, n])∈M' una successione di Cauchy. Poiché (Subscript[ϕ, 1]),(Subscript[ϕ, 2]) sono (uniformemente) continue, le trasformate (Subscript[ϕ, 1])((Subscript[z, n])),(Subscript[ϕ, 2])((Subscript[z, n])) sono pure di Cauchy, ciascuna di loro in uno spazio completo. Possiamo estrarre una sottosuccessione tale che (Subscript[ϕ, 1])((Subscript[z, (Subscript[n, k])])),(Subscript[ϕ, 2])((Subscript[z, (Subscript[n, k])])) convergano. Quindi anche (Subscript[z, (Subscript[n, k])])=(Subscript[ϕ, 1])((Subscript[z, (Subscript[n, k])]))+(Subscript[ϕ, 2])((Subscript[z, (Subscript[n, k])]))(OverBar[y]) converge. Anche M' è completo. CVD.

Proposizione. I sottospazi a dimensione finita di uno spazio normato sono chiusi, completi e omeomorfi a un (ℂ^n) (o a un  (ℝ^n)).

Dimostrazione. Sia M un sottospazio a dimensione n, con base (Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n]). Possiamo definire ϕ:(ℂ^n)->M come ϕ((Subscript[α, 1]),…,(Subscript[α, n]))=(Subscript[α, 1])(Subscript[u, 1])+…+(Subscript[α, n])(Subscript[u, n]). Questa ϕ è chiaramente lineare, continua e biiettiva. Ricordiamo il teorema della mappa aperta: se ho una biiezione lineare continua fra due spazi di Banach, anche l’inversa è continua, e quindi omeomorfismo. Nel nostro caso (ℂ^n),M sono entrambi completi. Quindi ϕ è omeomorfismo. CVD.

Trascrizione della lezione del 16 aprile 2021.

Una idea chiave per lo studio della compattezza in dimensione infinita: il metodo delle infinite estrazioni.

Indico con ϕ la funzione che manda la posizione nuova (dopo il ricompattamento) nella posizione originaria prima dell’estrazione. Se n è la posizione dopo il ricompattamento, questo proveniva dalla posizione ϕ(n) in origine. Questa ϕ è strettamente crescente.

Prendiamo una matrice (Subscript[A, n])(m), n è l’indice di riga, m l’indice di colonna. Matrice limitata.

Tradizionalmente, una sottosuccessione di (Subscript[a, n]) si indica con (Subscript[a, (Subscript[n, k])]), dove l’applicazione k↦(Subscript[n, k]) è strettamente crescente. Per gli scopi che abbiamo in mente ora, questa notazione (Subscript[n, k]) è poco adatta, perché dovremo fare tante estrazioni. Useremo invece la notazione (Subscript[a, ϕ(n)]), dove ϕ(k)=(Subscript[n, k]). La condizione per sottosuccessione è che ϕ:ℕ->ℕ sia strettamente crescente. Osserviamo che necessariamente ϕ(n)≥n per ogni n (esercizio). Chiameremo pseudosottosuccessione una (Subscript[a, ϕ(n)]) dove ϕ è strettamente crescente, ma non è necessariamente definita su tutto ℕ ma solo su una semiretta del tipo {n∈ℕ:n≥(Subscript[n, 0])}. Se (Subscript[a, n]) converge, tutte le sue (pseudo)sottosuccessioni convergono alla stessa cosa.

Proposizione (metodo diagonale per infinite estrazioni). Sia data una matrice infinita (Subscript[A, n])(m), n,m∈ℕ, a valori reali o complessi, e limitata, cioè esista un M>0 tale che |(Subscript[A, n])(m)|≤M per ogni n,m∈ℕ. Allora esiste una ϕ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che per ogni m∈ℕ la successione n↦(Subscript[A, ϕ(n)])(m) converge.

Dimostrazione. La successione n↦(Subscript[A, n])(1) (prima colonna) è limitata. Quindi esiste una sottosuccessione convergente, cioè esiste (Subscript[ϕ, 1]):ℕ->ℕ strettamente crescente tale che n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(n)])(1) converge.

Consideriamo la successione n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(n)])(2) (seconda colonna dopo l’estrazione e il ricompattamento). Questa è limitata, quindi ha una sottosuccessione convergente. Cioè esiste una (Subscript[ϕ, 2]):ℕ->ℕ tale che n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])((Subscript[ϕ, 2])(n))])(2)=(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(n)])(2) converge.

Mi chiedo se anche  n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(n)])(1) converge. La risposta è sì, perché questa è una sottosuccessione di n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(n)])(1), che converge.

Quindi sia n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(n)])(2) che n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(n)])(1) convergono.

Consideriamo la successione n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(n)])(3). Questa è limitata, quindi posso estrarre una sottosuccessione convergente n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(n)])(3).

Inoltre anche n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(n)])(2), n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(n)])(1).

Eccetera. Trovo una successione di (Subscript[ϕ, 1]),(Subscript[ϕ, 2]),(Subscript[ϕ, 3]),… tutte strettamente crescenti, e tali che  converge la successione n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, k])(n)])(m) per ogni m=1,…,k.

Idea diagonale: definisco ϕ(n)=(Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n])(n).

Verifichiamo che ϕ è strettamente crescente:

(Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n]) è composizione di funzioni strettamente crescenti, quindi è strettamente crescente; inoltre (Subscript[ϕ, n+1]) è strettamente crescente, e in particolare (Subscript[ϕ, n+1])(k)≥k per ogni k, in particolare (Subscript[ϕ, n+1])(n+1)≥n+1>n

ϕ(n+1)=(Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n])(Subscript[◦ϕ, n+1])(n+1)=((Overscript[(Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n]), (Overscript[⏞, strettamente crescente])]))((Overscript[(Subscript[ϕ, n+1])(n+1), (Overscript[⏞, >n])]))>
((Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n]))(n)=ϕ(n).

Se confronto direttamente (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n])(Subscript[◦ϕ, n+1])(n+1) con (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, n])(n), ho composizioni di funzioni strettamente crescenti, ma non le stesse, il numero è diverso. È un po’ più complicato.

Verifichiamo che per ogni k∈ℕ esiste una ψ:{k,k+1,k+2,…}->ℕ strettamente crescente e tale che ϕ(n)=(Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, k])(ψ(n)) per ogni n>k:

basta definire ψ(k)=k, ψ(n):=(Subscript[ϕ, k+1])(Subscript[◦ϕ, k+2])(Subscript[◦…◦ϕ, n])(n). Verificare che questa ψ ha le proprietà richieste.

Quindi la successione n↦(Subscript[A, ϕ(n)])(m) è una pseudosottosuccessione (definita per n≤k)

di n↦(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, k])(n)])(m), perché (Subscript[A, ϕ(n)])(k)=(Subscript[A, (Subscript[ϕ, 1])(Subscript[◦ϕ, 2])(Subscript[◦ϕ, 3])(Subscript[◦…◦ϕ, k])(ψ(k))])(m).

CVD.

Trascrizione della lezione del 20 aprile 2021.

Consideriamo lo spazio 𝒞([0,1]) delle funzioni continue [0,1]->ℝ, dotato della norma del sup, ‖f‖=(Subscript[‖f‖, ∞])=(sup_([0,1]))|f|. Sappiamo che questo è uno spazio di Banach. Il teorema di Ascoli-Arzelà caratterizza i (pre)compatti in questo spazio.

Teorema di Ascoli-Arzelà. Un sottinsieme K di 𝒞([0,1]) è precompatto se e solo se valgono le condizioni seguenti:

Dimostrazione. Supponiamo che K sia precompatto. È ovvio che è anche limitato. Poiché è anche totalmente limitato, fissiamo ϵ>0 e siano (Subscript[f, 1]),…,(Subscript[f, n])∈K tali che

K⊆B((Subscript[f, 1]),ϵ)⋃…⋃B((Subscript[f, n]),ϵ). Siano (Subscript[δ, 1]),…,(Subscript[δ, n])>0 i moduli di uniforme continuità delle n funzioni rispettive. Poniamo (Subscript[δ, ϵ]):=min{(Subscript[δ, 1]),…,(Subscript[δ, n])}>0. Sia f∈K. Esiste un indice (Subscript[k, ϵ])∈{1,2,…,n} tale che ‖f-(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])‖<ϵ. Allora per ogni x,y∈[0,1] abbiamo

|x-y|<(Subscript[δ, ϵ])=>|f(x)-f(y)|≤|f(x)-(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])(x)|+|(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])(x)-(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])(y)|+|(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])(y)-f(y)|<
ϵ+|(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])(x)-(Subscript[f, (Subscript[k, ϵ])])(y)|+ϵ<ϵ+ϵ+ϵ=3ϵ.

Quindi (Subscript[δ, ϵ]) è un modulo di equi-uniforme continuità per le funzioni di K.

Viceversa, supponiamo di sapere che K è equilimitato e equiuniformemente continuo. Prendiamo una successione (Subscript[f, n])∈K e dimostriamo che ha una sottosuccessione che converge uniformemente.

Sia T:={x(k):k∈ℕ} un sottinsieme numerabile denso in [0,1]. Formiamo la seguente matrice infinita:

({{(Subscript[f, 1])(x(1)), (Subscript[f, 1])(x(2)), (Subscript[f, 1])(x(3)), (Subscript[f, 1])(x(4)), (Subscript[f, 1])(x(5)), …}, {(Subscript[f, 2])(x(1)), (Subscript[f, 2])(x(2)), (Subscript[f, 2])(x(3)), (Subscript[f, 2])(x(4)), (Subscript[f, 2])(x(5)), …}, {(Subscript[f, 3])(x(1)), (Subscript[f, 3])(x(2)), (Subscript[f, 3])(x(3)), (Subscript[f, 3])(x(4)), (Subscript[f, 3])(x(5)), …}, {(Subscript[f, 4])(x(1)), (Subscript[f, 4])(x(2)), (Subscript[f, 4])(x(3)), (Subscript[f, 4])(x(4)), (Subscript[f, 4])(x(5)), …}, {⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋱}})

Questa matrice di numeri reali ha elementi limitati, perché K è equilimitato. Applichiamo il metodo diagonale: esiste ϕ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che per ogni k∈ℕ la successione n↦(Subscript[f, ϕ(n)])(x(k)) converge. Dimostriamo che la successione n↦(Subscript[f, ϕ(n)]) è di Cauchy per la convergenza uniforme. Sia ϵ>0. Per ogni x∈T sia (Subscript[N, x,ϵ])∈ℕ tale che

per ogni n,m∈ℕ n,m>(Subscript[N, x,ϵ])=>|(Subscript[f, ϕ(n)])(x)-(Subscript[f, ϕ(m)])(x)|<ϵ.

Sia (Subscript[δ, ϵ])>0 dato dall’equiuniforme continuità. Per la densità di T in [0,1], esiste un sottinsieme finito (Subscript[T, ϵ])⊂T tale che per ogni x∈[0,1] esiste (Subscript[x, ϵ])∈(Subscript[T, ϵ]) che dista da x meno di (Subscript[δ, ϵ]).

Poniamo (Subscript[N, ϵ]):=max{(Subscript[N, x,ϵ]):x∈(Subscript[T, ϵ])}<+∞.

Siano n,m>(Subscript[N, ϵ]). Per ogni x∈[0,1] possiamo maggiorare in questo modo:

|(Subscript[f, ϕ(n)])(x)-(Subscript[f, ϕ(m)])(x)|<
|(Subscript[f, ϕ(n)])(x)-(Subscript[f, ϕ(n)])(x(ϵ))|+|(Subscript[f, ϕ(n)])(x(ϵ))-(Subscript[f, ϕ(m)])(x(ϵ))|+|(Subscript[f, ϕ(m)])(x(ϵ))-(Subscript[f, ϕ(m)])(x)|<
ϵ+|(Subscript[f, ϕ(n)])(x(ϵ))-(Subscript[f, ϕ(m)])(x(ϵ))|+ϵ<ϵ+ϵ+ϵ=3ϵ.

Vale la proprietà di Cauchy per la convergenza uniforme. CVD.

Al posto di [0,1] si poteva mettere qualsiasi spazio metrico compatto.

Sottinsiemi compatti notevoli di 𝒞([0,1]):

Questi sono esempi di compatti in dimensione infinita che non stanno in sottospazio a dimensione finita.

Il cubo di Hilbert: un esempio semplice di un compatto in dimensione infinita che non è contenuto in un sottospazio a dimensione finita.

Definizione. Chiamiamo cubo di Hilbert l’insieme C delle successioni x:ℕ->ℝ tali che |x(m)|≤1/m per ogni m∈ℕ.

Il cubo di Hilbert è un sottinsieme compatto di molti spazi di Banach: (ℓ^p)(ℕ) se 1<p<+∞.

Dimostriamolo. Innanzitutto C è chiuso in (ℓ^p). Infatti se n↦(Subscript[x, n]) è una successione di elementi di C che converge a un (OverBar[x])∈(ℓ^p), prendendo la componente m-esima possiamo scrivere

((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)≤(∑_(k∈ℕ))((|(Subscript[x, n])(k)-(OverBar[x])(k)|)^p)=(Subscript[‖(Subscript[x, n])-(OverBar[x])‖, p]^p)->0. Quindi (lim_(n->+∞))(Subscript[x, n])(m)=(OverBar[x])(m). Ma poiché (Subscript[x, n])(m)∈[-1/m,1/m] per ogni n, concludiamo che (OverBar[x])(m)∈[-1/m,1/m], cioè che (OverBar[x])∈C.

Prendiamo di nuovo n↦(Subscript[x, n]) successione di elementi di C e facciamo vedere che ha una sottosuccessione convergente nella norma di (ℓ^p). Componiamo la matrice:

({{(Subscript[x, 1])(1), (Subscript[x, 1])(2), (Subscript[x, 1])(3), (Subscript[x, 1])(4), (Subscript[x, 1])(5), …}, {(Subscript[x, 2])(1), (Subscript[x, 2])(2), (Subscript[x, 2])(3), (Subscript[x, 2])(4), (Subscript[x, 2])(5), …}, {(Subscript[x, 3])(1), (Subscript[x, 3])(2), (Subscript[x, 3])(3), (Subscript[x, 3])(4), (Subscript[x, 3])(5), …}, {(Subscript[x, 4])(1), (Subscript[x, 4])(2), (Subscript[x, 4])(3), (Subscript[x, 4])(4), (Subscript[x, 4])(5), …}, {⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋱}})

Tutti gli elementi della matrice sono fra -1 e 1. Per il metodo diagonale, esiste una ϕ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che per ogni m∈ℕ la successione n↦(Subscript[x, ϕ(n)])(m) converge a un certo (OverBar[x])(m)∈[-1/m,1/m]. Si tratta di dimostrare che la successione n↦(Subscript[x, ϕ(n)]) converge a (OverBar[x]) nella norma di (ℓ^p). Per semplicità prendiamo ϕ identità, cioè identifichiamo la successione estratta con quella iniziale. Fissiamo ϵ>0. Poiché la serie (∑_(n=1)^(+∞))1/(n^p) converge (p>1 per ipotesi), esiste un indice (Subscript[M, ϵ])∈ℕ tale che per ogni n≥(Subscript[M, ϵ]) vale (∑_(n>(Subscript[M, ϵ])))1/(n^p)<(ϵ^p)/(2^(p+1)). Inoltre per ogni m∈ℕ esiste (Subscript[N, ϵ,m]) tale che per ogni n≥(Subscript[N, ϵ,m]) vale ((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)<(ϵ^p)/(2(Subscript[M, ϵ])).

Poniamo (Subscript[N, ϵ])=max{(Subscript[N, ϵ,1]),(Subscript[N, ϵ,2]),…,(Subscript[N, ϵ,(Subscript[M, ϵ])])}<+∞. Maggioriamo in questo modo, per n≥(Subscript[N, ϵ])

(Subscript[‖(Subscript[x, n])-(OverBar[x])‖, p]^p)=(∑_(m∈ℕ))((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)=
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ϵ]))((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(∑_(m>(Subscript[M, ϵ])))((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)≤
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ϵ]))((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(∑_(m>(Subscript[M, ϵ])))((|2/m|)^p)<
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ϵ]))((|(Subscript[x, n])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(2^p)(ϵ^p)/(2^(p+1))<
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ϵ]))(ϵ^p)/(2(Subscript[M, ϵ]))+(ϵ^p)/2=
(((Subscript[M, ϵ])(ϵ^p))/(2(Subscript[M, ϵ])))+(ϵ^p)/2=(ϵ^p)/2+(ϵ^p)/2=(ϵ^p).

Elevando tutto alla 1/p ottengo che (Subscript[‖(Subscript[x, n])-(OverBar[x])‖, p])<ϵ se n≥(Subscript[N, ϵ]).

Definizione di operatore compatto. Dati due spazi normati X,Y e un operatore lineare A:X->Y, diremo che A è compatto se l’immagine tramite A di ogni sottinsieme limitato di X è precompatto in Y. (manda limitati in precompatti).

Per omogeneità, perché un operatore sia compatto è sufficiente che mandi una palla (aperta o chiusa) di raggio positivo in un precompatto. (di centro l’origine?).

Proposizione. Un operatore è compatto se e solo se da ogni successione n↦(Subscript[x, n]) limitata in X possiamo estrarre una sottosuccessione k↦(Subscript[x, (Subscript[n, k])]) tale che k↦A (Subscript[x, (Subscript[n, k])]) sia di Cauchy in Y.

Se Y è completo, invece di dire “di Cauchy” possiamo dire “convergente”.

Proposizione. Gli operatori compatti sono continui.

Dimostrazione. Poiché un operatore compatto manda limitati in precompatti, in particolare manda limitati in limitati. Per un operatore lineare fra spazi normati la continuità equivale a mandare limitati in limitati. CVD.

In analisi funzionale molti chiamano “limitati” gli operatori lineari continui.

Trascrizione della lezione del 23 aprile 2021.

Proposizione: somma di operatori compatti è compatta.

Dimostrazione. Siano A,B:X->Y operatori compatti. Sia (Subscript[x, n]) una successione limitata in X. Poiché A è compatto, esiste una sottosuccessione tale che n↦A (Subscript[x, ϕ(n)]) è di Cauchy. Anche la successione n↦(Subscript[x, ϕ(n)]) è limitata in X, e quindi esiste una sua sottosuccessione n↦(Subscript[x, ϕ(ψ(n))]) tale che n↦B (Subscript[x, ϕ(ψ(n))]) è di Cauchy in Y. Ma allora la successione n↦A (Subscript[x, ϕ(ψ(n))])+B (Subscript[x, ϕ(ψ(n))]) è di Cauchy in quanto somma di successioni di Cauchy. CVD.

Proposizione. Siano X,Y,Z spazi normati e A:X->Y, B:Y->Z lineari continui. Allora se uno dei due operatori è compatto, anche la composizione B A è compatta.

Dimostrazione. Supponiamo per esempio che A sia compatto. Prendiamo una successione (Subscript[x, n]) limitata in X. Esiste una sottosuccessione tale che k↦A (Subscript[x, (Subscript[n, k])]) è di Cauchy. Applichiamo B e otteniamo k↦B A (Subscript[x, (Subscript[n, k])]). Questa è di Cauchy perché gli operatori lineari continui mandano successioni di Cauchy in successioni di Cauchy.

Per esercizio fare il caso in cui B è compatto. CVD.

Dati due spazi normati X,Y possiamo considerare ℒ(X,Y) lo spazio degli operatori lineari continui da X in Y. Questo è uno spazio vettoriale in cui si può introdurre la norma operatoriale:

(Subscript[‖A‖, ℒ(X,Y)])=(sup_(x≠0))((Subscript[‖A x‖, Y])/(Subscript[‖x‖, X]))=(sup_(‖x‖≤1))(Subscript[‖A x‖, Y])=(sup_(‖x‖=1))(Subscript[‖A x‖, Y]).

È noto che se Y è completo (di Banach), anche ℒ(X,Y) è di Banach.

Proposizione. L’insieme degli operatori compatti X->Y è un sottospazio vettoriale chiuso di ℒ(X,Y).

Dimostrazione. È facile vedere che è un sottospazio vettoriale. Veniamo alla chiusura.

Sia (Subscript[A, n]) una successione di operatori compatti che converge nella norma operatoriale a un A∈ℒ(X,Y). Si tratta di dimostrare che anche A è compatto.

Prendiamo una successione limitata in X, chiamiamola (Subscript[x, n]), per fissare le idee (Subscript[‖(Subscript[x, n])‖, X])≤c<+∞. Applichiamo (Subscript[A, n]) alla successione (Subscript[x, m]) formando una matrice infinita:

({{(Subscript[A , 1])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 1]), …}, {(Subscript[A , 1])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 2]), …}, {(Subscript[A , 1])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 3]), …}, {(Subscript[A , 1])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 4]), …}, {⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮}})

Dalla prima colonna possiamo estrarre una sottosuccessione di Cauchy. Lo stesso possiamo fare dalla seconda colonna, la terza ecc.

Con una generalizzazione del procedimento diagonale, esiste una ϕ:ℕ->ℕ tale che la successione m↦(Subscript[A, n])(Subscript[x, ϕ(m)]) è di Cauchy per ogni n.

Dimostriamo che anche la successione m↦A (Subscript[x, ϕ(m)]) è di Cauchy.

Fissiamo ϵ>0. Poiché (Subscript[A, n])->A nella norma operatoriale, esiste un (Subscript[N, ϵ])∈ℕ tale che

‖(Subscript[A, n])-A‖<ϵ/(4c) per ogni n>(Subscript[N, ϵ]).

Fissiamo un (Subscript[n, 0])>(Subscript[N, ϵ]). La successione m↦(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ(m)]) è di Cauchy. Quindi esiste un (Subscript[M, ϵ])∈ℕ tale che per ogni (Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2])>(Subscript[M, ϵ]) si che ‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])‖<ϵ/2.

Prendiamo  (Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2])>(Subscript[M, ϵ]), possiamo maggiorare così:

‖A (Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])-A (Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])‖≤‖A (Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])-A (Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])‖≤
‖(A-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])) (Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])‖+ϵ/2+‖((Subscript[A, (Subscript[n, 0])])-A) (Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])‖≤
‖A-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])‖‖(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 1]))])‖+ϵ/2+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])-A‖‖(Subscript[x, ϕ((Subscript[m, 2]))])‖≤
2‖A-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])‖c+ϵ/2<2(ϵ/(4c))c+ϵ/2=ϵ.

Rimane dimostrato che la successione m↦A (Subscript[x, ϕ(m)]) è di Cauchy. CVD.

Proposizione. Siano X,Y normati e A:X->Y continua e tale che l’immagine di A abbia dimensione finita (si suol dire che A ha rango finito). Allora A è compatto.

Dimostrazione. Sappiamo che i sottospazi a dimensione finita sono omeomorfi a un (ℂ^n). La A, essendo continua, manda limitati in limitati, ma i limitati in dimensione finita sono precompatti. Quindi A è compatta. CVD.

Esercizio: un operatore lineare a rango finito è automaticamente continuo?

Corollario. Se (Subscript[A, n]):X->Y è una successione di operatori lineari continui a rango finito che converge nella norma operatoriale ad A, allora A è compatto.

Proposizione. Siano X,Y normati e A:X->Y compatto. Allora l’immagine di A è separabile, cioè ha un sottinsieme numerabile denso.

Dimostrazione. Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa di X. Poiché A è compatto, A(𝒰) è totalmente limitato. Preso (Subscript[ϵ, n])=1/n, possi ricoprire A(𝒰) con un numero finito di palle aperte di raggio (Subscript[ϵ, n]), cioè esiste un sottinsieme finito (Subscript[U, n])⊂𝒰 tale che A(𝒰)⊆(⋃_(x∈(Subscript[U, n])))B(A x,(Subscript[ϵ, n])).

Prendiamo l’unione degli (Subscript[U, n]), cioè poniamo U:=(⋃_(n∈ℕ))(Subscript[U, n]). Questa U è al più numerabile. Inoltre A(U) è densa in A(𝒰).

Lo spazio X si scrive come (⋃_(n∈ℕ))n 𝒰. Prendendo l’immagine tramite A, che è lineare, abbiamo che A(X)=A((⋃_(n∈ℕ))n 𝒰)=(⋃_(n∈ℕ))A(n 𝒰)=(⋃_(n∈ℕ))n A(𝒰). Poiché A(U) è densa in A(𝒰), e quindi (⋃_(n∈ℕ))n A(U) è denso in A(X). Unione numerabile di insiemi (al più) numerabili è (al più) numerabile. CVD.

Specializziamoci per un momento agli spazi di Hilbert.

Proposizione. Sia X normato, H di Hilbert, A:X->H operatore lineare compatto. Allora esiste una successione (Subscript[A, n]) di operatori a rango finito X->H tali che (Subscript[A, n])->A rispetto alla norma operatoriale.

Dimostrazione. Il caso banale è quando A ha rango finito. Mettiamoci fuori.

Dalla proposizione precedente sappiamo che A(X) è separabile. Sia M=cl(A(X)) la chiusura dell’immagine. Anche M è separabile, ed è completo, quindi M è spazio di Hilbert separabile. M ammette una base hilbertiana numerabile (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),… Sia (Subscript[P, n]) la proiezione ortogonale di H sullo span{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])}, (Subscript[P, M]) la proiezione ortogonale di H su M. Abbiamo le formule per le proiezioni ortogonali: (Subscript[P, n])y=(∑_(k=1)^n)⟨y,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]), (Subscript[P, M])y=(∑_(k=1)^(+∞))⟨y,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]). Per ogni y∈H la successione (Subscript[P, n])y converge a (Subscript[P, M])y. Osserviamo che (Subscript[P, M]) converge puntualmente a (Subscript[P, M]), però non converge in norma, perché ‖(Subscript[P, M])-(Subscript[P, n])‖=1 per ogni n, quindi non c’è convergenza in norma.

Poniamo (Subscript[A, n]):=(Subscript[P, n])A. Questa è una successione di operatori a rango finito, perché l’immagine di (Subscript[A, n]) è contenuta in span{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])}. Dimostriamo che (Subscript[A, n]) converge in norma ad A.

Notiamo che (Subscript[P, M]) agisce come l’identità sull’immagine di A, cioè (Subscript[P, M])A=A.

Fissiamo ϵ>0. Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa di X. L’immagine A(𝒰) è precompatta, e quindi è ricopribile con un numero finito di palle di raggio ϵ/3, cioè esiste un insieme finito (Subscript[U, ϵ])⊂𝒰 tale che A(𝒰)⊆(⋃_(x∈(Subscript[U, ϵ])))B(A x,ϵ/3).

Poiché (Subscript[A, n])x=(Subscript[P, n])A x->(Subscript[P, M])A x=A x, per ogni x∈X esiste un indice (Subscript[N, x,ϵ])∈ℕ tale che

n>(Subscript[N, x,ϵ])=>‖(Subscript[P, n])A x-A x‖<ϵ/3.

Poniamo (Subscript[N, ϵ]):=max{(Subscript[N, x,ϵ]):x∈(Subscript[U, ϵ])}<+∞. Prendiamo x∈𝒰. Esiste un (Subscript[x, ϵ])∈(Subscript[U, ϵ]) tale che

‖A x-A (Subscript[x, ϵ])‖<ϵ/3.

Prendiamo n>(Subscript[N, ϵ])≥(Subscript[N, (Subscript[x, ϵ]),ϵ]), e possiamo maggiorare in questo modo:

‖((Subscript[A, n])-A)x‖=‖(Subscript[P, n])A x-A x‖≤‖(Subscript[P, n])A x-(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ϵ])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ϵ])-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖A (Subscript[x, ϵ])-A x‖≤ 
‖(Subscript[P, n])(A x-A (Subscript[x, ϵ]))‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ϵ])-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖A (Subscript[x, ϵ])-A x‖≤
‖(Subscript[P, n])‖‖A x-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ϵ])-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖A (Subscript[x, ϵ])-A x‖=
‖A x-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ϵ])-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖A (Subscript[x, ϵ])-A x‖=
2‖A x-A (Subscript[x, ϵ])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ϵ])-A (Subscript[x, ϵ])‖<
2(ϵ/3)+ϵ/3=ϵ.

Per ogni x nella palla unitaria, ‖((Subscript[A, n])-A)x‖<ϵ. Quindi ‖(Subscript[A, n])-A‖<ϵ se n>(Subscript[N, ϵ]), CVD.

Trascrizione della lezione del 30 aprile 2021.

Esempio: operatore integrale. Sia X=𝒞([0,1]) lo spazio delle funzioni continue [0,1]->ℝ con la norma del sup. Per f∈X poniamo (A f)(t):=(∫_0^t)f(x)dx la funzione integrale. Questa A f∈X, quindi A:X->X e chiaramente è lineare. Dimostriamo che A è compatta. Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa di X e sia f∈𝒰. Allora

‖A f‖=(sup_(t∈[0,1]))|(A f)(t)|=(sup_(t∈[0,1]))|(∫_0^t)f(x)dx|≤(sup_(t∈[0,1]))(∫_0^t)|f(x)|dx≤
(sup_(t∈[0,1]))(∫_0^t)1dx=(sup_(t∈[0,1]))t=1.

Quindi A:𝒰->𝒰, cioè A(𝒰) è limitata. Verifichiamo che A(𝒰) è equilipschitziana:

|(A f)((Subscript[t, 1]))-(A f)((Subscript[t, 2]))|=|(∫_0^(Subscript[t, 1]))f(x)dx-(∫_0^(Subscript[t, 2]))f(x)dx|=|(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))f(x)dx|≤|(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))|f(x)|dx|≤
|(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))1dx|=|(Subscript[t, 2])-(Subscript[t, 1])|.

L’insieme A(𝒰) è limitato ed equilipschiziano. Per il teorema di Ascoli-Arzelà è precompatto. Concludiamo che A è compatto.

Esempio. Consideriamo X=(ℓ^p)(ℕ) con 1<p<+∞. Prendiamo x=(x(1),x(2),x(3),…)∈X. Poniamo A x:=(x(1)/1,x(2)/2,x(3)/3,…), cioè (A x)(n)=x(n)/n. Questa A manda X in X, è lineare ed è compatta. Infatti A manda la palla unitaria di X nel cubo di Hilbert. Per esercizio.

Duale e operatori aggiunti

Definizione. Dato uno spazio normato X, diremo duale di X, e lo indicheremo con (SuperStar[X]), l’insieme dei funzionali lineari continui da X a valori scalari. (SuperStar[X])=ℒ(X,ℂ).

Convenzione: gli elementi del duale verranno indicati con simboli del tipo (SuperStar[x]) con x minuscolo. In questa notazione x(SuperStar[]) il simbolo è indivisibile. Nella stessa formula può comparire anche un x che è indipendente da (SuperStar[x]).

Il duale è anch’esso uno spazio normato con la norma operatoriale, che indicheremo talvolta con (SubStar[‖□‖]):

(SubStar[‖(SuperStar[x])‖]):=(sup_(x∈X,‖x‖=1))|(SuperStar[x])(x)|.

Qui entra in gioco il teorema di Hahn-Banach. In particolare dice che per ogni x∈X esiste un (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) tale che (SubStar[‖(SuperStar[x])‖])=1 e (SuperStar[x])(x)=(Subscript[‖x‖, X]).

Conseguenza: relazione fra le norme nello spazio e nel duale:

(Subscript[‖x‖, X])=(max_((SuperStar[x])∈(SuperStar[X]),(SubStar[‖(SuperStar[x])‖])=1))|(SuperStar[x])(x)|.

Il teorema di Hahn-Banach può forse non piacere perché usa l’assioma di scelta, che non è costruttivo. Però il teorema di Hahn-Banach ha davvero bisogno dell’assioma di scelta solo in spazi non separabili. In uno spazio di Hilbert pure non c’è bisogno dell’assioma di scelta. Per esempio possiamo prendere (SuperStar[x]) il funzionale y↦⟨y,x/‖x‖⟩.

Se ho n vettori (Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n])∈X linearmente indipendenti, per Hahn-Banach esistono n funzionali lineari (Subscript[x, 1]^( * )),…,(Subscript[x, n]^( * ))∈(SuperStar[X]) tali che (Subscript[x, k]^( * ))((Subscript[x, j]))=(Subscript[δ, k j]). Si deduce che in dimensione finita il duale ha la stessa dimensione dello spazio. Il duale di uno spazio a dimensione infinita ha anch’esso dimensione infinita.

Definizione. Dati due spazi normati X,Y e un operatore lineare continuo A:X->Y, chiameremo operatore aggiunto di A, e lo indicheremo con (SuperStar[A]), l’operatore che associa ad ogni funzionale (SuperStar[y])∈(SuperStar[Y]) il funzionale composto (SuperStar[y])A∈(SuperStar[X]).

La relazione base dell’aggiunto è questa: (SuperStar[A])(SuperStar[y])=(SuperStar[y])A. È una specie di trasposizione di lettere. Possiamo anche aggiungere un vettore x∈X e diventa

((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)=(SuperStar[y])A x.

L’aggiunto è lineare. (SuperStar[A])((Subscript[y, 1]^( * ))+(Subscript[y, 2]^( * )))=(SuperStar[A])(Subscript[y, 1]^( * ))+(SuperStar[A])(Subscript[y, 2]^( * ))? Applichiamo a un vettore x:

((SuperStar[A])((Subscript[y, 1]^( * ))+(Subscript[y, 2]^( * ))))(x)=((Subscript[y, 1]^( * ))+(Subscript[y, 2]^( * )))(A x)=(Subscript[y, 1]^( * ))A x+(Subscript[y, 2]^( * ))A x=((SuperStar[A])(Subscript[y, 1]^( * ))) x+((SuperStar[A])(Subscript[y, 2]^( * )) )x=((SuperStar[A])(Subscript[y, 1]^( * ))+(SuperStar[A])(Subscript[y, 2]^( * )))(x). Valendo questo per ogni x∈X, segue che (SuperStar[A])((Subscript[y, 1]^( * ))+(Subscript[y, 2]^( * )))=(SuperStar[A])(Subscript[y, 1]^( * ))+(SuperStar[A])(Subscript[y, 2]^( * )), cioè (SuperStar[A]) è additiva (SuperStar[Y])->(SuperStar[X]). Esercizio: è lineare.

Proposizione. Se A:X->Y è lineare continuo, anche l’aggiunto è (lineare) continuo (SuperStar[Y])->(SuperStar[X]). Inoltre l’applicazione che manda A in (SuperStar[A]) è una isometria lineare da ℒ(X,Y) in ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X])).

Dimostrazione. Usiamo la caratterizzazione della norma operatoriale in termini della sfera unitaria:

(Subscript[‖(SuperStar[A])‖, ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X]))])=(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(SubStar[‖(SuperStar[A])(SuperStar[y])‖])=(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)|=
(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|(SuperStar[y])(A x)|≤(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(SubStar[‖(SuperStar[y])‖])(Subscript[‖A x‖, Y])=
(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))1(Subscript[‖A x‖, Y])=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(Subscript[‖A x‖, Y])=(Subscript[‖A‖, ℒ(X,Y)])<+∞.

Questo dimostra che (SuperStar[A]) è continuo da (SuperStar[Y])->(SuperStar[X]), e che (Subscript[‖(SuperStar[A])‖, ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X]))])≤(Subscript[‖A‖, ℒ(X,Y)]). In realtà le due norme sono proprio uguali. Modifichiamo i conti precedenti:

(Subscript[‖(SuperStar[A])‖, ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X]))])=(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(SubStar[‖(SuperStar[A])(SuperStar[y])‖])=(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)|=
(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|(SuperStar[y])(A x)|=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(sup_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))|(SuperStar[y])(A x)|=
(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(max_((SubStar[‖(SuperStar[y])‖])=1))|(SuperStar[y])(A x)|=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(Subscript[‖A x‖, Y])=(Subscript[‖A‖, ℒ(X,Y)]).

L’applicazione A↦(SuperStar[A]) è anche lineare ℒ(X,Y)->ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X])). Dobbiamo dimostrare che (SuperStar[(A+B)])=(SuperStar[A])+(SuperStar[B]). Applichiamo a (SuperStar[y])∈(SuperStar[Y]) e a sua volta a x∈X:

((SuperStar[(A+B)])(SuperStar[y]))(x)=((SuperStar[y]))((A+B)x)=((SuperStar[y]))(A x+B x)=((SuperStar[y]))(A x)+((SuperStar[y]))(B x)=
(SuperStar[y])A x+(SuperStar[y])B x=((SuperStar[A])(SuperStar[y])) x+((SuperStar[B])(SuperStar[y]))x=((SuperStar[A])(SuperStar[y]) +(SuperStar[B])(SuperStar[y]))(x)=
(((SuperStar[A])+(SuperStar[B]))(SuperStar[y]))(x).

Quindi (SuperStar[(A+B)])(SuperStar[y])=((SuperStar[A])+(SuperStar[B]))(SuperStar[y]). Essendo vero per ogni (SuperStar[y]), segue che (SuperStar[(A+B)])=(SuperStar[A])+(SuperStar[B]). L’operatore di aggiunzione è additiva. Verificare per esercizio che è lineare. CVD.

Esercizio: trovare una formula per l’aggiunto di una composizione:  (SuperStar[(B A)]).

Esercizio: il duale di uno spazio normato è sempre completo, anche se lo spazio di partenza non lo è.

Esercizio: cosa vuol dire aggiunto in dimensione finita, in termini di matrici.

Trascrizione della lezione del 4 maggio 2021.

Aggiunti e compattezza.

Teorema. L’aggiunto di un compatto è compatto. Se A:X->Y è lineare compatto, allora anche (SuperStar[A]):(SuperStar[Y])->(SuperStar[X]) è compatto.

Dimostrazione. Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa di X. Poiché A è compatto, l’immagine A(𝒰) è totalmente limitata. Quindi esiste una successione n↦(Subscript[u, n])∈𝒰 tale che per ogni ϵ>0 esiste un insieme finito di indici (Subscript[F, ϵ])⊂ℕ tale che A(𝒰)⊆(⋃_(n∈(Subscript[F, ϵ])))B(A (Subscript[u, n]),ϵ). (per esercizio).

Sia (Subscript[y, n]^( * )) una successione limitata in (SuperStar[Y]), con (SubStar[‖(Subscript[y, n]^( * ))‖])<c<+∞. Voglio dimostrare che esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che (SuperStar[A])(Subscript[y, φ(n)]^( * )) sia di Cauchy in (SuperStar[X]).

Consideriamo la matrice a valori complessi a due indici (Subscript[y, n]^( * ))(A (Subscript[u, m]))

({{(Subscript[y, 1]^( * ))(A (Subscript[u, 1])), (Subscript[y, 1]^( * ))(A (Subscript[u, 2])), (Subscript[y, 1]^( * ))(A (Subscript[u, 2])), (Subscript[y, 1]^( * ))(A (Subscript[u, 2])), …}, {(Subscript[y, 2]^( * ))(A (Subscript[u, 1])), (Subscript[y, 2]^( * ))(A (Subscript[u, 2])), (Subscript[y, 2]^( * ))(A (Subscript[u, 3])), (Subscript[y, 2]^( * ))(A (Subscript[u, 4])), …}, {(Subscript[y, 3]^( * ))(A (Subscript[u, 1])), (Subscript[y, 3]^( * ))(A (Subscript[u, 2])), (Subscript[y, 3]^( * ))(A (Subscript[u, 3])), (Subscript[y, 3]^( * ))(A (Subscript[u, 4])), …}, {(Subscript[y, 4]^( * ))(A (Subscript[u, 1])), (Subscript[y, 4]^( * ))(A (Subscript[u, 2])), (Subscript[y, 4]^( * ))(A (Subscript[u, 3])), (Subscript[y, 4]^( * ))(A (Subscript[u, 4])), …}, {⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋱}})

Gli elementi della matrice sono limitati: |(Subscript[y, n]^( * ))(A (Subscript[u, m]))|≤‖(Subscript[y, n]^( * ))‖‖A‖‖(Subscript[u, m])‖<c‖A‖1. Da ogni colonna posso estrarre una sottosuccessione convergente. Che sia convergente non serve, basta sapere che è di Cauchy. Col procedimento diagonale possiamo estrarre una singola sottosuccessione n↦(Subscript[y, φ(n)]^( * ))(A (Subscript[u, m])) che è di Cauchy per ogni m fissato. Voglio mostrare che la successione n↦(SuperStar[A])(Subscript[y, φ(n)]^( * )) è di Cauchy in (SuperStar[X]).

Prendiamo la distanza fra due elementi della sottosuccessione:

(Subscript[‖(SuperStar[A])(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))-(SuperStar[A])(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))‖, (SuperStar[X])])=(sup_(x∈𝒰))‖((SuperStar[A])(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))-(SuperStar[A])(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * )))x‖=
(sup_(x∈𝒰))‖((SuperStar[A])(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * )))x-((SuperStar[A])(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * )))x‖=
(sup_(x∈𝒰))‖(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A x-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A x‖.

Fissiamo ϵ>0. Associato c’è  (Subscript[F, ϵ])⊂ℕ. Poiché la successione n↦(Subscript[y, φ(n)]^( * ))(A (Subscript[u, m])) è di Cauchy, per ogni m eiste un indice (Subscript[N, ϵ,m])∈ℕ tale che per ogni (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2])

(Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2])>(Subscript[N, ϵ,m])=>|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A (Subscript[u, m])-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A (Subscript[u, m])|<ϵ.

Prendiamo (Subscript[N, ϵ]):=(max_(m∈(Subscript[F, ϵ])))(Subscript[N, ϵ,m])<+∞.

Prendiamo x∈𝒰. Poiché  A(𝒰)⊆(⋃_(n∈(Subscript[F, ϵ])))B(A (Subscript[u, n]),ϵ), esiste un indice (Subscript[n, x,ϵ])∈(Subscript[F, ϵ]) tale che ‖A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])‖<ϵ.

Siano (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2])>(Subscript[N, ϵ])≥(Subscript[N, ϵ,(Subscript[n, x,ϵ])]). Facciamo finalmente la maggiorazione:

‖(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A x-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A x‖≤|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A x-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])|+|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])|+
|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A x|=
|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])]))|+|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])|+|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])-A x)|≤
(SubStar[‖(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))‖])‖A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])‖+|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])|+(SubStar[‖(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))‖])‖A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])‖≤
2c ϵ+|(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ϵ])])|<2c ϵ+ϵ.

È dimostrata la proprietà di Cauchy. CVD.

Introduciamo il biduale e l’immersione canonica nel biduale. Quando abbiamo x∈X e (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) ha senso (SuperStar[x])(x)∈ℂ. L’oggetto (SuperStar[x])(x) può essere visto tenendo fisso (SuperStar[x]) e facendo variare x,  oppure tenendo fisso x e facendo variare (SuperStar[x]). In quest’ultimo modo associamo ad ogni (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) uno scalare, in modo lineare e continuo

Quindi l'applicazione (SuperStar[x])↦(SuperStar[x])(x) appartiene al duale del duale, (X^( ** )), il biduale, e l’applicazione che associa ad x∈X la mappa (SuperStar[x])↦(SuperStar[x])(x) la indicheremo con J(x). La J è chiamata immersione canonica nel biduale. La formula da tenere presente è questa:

(SuperStar[x])(x)=J(x)((SuperStar[x])). È una specie di trasposizione dei simboli x,(SuperStar[x]).

L’applicazione J è lineare. Inoltre è continua: preso x∈X:

(Subscript[‖J(x)‖, **])=(sup_(‖(SuperStar[x])‖=1))|J(x)(SuperStar[x])|=(sup_(‖(SuperStar[x])‖=1))|(SuperStar[x])(x)|≤(sup_(‖(SuperStar[x])‖=1))(SubStar[‖(SuperStar[x])‖])‖x‖=‖x‖<+∞.

In realtà vale l’uguaglianza, perché, come abbiamo già visto come conseguenza di Hahn-Banach, (sup_(‖(SuperStar[x])‖=1))|(SuperStar[x])(x)|=(max_(‖(SuperStar[x])‖=1))|(SuperStar[x])(x)|=‖x‖.

L’immersione nel biduale J:X->(X^( ** )) è isometria di spazi normati. In particolare è iniettiva. Non sempre è suriettiva: qualora fosse suriettiva, lo spazio X è detto riflessivo.

Teorema. Siano X,Y spazi normati, A:X->Y lineare continua. Supponiamo che l’operatore aggiunto (SuperStar[A]):(SuperStar[Y])->(SuperStar[X]) sia compatto. Allora anche A è compatto.

Insieme al precedente teorema, possiamo dire che un operatore è compatto se e solo se l’aggiunto è compatto.

Dimostrazione. Si gioca con 6 spazi e 5 operatori:

Questo diagramma è commutativo. La verifica è una specie di gioco delle tre carte:

(A^( ** ))◦ (Subscript[J, X])=(Subscript[J, Y])◦ A? Applichiamo a x∈X:

((A^( ** ))(Subscript[J, X]))(x)=((Subscript[J, Y]) A)(x). Applichiamo a (SuperStar[y])∈(SuperStar[Y]):

(((A^( ** ))((Subscript[J, X])(x)))((SuperStar[y]))=(((Subscript[J, X])(x))((SuperStar[A])(SuperStar[y]))=((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)=(SuperStar[y])(A x)=((Subscript[J, Y])(A x))((SuperStar[y])).

Essendo questo vero per ogni (SuperStar[y]), vale l’uguaglianza degli operatori: ((A^( ** ))((Subscript[J, X])(x)))=(Subscript[J, Y])(A x),

cioè ((A^( ** ))(Subscript[J, X]))(x)=((Subscript[J, Y])A) (x). Essendo questo vero  per ogni x, ho che  (A^( ** ))(Subscript[J, X])=(Subscript[J, Y])A, cioè il diagramma commuta.

Supponiamo ora che (SuperStar[A]) sia compatto. Sia (Subscript[x, n])∈X limitata. Vogliamo dimostrare che possiamo estrarre una sottosuccessione in modo che n↦A (Subscript[x, φ(n)]) sia di Cauchy.

Per il teorema precedente, l’aggiunto di (SuperStar[A]), cioè (A^( ** )) è compatto. Poiché (Subscript[J, X]) è isometria da X nell’immagine, (Subscript[J, X])((Subscript[x, n])) è pure limitata. Esiste una sottosuccessione tale che n↦(A^( ** ))((Subscript[J, X])((Subscript[x, φ(n)]))) è di Cauchy. Per la commutazione (A^( ** ))((Subscript[J, X])((Subscript[x, φ(n)])))=(Subscript[J, Y])A (Subscript[x, φ(n)]).

Applichiamo (Subscript[J, Y]^(-1)), che è isometria, essendo l’inversa di una isometria:

(Subscript[J, Y]^(-1))((Subscript[J, Y])A (Subscript[x, φ(n)]))=A (Subscript[x, φ(n)]). Le isometrie mandano Cauchy in Cauchy. Finalmente anche A (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy. CVD.

Lemma. Siano X,Y spazi normati, A:X->Y operatore lineare iniettivo. Allora si equivalgono:

Dimostrazione. Supponiamo che (A^(-1)):A(X)->X non sia continuo. Poiché è un operatore lineare, è come dire che la norma operatoriale è infinita:

‖(A^(-1))‖=(sup_(y∈A(X),‖y‖=1))(Subscript[‖(A^(-1))y‖, X])=+∞.

Esiste una successione (Subscript[y, n])∈A(X) tale che (Subscript[‖(Subscript[y, n])‖, Y])=1 ma ‖(A^(-1))(Subscript[y, n])‖->+∞.

Posso scrivere (Subscript[y, n])=A (Subscript[z, n]), cioè (Subscript[z, n])=(A^(-1))(Subscript[y, n]).

Viene (Subscript[‖A (Subscript[z, n])‖, Y])=1, (Subscript[‖(Subscript[z, n])‖, X])->+∞.

Poniamo (Subscript[λ, n]):=(Subscript[‖(Subscript[z, n])‖, X]), (Subscript[x, n]):=(Subscript[z, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]).

Notiamo che (Subscript[λ, n])->+∞, e quindi

(Subscript[‖(Subscript[x, n])‖, X])=‖((Subscript[z, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))‖=((‖(Subscript[z, n])‖)/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))=((Subscript[λ, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))=(Sqrt[(Subscript[λ, n])])->+∞,

(Subscript[‖A (Subscript[x, n])‖, Y])=‖((A (Subscript[z, n]))/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))‖=((‖A (Subscript[z, n])‖)/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))=(1/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))->0.

CVD.

Trascrizione della lezione del 7 maggio 2021.

Caratterizzazione degli operatori a rango finito.

Proposizione. Siano X,Y spazi normati, A:X->Y operatore lineare continuo. Allora si equivalgono le due condizioni seguenti:

Dimostrazione. Se A ha rango finito, sappiamo già che A è compatto e l’immagine, avendo dimensione finita, è completa.

Passiamo al viceversa: supponiamo che A sia compatto e A(X) sia completo. Poniamo Z:=A(X)⊆Y. Possiamo considerare A:X->Z, rimane compatto, e Z è di Banach.

Dimostrazione semplificata nell’ipotesi aggiuntiva che X sia completo. Abbiamo A:X->Z operatore lineare, continuo e suriettivo fra due spazi di Banach. Per il teorema della mappa aperta, A è aperto, cioè manda aperti in aperti. Prendiamo la palla unitaria aperta in X, cioè (Subscript[B, X])(0,1). La sua immagine è aperta in Z, contiene lo zero di Z. Se per assurdo Z fosse di dimensione infinita, ogni suo aperto non vuoto contiene delle successioni limitate che non hanno sottosuccessioni di Cauchy. Esisterebbe (Subscript[z, n])∈A((Subscript[B, X])(0,1)) che non ha sottosuccessioni di Cauchy. Essendo (Subscript[z, n]) nell’immagine della palla tramite A, esistono (Subscript[x, n])∈(Subscript[B, X])(0,1) tali che A (Subscript[x, n])=(Subscript[z, n]) non ha sottosuccessioni di Cauchy. Ma (Subscript[x, n]) è limitata, perché sta nella palla unitaria. Quindi (Subscript[x, n]) è una successione limitata la cui immagine non ha sottosuccessioni di Cauchy. Questo contraddice l’ipotesi che A sia compatto.

Togliamo l’ipotesi aggiuntiva, cioè torniamo all’ipotesi che X sia normato ma non necessariamente di Banach. Si passa attraverso i duali e l’aggiunto:

Dico che (SuperStar[A]) è iniettivo. Prendiamo un (SuperStar[z])∈(SuperStar[Z]):

(SuperStar[A])(SuperStar[z])=0∈(SuperStar[X])   ⟺   ∀ x∈X   ((SuperStar[A])(SuperStar[z]))(x)=0∈ℂ   ⟺   ∀ x∈X   (SuperStar[z])(A x)=0∈ℂ
⟺   ∀z∈Z   (SuperStar[z])(z)=0∈ℂ   ⟺    (SuperStar[z])=0∈(SuperStar[Z]).

Abbiamo scoperto che ker (SuperStar[A])={0}, cioè (SuperStar[A]) è iniettivo. (Esercizio: l’aggiunto di un suriettivo è sempre iniettivo).

Dico che l’inversa ((((SuperStar[A])))^(-1)):(SuperStar[A])((SuperStar[Z]))->(SuperStar[Z]) è continua. Supponiamo per assurdo che ((((SuperStar[A])))^(-1)) non sia continua. Per il lemma, esiste una successione (Subscript[z, n]^( * ))∈(SuperStar[Z]) tale che ‖(Subscript[z, n]^( * ))‖->+∞ e ‖(SuperStar[A])(Subscript[z, n]^( * ))‖->0. Prendiamo z∈Z. Esiste x∈Z tale che A x=z perché A è suriettiva su Z. Possiamo scrivere

|(Subscript[z, n]^( * ))(z)|=|(Subscript[z, n]^( * ))(A x)|=|((SuperStar[A])(Subscript[z, n]^( * )))(x)|≤‖(SuperStar[A])(Subscript[z, n]^( * ))‖‖x‖->0 per n->+∞.

In particolare, per ogni z∈Z fissato, (sup_(n∈ℕ))|(Subscript[z, n]^( * ))(z)|<+∞. Notiamo che (Subscript[z, n]^( * )) è una famiglia di operatori (SuperStar[Z])->ℂ, che sono due spazi di Banach, e la successione è puntualmente limitata. Per il teorema di Banach-Steinhaus, o dell’uniforme limitatezza (che ha bisogno di completezza soltanto nello spazio di arrivo), la famiglia ha norma operatoriale limitata: (sup_(n∈ℕ))(SubStar[‖(Subscript[z, n]^( * ))‖])<+∞. Questo contraddice l’ipotesi che ‖(Subscript[z, n]^( * ))‖->+∞. Assurdo.

Riassumiamo quello che abbiamo trovato: (SuperStar[A]):(SuperStar[Z])->(SuperStar[X]) è lineare, continua, compatta, iniettiva, e l’inversa è continua sull’immagine.

La composizione ((((SuperStar[A])))^(-1))◦ (SuperStar[A])=(Subscript[id, (SuperStar[Z])]). Composizione di compatto con continuo è compatto. Quindi (Subscript[id, (SuperStar[Z])]) è compatta. Prendiamo una successione limitata in (SuperStar[Z]). La sua immagine tramite l’identità ha sempre una sottosuccessione di Cauchy. Ogni successione limitata in (SuperStar[Z]) ha una sottosuccessione di Cauchy. Quindi (SuperStar[Z]) ha dimensione finita. Infine Z ha dimensione finita, perché il duale ha dimensione finita. CVD.

Compatti e aggiunti in ambiente hilbertiano

Teorema di rappresentazione. Sia H spazio di Hilbert e sia (SuperStar[x])∈(SuperStar[H]) un fuzionale lineare continuo H->ℂ. Allora esiste un unico vettore K((SuperStar[x]))∈H tale che (SuperStar[x])(x)=⟨x,K((SuperStar[x]))⟩ per ogni x∈H.

I funzionali lineari continui si possono “rappresentare” come prodotti scalari con vettori fissi. Non ci sono funzionali lineari continui che non si possano rappresentare in questo modo.

Dimostrazione. L’unicità è facile: supponiamo che (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈H rappresentino entrambi il funzionale (SuperStar[x]), cioè

(SuperStar[x])(x)=⟨x,(Subscript[y, 1])⟩=⟨x,(Subscript[y, 2])⟩ per ogni x∈H. Sottraendo membro a membro ⟨x,(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])⟩=0 per ogni x∈H. In particolare, ponendo  x=(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2]) otteniamo 0=⟨(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])⟩=((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2), da cui (Subscript[y, 1])=(Subscript[y, 2]).

Passiamo all’esistenza. Consideriamo M:=ker (SuperStar[x]). Poiché (SuperStar[x]) è lineare continuo H->ℂ, M è un sottospazio vettoriale chiuso di H. Vale la decomposizione ortogonale H=M⊕(M^⊥)=(ker (SuperStar[x]))⊕(((ker (SuperStar[x])))^⊥).

C’è il caso banale in cui M=H, cioè (SuperStar[x])=0, e possiamo prendere K((SuperStar[x]))=0∈H.

Il caso non banale è M≠H. Prendiamo un vettore (Subscript[z, 0])∈(M^⊥)∖ {0}. Possiamo normalizzarlo e supporre che ‖(Subscript[z, 0])‖=1. Fissiamo x∈H e calcoliamo:

(SuperStar[x])(x)=(SuperStar[x])(x)((‖(Subscript[z, 0])‖)^2)=(SuperStar[x])(x)⟨(Subscript[z, 0]),(Subscript[z, 0])⟩=⟨(SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0]),(Subscript[z, 0])⟩=
⟨(SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0])-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x+(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩=
⟨(SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0])-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩+⟨(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩.

Dico che (SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0])-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x∈ker (SuperStar[x])=M. Infatti

(SuperStar[x])((SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0])-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x)=(SuperStar[x])((SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0]))-(SuperStar[x])((SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x)=(SuperStar[x])(x)(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))(SuperStar[x])(x)=0.

Nel prodotto scalare ⟨(SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0])-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩ il primo membro sta in M e il secondo sta in (M^⊥). Quindi il prodotto scalare è zero. Quindi

(SuperStar[x])(x)=⟨(SuperStar[x])(x)(Subscript[z, 0])-(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩+⟨(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩=⟨(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩=
(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))⟨x,(Subscript[z, 0])⟩=⟨x,(OverBar[(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))])(Subscript[z, 0])⟩.

Riassumendo (SuperStar[x])(x)=⟨x,(OverBar[(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))])(Subscript[z, 0])⟩ per ogni x∈H. Possiamo porre K((SuperStar[x]))=(OverBar[(SuperStar[x])((Subscript[z, 0]))])(Subscript[z, 0]). CVD.

Un modo per rappresentarsi la situazione è questo:

Abbiamo definito K:(SuperStar[H])->H. Questo K è additivo:

⟨x,K((Subscript[x, 1]^( * ))+(Subscript[x, 2]^( * )))⟩=((Subscript[x, 1]^( * ))+(Subscript[x, 2]^( * )))(x)=(Subscript[x, 1]^( * ))(x)+(Subscript[x, 2]^( * ))(x)=⟨x,K((Subscript[x, 1]^( * )))⟩+⟨x,K((Subscript[x, 2]^( * )))⟩=⟨x,K((Subscript[x, 1]^( * )))+K((Subscript[x, 2]^( * )))⟩.

Avvenendo questo per ogni x, abbiamo che K((Subscript[x, 1]^( * ))+(Subscript[x, 2]^( * )))=K((Subscript[x, 1]^( * )))+K((Subscript[x, 2]^( * ))).

Purtroppo K non è lineare, se siamo su uno spazio di Hilber complesso:

⟨x,K(α (SuperStar[x]))⟩=(α (SuperStar[x]))(x)=α ((SuperStar[x])(x))=α⟨x,K((SuperStar[x]))⟩=⟨x,(OverBar[α]) K((SuperStar[x]))⟩.

Quindi K(α (SuperStar[x]))=(OverBar[α]) K((SuperStar[x])).

Però K è isometria suriettiva fra spazi metrici. Dalla disuguaglianza di Schwartz:

‖y‖=(max_(‖x‖≤1))|⟨y,x⟩|=(max_(‖x‖=1))|⟨y,x⟩|, e il massimo viene raggiunto quando x è il versore di y. Applichiamola:

(Subscript[‖K((SuperStar[x]))‖, H])=(sup_(‖x‖≤1))|⟨x,K((SuperStar[x]))⟩|=(sup_(‖x‖≤1))|(SuperStar[x])(x)|=(SubStar[‖(SuperStar[x])‖]).

Lo spazio duale (SuperStar[H]) può essere dotato di un prodotto scalare tramite K:

(SubStar[⟨(Subscript[x, 1]^( * )),(Subscript[x, 2]^( * ))⟩]):=(Subscript[⟨K((Subscript[x, 2]^( * ))),K((Subscript[x, 1]^( * )))⟩, H]), che genera la norma operatoriale di (SuperStar[H]).

Il duale di uno spazio di Hilbert è naturalmente pure uno spazio di Hilbert.

Cosa succede del biduale?

Il diagramma commuta. J è suriettiva. Gli spazi di Hilbert sono riflessivi. (esercizio).

Trascrizione della lezione dell’11 maggio 2021.

Dato due spazi di Hilbert H,G e un operatore lineare continuo A:H->G, dato y∈G, consideriamo il funzionale lineare continuo f:x↦(Subscript[⟨A x,y⟩, G]), quindi f∈(SuperStar[H]). Applicando il teorema di rappresentazione, esiste K(f)∈H tale che f(x)=(Subscript[⟨x,K(f)⟩, H]), cioè (Subscript[⟨A x,y⟩, G])=⟨x,K(f)⟩. Questo K (f) dipende ovviamente da y, per cui scriveremo K(f)=(A^★)y. In definitiva la formula base è

(Subscript[⟨A x,y⟩, G])=(Subscript[⟨x,(A^★)y⟩, H]). Questo operatore (A^★):G->H è detto aggiunto hilbertiano di A.

Proprietà elementari dell’aggiunto hilbertiano:

per cui (A^★):G->H è lineare.

Esercizio: se H,G hanno dimensione finita e sono date delle basi ortonormali, la matrice che rappresenta (A^★) è la trasposta coniugata della matrice che rappresenta A.

Proposizione. Se A:H->G è lineare continuo, allora l’aggiunto hilbertiano (A^★) è continuo G->H. L’applicazione che manda A in (A^★) è una isometria additiva da ℒ(H,G) su tutto ℒ(H,G), però non è lineare perché (((α A))^★)=(OverBar[α])(A^★).

Dimostrazione. Dimostriamo che (A^★) è continuo:

(Subscript[‖(A^★)y‖, H])=(sup_(‖x‖=1))|⟨(A^★)y,x⟩|=(sup_(‖x‖=1))|⟨y,A x⟩|≤(sup_(‖x‖=1))‖y‖‖A x‖≤
(sup_(‖x‖=1))‖y‖‖A‖‖x‖=‖y‖‖A‖

Quindi ‖(A^★)‖≤‖A‖. Applicando l’involuzione ricaviamo ‖(A^★)‖=‖A‖.

Il diagramma seguente commuta:

Prendiamo (SuperStar[y])∈(SuperStar[G]), x∈H:

(Subscript[⟨x,(Subscript[K, H])((SuperStar[A])(SuperStar[y]))⟩, H])=((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)=(SuperStar[y])(A x)=(Subscript[⟨A x,(Subscript[K, G]) (SuperStar[y])⟩, G])=(Subscript[⟨x,(A^★)(Subscript[K, G]) (SuperStar[y])⟩, H]),

quindi (Subscript[K, H])(SuperStar[A])=(A^★)(Subscript[K, G]).

Corollario: (A^★) è compatto se e solo se A è compatto.

Esercizio. (A f)(t):=(∫_0^t)f(x)dx (operatore integrale). Dimostrare che se f∈(L^2)([0,1]), anche A f∈(L^1)([0,1]), A è lineare continuo, e trovare una formula per l’aggiunto hilbertiano.

Richiami sulla convergenza debole. Dato uno spazio normato X, diremo che la successione (Subscript[x, n]) converge debolmente a un (OverBar[x])∈X se per ogni (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) si ha che (SuperStar[x])((Subscript[x, n]))->(SuperStar[x])((OverBar[x])). Sciveremo (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x])

Il limite debole, se esiste, è unico, e si mantiene passando a sottosuccessioni. Se (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]) e (Subscript[y, n])⇀(OverBar[y]) allora (Subscript[x, n])+(Subscript[y, n])⇀(OverBar[x])+(OverBar[y]), α (Subscript[x, n])⇀α(OverBar[x]) . Come conseguenza del teorema di Banach-Steinhaus, ogni successione che converge debolmente è limitata in norma. Se (Subscript[x, n]) converge in norma a (OverBar[x]), allora converge anche debolmente a (OverBar[x]).

Per gli spazi di Hilbert, i funzionali lineari sono tutti del tipo x↦⟨x,y⟩. Quindi (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]) equivale a dire che ⟨(Subscript[x, n]),y⟩->⟨(OverBar[x]),y⟩ per ogni y∈H.

Esempio. Supponiamo che {(Subscript[u, n]):n∈ℕ} sia un sistema ortonormale numerabile in uno spazio di Hilbert H. Allora (Subscript[u, n])⇀0.

Dimostrazione. Sia M la chiusura dello span{(Subscript[u, n]):n∈ℕ}. Sia y∈H. Scriviamo:

+∞>((‖(Subscript[P, M])y‖)^2)=((‖(∑_k)⟨y,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_k)((‖⟨y,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_k)((|⟨y,(Subscript[u, k])⟩|)^2).

Per ogni y∈H la serie (∑_k)((|⟨y,(Subscript[u, k])⟩|)^2) converge. Quindi il termine generale è infinitesimo: ⟨y,(Subscript[u, k])⟩->0=⟨y,0⟩. Conclusione (Subscript[u, k])⇀0.

Teorema. In uno spazio di Hilbert da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione che converge debolmente.

Proposizione. Siano H,G due spazi di Hilbert, A:H->G operatore lineare continuo. Allora si equivalgono le condizioni seguenti:

Dimostrazione. Supponiamo che A sia compatto e sia (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]). Allora A (Subscript[x, n]) tende debolmente ad A (OverBar[x]) (per questo basta la continuità, non serve la compattezza). Infatti, preso y∈G calcoliamo

(Subscript[⟨A (Subscript[x, n])-A(OverBar[x]),y⟩, G])=(Subscript[⟨A ((Subscript[x, n])-(OverBar[x])),y⟩, G])=(Subscript[⟨ (Subscript[x, n])-(OverBar[x]),(A^★)y⟩, H])->0 per n->+∞.

Supponiamo per assurdo che A (Subscript[x, n]) non converga in norma ad A (OverBar[x]). Allora esiste una sottosuccessione che si tiene lontano da A (OverBar[x]), cioè esiste ϵ>0 e una ϕ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che ‖A (Subscript[x, ϕ(n)])-A (OverBar[x])‖≥ϵ per ogni n. Per ipotesi A è compatta. Quindi estraiamo una sottosuccessione A (Subscript[x, ϕ(ψ(n))]) che converge a un qualche (OverBar[y])∈G. Passando al limite nella disuguaglianza ‖A (Subscript[x, ϕ(ψ(n))])-A (OverBar[x])‖≥ϵ i ottiene ‖(OverBar[y])-A (OverBar[x])‖≥ϵ. In particolare (OverBar[y])≠A (OverBar[x]). Ma allora la sottosuccessione A (Subscript[x, ϕ(ψ(n))]) converge debolmente a due limiti diversi: (OverBar[y]) e A (OverBar[x]). Per l’unicità del limite debole concludiamo che A (Subscript[x, n]) converge in norma ad A (OverBar[x]).

Viceversa, supponiamo che A mandi successioni convergenti debolmente in successioni che convergono fortemente. Dimostriamo che A è compatto. Sia (Subscript[x, n])∈H limitata. Sappiamo che esiste una sottosuccessione (Subscript[x, ϕ(n)]) che converge debolmente. Pertanto A (Subscript[x, ϕ(n)]) converge fortemente in G. Quindi A è compatta.

teoria spettrale

Definizione. Se X è uno spazio vettoriale sui complessi, non ridotto al solo zero, e A:X->X, chiameremo autovalori e relativi autovettori di A gli scalari λ∈ℂ e i vettori non nulli (OverBar[x])∈X∖{0} per i quali A (OverBar[x])=λ (OverBar[x]). L’insieme dei vettori x∈X tali che A x=λ x si chiama autospazio relativo a λ, è il ker(λ (Subscript[id, X])-A). Chiameremo spettro di A l’insieme dei λ∈ℂ tali che λ (Subscript[id, X])-A non sia biiettivo.

In dimensione finita lo spettro coincide con l’insieme degli autovalori. In dimensione finita può succedere che λ (Subscript[id, X])-A sia iniettivo ma non suriettivo. Un λ può appartenere allo spettro senza che abbia autovettori.

Faremo la teoria spettrale quasi soltanto negli spazi di Hilbert, prevalentemente per operatori autoaggiunti compatti.

Proposizione. Sia X spazio normato, A:X->X un operatore compatto, sia λ un autovalore non nullo di A. Allora l’autospazio di λ ha dimensione finita.

(gli autospazi con autovalore non nullo degli operatori compatti hanno dimensione finita).

Dimostrazione. Consideriamo l’autospazio (Subscript[Z, λ]):=ker(λ (Subscript[id, X])-A). Questo (Subscript[Z, λ]) è un sottospazio vettoriale chiuso di X perché nucleo di un operatore lineare continuo. La restrizione di A a (Subscript[Z, λ]) agisce come multiplo dell’identità: se x∈(Subscript[Z, λ]) possiamo scrivere (λ (Subscript[id, X])-A) x=0, cioè λ x-A x=0, cioè A x=λ x.

Prendiamo (Subscript[x, n])∈(Subscript[Z, λ]) limitata. Poiché A è compatto, possiamo estrarre una sottosuccessione tale che A (Subscript[x, ϕ(n)]) sia di Cauchy. Però A (Subscript[x, ϕ(n)])=λ (Subscript[x, ϕ(n)]), cioè (Subscript[x, ϕ(n)])=A (Subscript[x, ϕ(n)])/λ, e quindi anche (Subscript[x, ϕ(n)]) è di Cauchy. Quindi da ogni successione limitata in (Subscript[Z, λ]) possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Questo può succedere solo se (Subscript[Z, λ]) ha dimensione finita. CVD.

Esempio. X=(ℓ^p)(ℕ), lo spazio delle successioni con norma p finita. Definiamo A:X->X così:

dato x=(x(1),x(2),…) poniamo A x=(0,x(1)/2,x(2)/3,x(3)/4,…,x(n-1)/n,…). Scrivere la matrice infinita associata. Questa A è lineare compatto (manda la palla unitaria nel cubo di Hilbert). Questo operatore non ha autovalori.

Lo zero non è autovalore perché A x=(0,x(1)/2,x(2)/3,x(3)/4,…,x(n-1)/n,…)=0 se e solo se x(n-1)/n=0 per ogni n, quindi x(n-1)=0 per ogni n≥2, e quindi x=0.

Prendiamo λ≠0. Prendiamo un x tale che A x=λ x. In particolare:

(0,x(1)/2,x(2)/3,x(3)/4,…,x(n-1)/n,…)=
λ (x(1),x(2),x(3),x(4),…)=
 (λ x(1),λ x(2),λ x(3),λ x(4),…)

λ x(1)=0, x(1)/2=λ x(2), ... , x(n-1)/n=λ x(n). Per induzione x(n)=0 per ogni n.

Non ci sono autovettori non nulli.

Trascrizione della lezione del 14 maggio 2021.

Definizione. Un operatore A:H->H, con H di Hilbert, si dice autoaggiunto se (A^★)=A, cioè se

⟨A x,y⟩=⟨x,A y⟩.

L’identità è autoaggiunta.

Proposizione. Sia H di Hilbert complesso, A:H->H lineare continuo e autoaggiunto. Allora:

Dimostrazione. Sia λ un autovalore di A con autovettore (OverBar[x])≠0, A(OverBar[x])=λ (OverBar[x]). Allora:

⟨A (OverBar[x]),(OverBar[x])⟩=⟨λ (OverBar[x]),(OverBar[x])⟩=λ⟨(OverBar[x]),(OverBar[x])⟩=λ((‖(OverBar[x])‖)^2),

⟨A (OverBar[x]),(OverBar[x])⟩=⟨ (OverBar[x]),A(OverBar[x])⟩=⟨(OverBar[x]),λ(OverBar[x])⟩=(OverBar[λ])⟨(OverBar[x]),(OverBar[x])⟩=(OverBar[λ])((‖(OverBar[x])‖)^2). Uguagliando si ottiene λ=(OverBar[λ]), cioè λ è reale.

Siano (Subscript[λ, 1])≠(Subscript[λ, 2]) due autovalori distinti di A, con autovettori (Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2]). Uno dei due autovalori è non nullo, per esempio (Subscript[λ, 1])≠0. Allora

⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=⟨(1/(Subscript[λ, 1]))(Subscript[λ, 1])(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=⟨(1/(Subscript[λ, 1]))A(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=(1/(Subscript[λ, 1]))⟨A(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=(1/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),A(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=(1/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[λ, 2])(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=
((Subscript[λ, 2])/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩.

Sottraiamo primo e ultimo membro:

0=⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩-((Subscript[λ, 2])/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=(1-((Subscript[λ, 2])/(Subscript[λ, 1])))⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=(((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩.

Ne segue che ⟨(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])⟩=0, cioè (Subscript[(OverBar[x]), 1])⊥(Subscript[(OverBar[x]), 2]).

Facciamo le equivalenze:

x∈ker A⟺A x=0⟺(∀y∈H: ⟨A x,y⟩=0)⟺(∀y∈H: ⟨x,A y⟩=0)⟺
(∀z∈A(H): ⟨x,z⟩=0)⟺x⊥A(H)

Effettivamente ker A=((A(H))^⊥). CVD.

Attenzione: non  è vero in dimensione infinita che (((ker A))^⊥)=A(H).

Quello che vale sempre è H=(ker A)⊕cl(A(H)).

In dimensione infinita non è detto che A(H) sia chiuso.

Teorema. Sia H uno spazio di Hilbert (non ridotto al solo 0) e sia A:H->H un operatore lineare, compatto e autaggiunto. Consideriamo la forma quadratica associata T(x):=⟨A x,x⟩. La T ha valori reali. Inoltre:

Dimostrazione. T ha valori reali perché T(x)=⟨A x,x⟩=(OverBar[⟨x,A x⟩])=(OverBar[⟨A x,x⟩])=(OverBar[T(x)]).

Poniamo (Subscript[λ, 0])=(sup_(‖x‖=1))|T(x)|.

Osserviamo che se x≠0 possiamo scrivere

|T(x)|=|⟨A x,x⟩|=((‖x‖)^2)|⟨A (x/(‖x‖)),(x/(‖x‖))⟩|≤((‖x‖)^2)(Subscript[λ, 0]), per cui |T(x)|≤(Subscript[λ, 0])((‖x‖)^2) per ogni x.

Se ‖x‖=1 allora |T(x)|=|⟨A x,x⟩|≤‖A x‖‖x‖≤‖A‖‖x‖‖x‖=‖A‖((‖x‖)^2)=‖A‖. Quindi (Subscript[λ, 0])≤‖A‖.

Facciamo dei conti simili a quelli dell’identità di polarizzazione:

T(x+y)-T(x-y)=⟨A(x+y),x+y⟩-⟨A(x-y),x-y⟩=
⟨A x,x⟩+⟨A x,y⟩+⟨A y,x⟩+⟨A y,y⟩-
⟨A x,x⟩+⟨A x,y⟩+⟨A y,x⟩-⟨A y,y⟩=
⟨A x,y⟩+⟨A y,x⟩+⟨A x,y⟩+⟨A y,x⟩=
⟨A x,y⟩+⟨y,A x⟩+⟨A x,y⟩+⟨y,A x⟩=
2(⟨A x,y⟩+(OverBar[⟨A x,y⟩]))=
4Re⟨A x,y⟩.

Prendiamo i valori assoluti:

|T(x+y)|+|T(x-y)|≤(Subscript[λ, 0])((‖x+y‖)^2)+(Subscript[λ, 0])((‖x-y‖)^2)=(Subscript[λ, 0])(((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2))=
(Subscript[λ, 0])(2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2))=2(Subscript[λ, 0])(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)).

Per ogni x,y∈ H

4Re⟨A x,y⟩=T(x+y)-T(x-y)≤|T(x+y)|+|T(x-y)|≤2(Subscript[λ, 0])(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)).

Abbiamo stabilito che

4Re⟨A x,y⟩≤2(Subscript[λ, 0])(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)).

Prendiamo ‖x‖=1 con A x≠0, (supponendo che A non sia identicamente nulla) e poniamo y:=((A x)/(‖A x‖)). Sostituiamo nella disuguaglianza precedente:

4Re⟨A x,((A x)/(‖A x‖))⟩≤2(Subscript[λ, 0])(((‖x‖)^2)+((‖((A x)/(‖A x‖))‖)^2)).

Manipoliamo:

(4/(‖A x‖))Re⟨A x,A x⟩≤2(Subscript[λ, 0])(1+1)

(4/(‖A x‖))((‖A x‖)^2)≤4(Subscript[λ, 0])

‖A x‖≤(Subscript[λ, 0]), vera ogniqualvolta ‖x‖=1, A x≠0.

Vera per ogni x della sfera unitaria. Ne segue che la norma operatoriale di A, che è ‖A‖=(sup_(‖x‖=1))‖A x‖≤(Subscript[λ, 0]).

Sapevamo già che (Subscript[λ, 0])≤‖A‖. Quindi (Subscript[λ, 0])=‖A‖.

Ricordiamo che (Subscript[λ, 0])=(sup_(‖x‖=1))|T(x)|.

Prendiamo una successione massimizzante, cioè (Subscript[x, n]) tale che ‖(Subscript[x, n])‖=1 e che

|T ((Subscript[x, n]))|->(Subscript[λ, 0])=‖A‖ per n->+∞.

A meno di passare a una sottosuccessione possiamo supporre che valga una delle due condizioni seguenti:

Mettiamoci nel primo caso, che T((Subscript[x, n]))->‖A‖. Possiamo scrivere

((‖x-y‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)-2Re⟨x,y⟩

0≤((‖‖A‖(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n])‖)^2)=((‖‖A‖(Subscript[x, n])‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-2Re⟨‖A‖(Subscript[x, n]),A (Subscript[x, n])⟩=
((‖A‖)^2)((‖(Subscript[x, n])‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-2‖A‖Re⟨(Subscript[x, n]),A (Subscript[x, n])⟩=
((‖A‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-2‖A‖Re⟨A (Subscript[x, n]),(Subscript[x, n])⟩=
((‖A‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-2‖A‖T((Subscript[x, n]))≤
((‖A‖)^2)+((‖A‖)^2)((‖(Subscript[x, n])‖)^2)-2‖A‖T((Subscript[x, n]))=
((‖A‖)^2)+((‖A‖)^2)-2‖A‖T((Subscript[x, n]))=
2((‖A‖)^2)-2‖A‖T((Subscript[x, n])).

Facciamo tendere n->+∞: l’utimo membro 2((‖A‖)^2)-2‖A‖T((Subscript[x, n]))->2((‖A‖)^2)-2‖A‖‖A‖=0. Quindi ‖A‖(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n])->0.

Usiamo finalmente la compattezza. Gli (Subscript[x, n]) sono nella sfera unitaria, quindi sono limitati, e possiamo estrarre una sottosuccessione che converge debolmente a un qualche (OverBar[x]): esiste ϕ tale che

(Subscript[x, ϕ(n)])⇀(OverBar[x]). Poiché A è compatto, manda successioni convergenti debolmente in successioni convergenti fortemente:  A (Subscript[x, ϕ(n)])->A (OverBar[x]).

Consideriamo ‖A‖(Subscript[x, ϕ(n)])=A (Subscript[x, ϕ(n)])+(‖A‖(Subscript[x, ϕ(n)])-A (Subscript[x, ϕ(n)])). Vediamo a cosa e come tendono i vari addendi: Il primo membro tende debolmente a ‖A‖(OverBar[x]). Il termine A (Subscript[x, ϕ(n)]) tende fortemente a A (OverBar[x]). Infine (‖A‖(Subscript[x, ϕ(n)])-A (Subscript[x, ϕ(n)])) tende fortemente a zero. Il secondo membro tende fortemente a A (OverBar[x])+0=A (OverBar[x]). Per l’unicità del limite debole, uguagliando i limiti deboli dei due membri, abbiamo che ‖A‖(OverBar[x])=A (OverBar[x]). Possiamo concludere che (OverBar[x]) è autovalore di A? Non ancora, perché non sappiamo se (OverBar[x]) è nullo o no.

Se per caso (OverBar[x])=0, avremmo che A (Subscript[x, ϕ(n)])->A (OverBar[x])=0 e quindi

|T((Subscript[x, ϕ(n)]))|=|⟨A (Subscript[x, ϕ(n)]),(Subscript[x, ϕ(n)])⟩|≤‖A (Subscript[x, ϕ(n)])‖‖(Subscript[x, ϕ(n)])‖=‖A (Subscript[x, ϕ(n)])‖->0.

Il primo membro tende a (Subscript[λ, 0]), perché (Subscript[x, n]) è successione massimizzante. Otterremmo

‖A‖=(Subscript[λ, 0])=0. Quindi A sarebbe identicamente nulla. Altrimenti (OverBar[x])≠0, ed (OverBar[x]) è autoversore di A con autovalore ‖A‖. Inoltre questo (OverBar[x]) realizza il massimo (Subscript[λ, 0])=(max_(‖x‖=1))|T(x)|.

Sia x un qualsiasi versore tale che T(x)=(Subscript[λ, 0])=‖A‖.

Riscriviamo la disuguaglianza di prima con x al posto di (Subscript[x, n]):

0≤((‖‖A‖x-A x‖)^2)≤2((‖A‖)^2)-2‖A‖T(x).

Questo diventa 0≤((‖‖A‖x-A x‖)^2)≤2((‖A‖)^2)-2‖A‖‖A‖=0.

Quindi ‖A‖x-A x=0, cioè x è autovettore di A con autovalore ‖A‖.

Viceversa, se x è autovettore di A con autovalore ‖A‖, è banale che x realizzi il massimo.

Il caso in cui T((Subscript[x, n]))->-‖A‖ è analogo. CVD.

Morale: gli operatori compatti autoaggiunti hanno sempre un autovalore, che è o la norma operatoriale o la sua opposta.

Trascrizione della lezione del 18 maggio 2021.

Teorema (diagonalizzazione degli operatori compatti autoaggiunti). Sia H uno spazio di Hilbert, A:H->H un operatore lineare, compatto e autoaggiunto (e non identicamente nullo). Allora esiste una base hilbertiana della chiusura dell’immagine di A formata da autovettori di A. Più precisamente:

In entrambi i casi gli autovalori non nulli di A sono esattamente i (Subscript[λ, k]).

Dimostrazione. Poiché A non è identicamente nullo, ‖A‖>0. Dal teorema precedente, o ‖A‖ o -‖A‖ è un autovalore (Subscript[λ, 1])≠0 di A con rispettivo autoversore (Subscript[u, 1]). Poniamo (Subscript[M, 1]):=span{(Subscript[u, 1])}. Osserviamo che (Subscript[M, 1]) è sottospazio vettoriale chiuso (ha dimensione finita). Verifichiamo che A manda (Subscript[M, 1]^⊥) in se stesso:

x∈(Subscript[M, 1]^⊥)⟺(x⊥α (Subscript[u, 1]) per ogniα∈ℂ)⟺(⟨x,α (Subscript[u, 1])⟩=0 per ogniα∈ℂ)⟺
⟨x,(Subscript[u, 1])⟩=0⟺⟨x,(1/(Subscript[λ, 1]))(Subscript[λ, 1]) (Subscript[u, 1])⟩=0⟺⟨x,(1/(Subscript[λ, 1]))A (Subscript[u, 1])⟩=0⟺⟨x,A (Subscript[u, 1])⟩=0⟺
⟨A x,(Subscript[u, 1])⟩=0⟺(⟨A x,α (Subscript[u, 1])⟩=0 per ogni α)⟺A x⊥(Subscript[M, 1])⟺
A x∈(Subscript[M, 1]^⊥).

(Subscript[M, 1]^⊥) è uno spazio di Hilbert (sottospazio chiuso di un Hilbert). La restrizione A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)]):(Subscript[M, 1]^⊥)->(Subscript[M, 1]^⊥) è ancora compatta autoaggiunta. Può succedere che questa restrizione sia identicamente nulla, e ci fermiamo e A(H)=(Subscript[M, 1]).

Se A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)]) non è identicamente nulla, ha una norma operatoriale ‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)])‖>0. Necessariamente questa norma operatoriale è ≤‖A‖,

perché ‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)])‖=(sup_(x∈(Subscript[M, 1]^⊥),‖x‖=1))‖A x‖≤(sup_(x∈H,‖x‖=1))‖A x‖=‖A‖.

O \[LeftDoubleBracketingBar]A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^\[Perpendicular])])\[RightDoubleBracketingBar] oppure -\[LeftDoubleBracketingBar]A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^\[Perpendicular])])\[RightDoubleBracketingBar] è un autovalore di A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^\[Perpendicular])]). Chiamiamolo (Subscript[λ, 2]), con rispettivo autoversore (Subscript[u, 1])∈(Subscript[M, 1]^\[Perpendicular]). Notiamo che 0<\[LeftBracketingBar](Subscript[λ, 2])\[RightBracketingBar]≤\[LeftBracketingBar](Subscript[λ, 1])\[RightBracketingBar].

Poniamo (Subscript[M, 2])=span{(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2])}. È un sottospazio chiuso. Dico che A:(Subscript[M, 2]^⊥)->(Subscript[M, 2]^⊥):

x∈(Subscript[M, 2]^⊥)⟺(x⊥((Subscript[α, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[α, 2])(Subscript[u, 2])) per ogni (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]))⟺(⟨x,(Subscript[α, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[α, 2])(Subscript[u, 2])⟩=0 per ogni (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]))⟺
(⟨x,(Subscript[u, 1])⟩=0 e ⟨x,(Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(⟨x,(1/(Subscript[λ, 1]))A (Subscript[u, 1])⟩=0 e ⟨x,(1/(Subscript[λ, 2]))(Subscript[Au, 2])⟩=0)⟺
(⟨x,A (Subscript[u, 1])⟩=0 e ⟨x,A (Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(⟨A x,(Subscript[u, 1])⟩=0 e ⟨A x,(Subscript[u, 2])⟩=0)⟺
(⟨A x,(Subscript[α, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[α, 2])(Subscript[u, 2])⟩=0 per ogni (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]))⟺A x⊥(Subscript[M, 2])⟺
A x∈(Subscript[M, 2]^⊥).

Consideriamo A(Subscript[|, (Subscript[M, 2]^⊥)]). Se questo è identicamente nullo ci fermiamo. Se invece non è identicamente nullo, o ‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 2]^⊥)])‖ o -‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 2]^⊥)])‖ è autovalore (Subscript[λ, 3]) con ripettivo autoversore (Subscript[u, 3])∈(Subscript[M, 2]^⊥). Posto (Subscript[M, 3])=span{(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3])} , dico che A:(Subscript[M, 3]^⊥)->(Subscript[M, 3]^⊥) ecc.

La procedura può fermarsi a un certo punto: troviamo (Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n]) autoversori di A con autovalori (Subscript[λ, 1]),…,(Subscript[λ, n]) non nulli tali che, posto (Subscript[M, n])=span{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])} (chiuso), succeda che A(Subscript[|, (Subscript[M, n]^⊥)]) sia identicamente nullo. Allora per ogni x∈H possiamo scrivere:

A x=A((Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+(Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x)=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x=A(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])=(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩A (Subscript[u, k])=
(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[λ, k]) (Subscript[u, k])=(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]).

L’altra possibilità è che la procedura non termini mai: generiamo una successione di autovalori n\[RightTeeArrow](Subscript[λ, n])∈ℝ\[Backslash]{0} tali che 0<\[LeftBracketingBar](Subscript[λ, n+1])\[RightBracketingBar]≤\[LeftBracketingBar](Subscript[λ, n])\[RightBracketingBar] per ogni n e una successione di rispettivi autoversori n\[RightTeeArrow](Subscript[u, n]) a due a due ortogonali (formano un sistema ortonormale). L’immagine A(H) contiene A (Subscript[u, n])=(Subscript[λ, n])(Subscript[u, n])≠0 e sono linearmente indipendenti, per cui A(H) ha dimensione infinita. Poniamo come prima (Subscript[M, n])=span{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])}, e sia M la chiusura di span{(Subscript[u, 1]),…}. Gli (Subscript[u, n]) formano una base hilbertiana di M. Ricordiamoci che (Subscript[u, n])\[RightVector]0, e quindi A (Subscript[u, n])->A 0=0. Dimostriamo che (Subscript[λ, n])->0:

|(Subscript[λ, n])|=|(Subscript[λ, n])|‖(Subscript[u, n])‖=‖(Subscript[λ, n])(Subscript[u, n])‖=‖A (Subscript[u, n])‖->‖A 0‖=0.

Prendiamo x∈H qualsiasi. Possiamo scrivere:

A x=A((Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+(Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x)=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x=A (∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])+A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x=
(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])+A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x.

Considero

‖A x-(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖=‖A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x‖≤‖A(Subscript[|, (Subscript[M, n]^⊥)])‖‖x‖=|(Subscript[λ, n+1])|‖x‖->0.

Quindi A x=(∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) (limite delle somme parziali, ma anche nel senso della sommabilità).

Rimane da dimostrare che i (Subscript[λ, n]) sono tutti e soli gli autovalori non nulli. Supponiamo che μ∈ℝ∖{0} sia autovalore diverso da tutti i (Subscript[λ, n]), con autoversore (OverBar[x]). Necessariamente (OverBar[x])⊥(Subscript[u, n]) per ogni n perché A è autoaggiunto. Quindi

μ (OverBar[x])=A (OverBar[x])=(∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])=0. Ne segue che μ=0, contro l’ipotesi.

Lo zero non è detto che sia autovalore di A. CVD.

Proposizione. Se H è di Hilbert e A:H->H è un operatore, se equivalgono le condizioni seguenti:

Dimostrazione. Che (1) implichi (2) è il teorema precedente. Vediamo il viceversa.

Il caso in cui I è finito è banale. Supponiamo che I=ℕ. Notiamo prima di tutto che la somma (∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) è sommabile anche nel caso numerabile,

perché i (Subscript[λ, k]) sono limitati: (∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) è sommabile se e solo se

(∑_(k=1)^(+∞))((‖(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)<+∞,

ma (∑_(k=1)^(+∞))((‖(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=1)^(+∞))((|(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)≤|(Subscript[λ, 1])|(∑_(k=1)^(+∞))((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)=|(Subscript[λ, 1])|((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)<+∞.

Poniamo (Subscript[A, n])x:=(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])  e (Subscript[M, n]):=span{(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])}. Questa (Subscript[A, n]):H->H è lineare, continua, a rango finito (ha valori in (Subscript[M, n])), e quindi compatta, è anche autaggiunta (per esercizio). Verifichiamo che (Subscript[A, n]) converge in norma operatoriale ad A:

((‖(A-(Subscript[A, n]))x‖)^2)=((‖A x-(Subscript[A, n])x‖)^2)=((‖(∑_(k=n+1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=n+1)^(+∞))((‖(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=
(∑_(k=n+1)^(+∞))((|(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)=(∑_(k=n+1)^(+∞))((|(Subscript[λ, k])|)^2)((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)≤((|(Subscript[λ, n+1])|)^2)(∑_(k=n+1)^(+∞))((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)≤
((|(Subscript[λ, n+1])|)^2)((‖x‖)^2).

Estraendo la radice quadrata: ‖(A-(Subscript[A, n]))x‖≤|(Subscript[λ, n+1])|‖x‖, da cui ‖A-(Subscript[A, n])‖≤|(Subscript[λ, n+1])|->0.

Sappiamo che l’insieme degli operatori compatti H->H è chiuso per la norma operatoriale. Quindi anche A è compatto. È anche autoaggiunto perché gli (Subscript[A, n]) lo sono. CVD.

Trascrizione della lezione del 21 maggio 2021.

Teorema dell’alternativa di Fredholm. Sia H uno spazio di Hilbert, A:H->H un operatore lineare compatto, e poniamo T=I-A (I è l’identità su H). Allora:

Dimostrazione. Divisa in passi.

Passo 1. T(H) è chiusa in H.

Sia (OverBar[y])∈cl T(H). Devo dimostrare che (OverBar[y])∈T(H). Esiste una successione (Subscript[x, n])∈H tale che (Subscript[y, n])=T (Subscript[x, n])=(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n])->(OverBar[y]). Possiamo supporre che (Subscript[x, n])∈(((ker T))^⊥), eventualmente sostituendo (Subscript[x, n]) con (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n]): infatti

(Subscript[y, n])=T (Subscript[x, n])=T((Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n])+(Subscript[P, ker T])(Subscript[x, n]))=T (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n])+T (Overscript[(Subscript[P, ker T])(Subscript[x, n]), (Overscript[⏞, ∈ker T])])=T (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n])+0=
T (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n]).

Dimostriamo che (Subscript[x, n]) è limitata.

Supponiamo per assurdo che non sia limitata. A meno di passare a una sottosuccessione, possiamo supporre che ‖(Subscript[x, n])‖->+∞. Osserviamo che (Subscript[y, n]), poiché converge, è limitata. Partiamo dall’uguaglianza (Subscript[y, n])=(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n]) e dividiamo ambo i membri per ‖(Subscript[x, n])‖:

((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))=((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))-A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)). Il primo membro ((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) tende a zero in norma, perché il numeratore è limitato e il denominatore va all’infinito. La successione ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) è limitata, A è compatto, quindi, a meno di passare a una ulteriore sottosuccessione, possiamo supporre che A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) converga a un qualche (OverBar[z])∈H.

((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))=((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))+A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->0+(OverBar[z])=(OverBar[z]).

Applichiamo A (che è continua) al primo membro: A((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->A (OverBar[z]). Quindi

((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))=((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))+A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->0+A (OverBar[z])->A  (OverBar[z]).

Uguagliando i limiti otteniamo che (OverBar[z])=A (OverBar[z]), cioè T (OverBar[z])=(OverBar[z])-A (OverBar[z])=0. Quindi (OverBar[z])∈ker T.

Però avevamo preso (Subscript[x, n])∈(((ker T))^⊥), che è chiuso. Osserviamo che ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))∈(((ker T))^⊥), per cui (OverBar[z])∈(((ker T))^⊥).

Quindi (OverBar[z])∈(ker T)⋂(((ker T))^⊥)={0}, ossia (OverBar[z])=0. Questo è assurdo, perché tutti i vettori ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) hanno norma 1, per cui anche il limite forte deve avere norma 1.

Quindi  (Subscript[x, n]) è limitata. Esiste una sottosuccessione (Subscript[x, ϕ(n)]) che converge debolmente a un qualche (OverBar[x])∈H. Applichiamo l’operatore compatto A: l’immagine converge fortemente A (Subscript[x, ϕ(n)])->A(OverBar[x]).

Torniamo all’uguaglianza (Subscript[y, n])=T (Subscript[x, n])=(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n])->(OverBar[y]) lungo la sottosuccessione:

(Overscript[(Subscript[y, ϕ(n)]), (Overscript[⏞, ->(OverBar[y])])])=T (Subscript[x, ϕ(n)])=(Overscript[(Subscript[x, ϕ(n)]), (Overscript[⏞, ⇀(OverBar[x])])])-(Overscript[A (Subscript[x, ϕ(n)]), (Overscript[⏞, ->A(OverBar[x])])])⇀(OverBar[x])-A(OverBar[x])=T(OverBar[x]). Uguagliando i limiti (forte e debole) ottengo (OverBar[y])=T(OverBar[x]). Concludiamo che effettivamente (OverBar[y])∈T(H).

Passo 2. (T^n)(H) (iterato n-esimo di T) è chiusa per ogni n∈ℕ.

Per n=1 è il passo precedente. Prendiamo n=2:

(T^2)=T T=(I-A)(I-A)=I-A-A+(A^2)=I-A(2I-A).

Quindi l’iterata seconda di T si può scrivere come differenza fra l’identità e A(2I-A), che è la composizione di due operatori lineari continui, di cui uno è compatto. L’iterata seconda di T è anch’essa del tipo identità meno operatore compatto. Possiamo applicare il passo precedente a I-A(2I-A) invece che a T=I-A.

In generale l’iterata n-esima si può anch’essa scrivere come I-compatto, perché si può sempre raccogliere un A.

Passo 3. ker (T^★)=((T(H))^⊥) e (((ker (T^★)))^⊥)=T(H).

Osserviamo che

x∈ker (T^★)⟺(T^★)x=0⟺(∀y∈H  ⟨(T^★)x,y⟩=0)⟺(∀y∈H  ⟨x,T y⟩=0)⟺
(∀z∈T(H)  ⟨x,z⟩=0)⟺x∈((T(H))^⊥).

Poiché T(H) è chiuso per il passo 1, (((T(((H))^⊥)))^⊥)=T(H).

Passo 4. Esiste un (OverBar[k])∈ℕ tale che (T^((OverBar[k])+1))(H)=(T^(OverBar[k]))(H).

Abbiamo una catena infinita di operatori:

I sottospazi sono via via più piccoli: T(H)⊇(T^2)(H)⊇(T^3)(H)⊇(T^4)(H)… Sono tutti chiusi per il passo 2.

Supponiamo per assurdo che tutte le inclusioni siano strette, cioè (T^(n+1))(H)⊂(T^n)(H) per ogni n.

Quindi (T^(n+1))(H) è un sottospazio chiuso e proprio di (T^n)(H). Quindi possiamo decomporre (T^n)(H)=(T^(n+1))(H)⊕(Subscript[M, n+1]), con  {0}≠(Subscript[M, n+1])⊥(T^(n+1))(H). Abbiamo una successione di questi (Subscript[M, n]).

Prendiamo un versore da ciascuno (Subscript[u, n])∈(Subscript[M, n+1])⊂(T^n)(H).

Questi (Subscript[u, n]) formano un sistema ortonormale in H, perché se n<m abbiamo che

(Subscript[u, n])∈(Subscript[M, n+1])⊥(T^(n+1))(H)⊇(T^m)(H)∋(Subscript[u, m]), da cui (Subscript[u, n])⊥(Subscript[u, m]).

Ancora n<m e scriviamo (T=I-A)

A (Subscript[u, n])-A (Subscript[u, m])=(I-T)(Subscript[u, n])-(I-T)(Subscript[u, m])=(Subscript[u, n])-T (Subscript[u, n])-(Subscript[u, m])+T (Subscript[u, m])=
(Overscript[(Subscript[u, n]), (Overscript[⏞, ∈(Subscript[M, n+1])])])-(Overscript[((Overscript[T (Subscript[u, n]), (Overscript[⏞, ∈(T^(n+1))(H)])])+(Overscript[(Subscript[u, m]), (Overscript[⏞, ∈(T^m)(H)])])-(Overscript[T (Subscript[u, m]), (Overscript[⏞, ∈(T^(m+1))(H)])])), (Overscript[⏞, ∈(T^(n+1))(H)])]).

Notiamo che (Subscript[M, n+1]) è ortogonale a (T^(n+1))(H). Prendiamo le norme quadre, per il teorema di Pitagora

((‖A (Subscript[u, n])-A (Subscript[u, m])‖)^2)=((‖(Subscript[u, n])‖)^2)+((‖T (Subscript[u, n])+(Subscript[u, m])-T (Subscript[u, m])‖)^2)≥((‖(Subscript[u, n])‖)^2)=1.

Ne segue che la successione A (Subscript[u, n]) non ha alcuna sottosuccessione di Cauchy. Assurdo perché gli (Subscript[u, n]) sono limitati (versori) e A è compatto.

Passo 5. T è biiettivo se e solo se T è iniettivo, se solo se (T^★) è iniettivo, se e solo se (T^★) è biiettivo.

È ovvio che se T è biiettivo è anche iniettivo. Viceversa, supponiamo  che T sia iniettivo ma per assurdo che T non sia suriettivo.

Prendiamo l'indice (OverBar[k]) del passo precedente. Poiché T è iniettivo, anche tutte le sue iterate sono iniettive. Poiché T non è suriettivo, esiste un (Subscript[y, 0])∈H tale che T x≠(Subscript[y, 0]) per ogni x∈H.

Portiamo (Subscript[y, 0]) al primo membro T x-(Subscript[y, 0])≠0, e applichiamo ad ambo i membri (T^(OverBar[k])), che è iniettivo, per cui (T^(OverBar[k]))(T x-(Subscript[y, 0]))≠(T^(OverBar[k]))(0)=0. Quindi (T^((OverBar[k])+1)) x-(T^(OverBar[k]))(Subscript[y, 0])≠0, cioè (T^((OverBar[k])+1)) x≠(T^(OverBar[k]))(Subscript[y, 0]), per ogni x∈H.

(T^(OverBar[k]))(Subscript[y, 0])∈(T^(OverBar[k]))(H) che non è uguale a nessun elemento di (T^((OverBar[k])+1))(H), contro il passo precedente.

L’aggiunto hilbertiano (T^★)=I-(A^★), e (A^★) è anch’esso compatto. Quindi (T^★) è biiettivo se e solo se è iniettivo.

Supponiamo che T sia biiettivo. Allora T(H)=H. Per il passo 3:

ker (T^★)=((T(H))^⊥) e (((ker (T^★)))^⊥)=T(H).

Quindi ker (T^★)={0}, cioè (T^★) è iniettivo, quindi biiettivo.

Passo 6. dim ker T=dim ker (T^★)<+∞.

I nuclei di T e (T^★) sono autospazi relativi all’eventuale autovalore 1 degli operatori compatti A,(A^★). Sappiamo già che gli autospazi (autovalori non nulli) di operatori compatti hanno dimensione finita. Ci rimane da dimostrare che la dimensione è la stessa.

Se una delle due dimensioni è nulla, vuol dire che uno dei due operatori è iniettivo, ma allora per il passo precedente sono entrambi biiettivi, per cui entrambe le dimensioni sono zero, in particolare uguali.

Supponiamo che le dimensioni siano entrambe positive. Sia {(Subscript[u, 1]),…,(Subscript[u, n])} una base ortormale di ker T, e sia {(Subscript[v, 1]),…,(Subscript[v, m])} una base ortonormale di ker (T^★) con n≠m. Salvo scambiare fra loro T e (T^★), possiamo supporre che n≤m.

Definiamo gli operatori S x:=T x-(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])=x-A x-(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]),

B x:=A x+(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]), di modo che S x=x-B x.

Osserviamo che B è somma di un operatore compatto A più un operatore di rango finito, quindi B è compatto.

Quindi S è dello stesso tipo di T, cioè identità meno compatto. I passi precedenti valgono anche per S. Vogliamo dimostrare che S è iniettivo. A tal scopo prendiamo (OverBar[x])∈ker S. Allora

T(H)∋T (OverBar[x])=(∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])∈ker (T^★). Ma ker (T^★)⊥T(H).

Quindi T (OverBar[x])=(∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])=0. In particolare (OverBar[x])∈ker T.

Dal fatto che (∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])=0, dal fatto che i (Subscript[v, k]) sono linearmente indipendenti, i coefficienti devono essere tutti nulli: ⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩=0 per ogni k=1,…,n.

Quindi (OverBar[x])∈(((ker T))^⊥). Concludiamo che (OverBar[x])=0. Quindi ker S={0}, cioè S è iniettiva. Per il passo precedente, applicato a S, S è biiettiva. In particolare S(H)=H.

Supponiamo per assurdo che n<m e consideriamo il vettore (Subscript[v, n+1]). Poiché S è suriettiva, deve esistere (OverBar[y])∈H tale che (Subscript[v, n+1])=S(OverBar[y]). Ma allora

1=((‖(Subscript[v, n+1])‖)^2)=⟨(Subscript[v, n+1]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨S(OverBar[y]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨T x-(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]),(Subscript[v, n+1])⟩=
⟨T x,(Subscript[v, n+1])⟩-⟨(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]),(Subscript[v, n+1])⟩=
⟨T x,(Subscript[v, n+1])⟩-(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Overscript[⟨(Subscript[v, k]),(Subscript[v, n+1])⟩, (Overscript[⏞, =0])])=
⟨T x,(Subscript[v, n+1])⟩=⟨ x,(T^★)(Overscript[(Subscript[v, n+1]), (Overscript[⏞, ∈ker (T^★)])])⟩=0.

Assurdo. Concludiamo che n=m. CVD.

Trascrizione della lezione del 25 maggio 2021.

Teorema dell’alternativa di Fredholm, caso generale. Sia H di Hilbert, A:H->H lineare compatto, μ∈ℂ∖{0}. Ci proponiamo di studiare la risolubilità dell’equazione μ x-A x=y per y∈H fissato e incognita x, cioè (μ I-A)x=y. Allora ci sono due alternative:

Il teorema esclude una terza alternativa concepibile, cioè che μ I-A sia iniettiva (μ non è autovalore) però non suriettiva.

La dimostrazione è un corollario del teorema precedente.

Cosa succede al teorema di Fredholm quando A è anche autoaggiunta: se abbiamo la decomposizione spettrale di A, possiamo risolvere l’equazione (μ I-A)x=y esplicitamente, sia nel caso che μ sia autovalore che non.

Operatore nucleo integrale

Abbozzo di una applicazione della teoria precedente. Finora abbiamo fatto tutto in astratto.

Definizione di operatore nucleo integrale. Sia dato un intervallo compatto [a,b] e una funzione K:[a,b]×[a,b]->ℂ, detta nucleo integrale. Chiameremo operatore nucleo integrale associato al nucleo K l’operatore (Subscript[A, K]) che associa a una f:[a,b]->ℂ l’oggetto seguente:

((Subscript[A, K])f)(x):=(∫_a^b)K(x,y)f(y)dy per x∈[a,b], qualora abbia senso.

Esempio. Abbiamo già incontrato l’operatore integrale che associa a f:[a,b]->ℝ la funzione integrale F(x):=(∫_a^x)f(t)dt. Questa si può riscrivere come operatore nucleo integrale, introducento il triangolo T:={(x,y):a≤y≤x≤b}, ponendo K=(Subscript[χ, T]), la funzione caratteristica del triangolo (1 sul triangolo e zero altrove)

((Subscript[A, K])f)(x)=(∫_a^b)K(x,y)f(y)dy=(∫_a^b)(Subscript[χ, T])(x,y)f(y)dy=(∫_a^x)(Subscript[χ, T])(x,y)f(y)dy=(∫_a^x)1f(y)dy
=(∫_a^x)f(y)dy.

Osserviamo che questo nucleo integrale K=(Subscript[χ, T]) non è continuo sul quadrato.

Ci poniamo il problema di quando ha senso (∫_a^b)K(x,y)f(y)dy.

Primo problema è la misurabilità secondo Lebesgue delle funzioni y↦K(x,y)f(y). Basti dire che se K è misurabile secondo Lebesgue sul quadrato [a,b]×[a,b], allora per quasi ogni x la funzione y↦K(x,y)f(y) è misurabile.

Per cominciare ambientiamo il problema in (L^2), che è di Hilbert:

Proposizione. Se K∈(L^2)([a,b]×[a,b]), allora (Subscript[A, K]) è un’applicazione lineare compatta da (L^2)([a,b]) in sé. Inoltre ‖(Subscript[A, K])‖≤(Subscript[‖K‖, (L^2)]). Per quanto riguarda l’aggiunta hilbertiana di (Subscript[A, K]), si ha che (Subscript[A, K]^★)=(Subscript[A, (K^★)]), dove (K^★)(x,y):=(OverBar[K(y,x)]). Inoltre (Subscript[A, K]) è autoaggiunto se e solo se (K^★)≡K quasi ovunque.

Dimostrazione. Prendiamo f∈(L^2)([a,b]). Condizione perché abbia senso l’integrale (∫_a^b)K(x,y)f(y)dy, per x fissato, è che (∫_a^b)|K(x,y)f(y)|dy<+∞. Questo non è detto che sia vero per ogni x, però è vero per quasi ogni x:

(∫_a^b)|(∫_a^b)|K(x,y)f(y)|dy|dx=(∫_a^b)(∫_a^b)|K(x,y)f(y)|dydx=(∫_a^b)(∫_a^b)|K(x,y)||f(y)|dydx≤
((((∫_a^b)(∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dydx))^(1/2))((((∫_a^b)(∫_a^b)((|f(y)|)^2)dydx))^(1/2))=
(Subscript[‖K‖, 2])((((∫_a^b)((∫_a^b)((|f(y)|)^2)dx)dy))^(1/2))=(Subscript[‖K‖, 2])((((∫_a^b)(((|f(y)|)^2)(∫_a^b)1dx)dy))^(1/2))=
(Subscript[‖K‖, 2])((((b-a)(∫_a^b)(((|f(y)|)^2))dy))^(1/2))=(Sqrt[b-a])(Subscript[‖K‖, 2])(Subscript[‖f‖, 2])<+∞.

Per il teorema di Fubini-Tonelli, per quasi ogni x∈[a,b] la funzione y↦K(x,y)f(y) è in (L^1)([a,b]) e quindi ((Subscript[A, K])f)(x) è ben definito. È ovvio che l’operatore f↦(Subscript[A, K])f è lineare.

Stimiamo la norma in (L^2)([a,b]) di (Subscript[A, K])f:

(Subscript[‖(Subscript[A, K])f‖, 2]^2)=(∫_a^b)((|(Subscript[A, K])f(x)|)^2)dx=(∫_a^b)((|(∫_a^b)K(x,y)f(y)dy|)^2)dx≤
(∫_a^b)((((∫_a^b)|K(x,y)f(y)|dy))^2)dx≤(∫_a^b)(((((((∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dy))^(1/2))((((∫_a^b)((|f(y)|)^2)dy))^(1/2))))^2)dx=
(∫_a^b)(((((((∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dy))^(1/2))(Subscript[‖f‖, 2])))^2)dx=(Subscript[‖f‖, 2]^2)(∫_a^b)(((((((∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dy))^(1/2))))^2)dx=
(Subscript[‖f‖, 2]^2)(∫_a^b)(∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dydx=(Subscript[‖f‖, 2]^2)(Subscript[‖K‖, 2]^2).

Estraendo le radici quadrate abbiamo che (Subscript[‖(Subscript[A, K])f‖, 2])≤(Subscript[‖f‖, 2])(Subscript[‖K‖, 2]). Quindi la norma operatoriale di (Subscript[A, K]) è ≤ della norma in (L^2) di K.

L’operatore che manda K in (Subscript[A, K]) è a sua volta lineare continuo da (L^2)([a,b]×[a,b]) in ℒ((L^2)([a,b]),(L^2)([a,b])).

Calcoliamo esplicitamente (Subscript[A, K])f quando K è la funzione caratteristica di un sottorettangolo [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]×[(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]⊆[a,b]×[a,b]:

(Subscript[A, K])f(x)=(∫_a^b)K(x,y)f(y)dy=(∫_a^b)(Subscript[χ,  [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]])(x)(Subscript[χ, [(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]])(y)f(y)dy=
(Subscript[χ,  [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]])(x)(∫_a^b)(Subscript[χ, [(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]])(y)f(y)dy

Quindi (Subscript[A, K])f è un multiplo scalare della funzione caratteristica di [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]. L’immagine di (Subscript[A, K]) ha dimensione 1.

Più in generale, se K è una funzione a gradino bidimensionale, cioè è una combinazione lineare finita di funzioni caratteristiche di rettangoli, allora (Subscript[A, K])f è una combinazione lineare finita delle funzioni caratteristiche delle basi dei rettangoli, cioè (Subscript[A, K]) ha rango finito, quindi è un operatore compatto da (L^2)([a,b]) in sé.

Ricordiamoche che l’insieme delle funzioni a gradino bidimensionali è denso in (L^2)([a,b]×[a,b]). Se prendiamo K∈(L^2)([a,b]×[a,b]) esiste una successione di funzioni a gradino (Subscript[K, n]) bidimensionali che tendono a K in (L^2). I corrispondenti operatori nucleo integrale convergerano in norma operatoriale al nucleo integrale di K. La convergenza in norma operatoriale conserva la compattezza. Quindi anche (Subscript[A, K]) è compatto.

Il resto per esercizio. CVD.

Gli operatori nucleo integrale si possono ambientare anche fra funzioni continue.

Proposizione. Se K:[a,b]×[a,b]->ℂ è continuo, allora (Subscript[A, K]) è lineare compatta da 𝒞([a,b]) in sé, e anche da (L^2)([a,b]) in 𝒞([a,b]).

Dimostrazione. Si tratta di usare il teorema di Ascoli-Arzelà e l’uniforme continuità di K.

Il problema di Sturm-Liouville

Partiamo da un intervallo compatto [a,b], prendiamo ψ∈(𝒞^1)([a,b]), ϕ∈(𝒞^0)([a,b]) (a valori reali), con ψ(t)>0 per ogni t. Definiamo l’operatore differenziale

L u:=-(ψ u')'+ϕ u=-ψ'u'-ψ u''+ϕ u, per u∈(𝒞^2)([a,b]).

Ci proponiamo di studiare l’equazione differenziale L u=f con f∈(𝒞^0)([a,b]), con problema ai limiti, cioè cercare soluzioni dell’equazione differenziale che verifichino proprietà date nei due istanti diversi a,b. Non è un problema di Cauchy.

L’equazione L u=f si può mettere in forma normale dividendo per ψ (che non si annulla mai):

-ψ'u'-ψ u''+ϕ u=f ⟺ -((ψ')/ψ)u'- u''+(ϕ/ψ) u=(f/ψ) ⟺ u''=-((ψ')/ψ)u'+(ϕ/ψ) u-(f/ψ).

Nelle nostre ipotesi, l’equazione differenziale u''=-((ψ')/ψ)u'+(ϕ/ψ) u-(f/ψ) è lineare non omogenea del secondo ordine in u a coefficienti continui. Si può applicare la teoria generale del problema di Cauchy per le equazioni lineari: assegnate u((Subscript[t, 0])),u'((Subscript[t, 0])) arbitrariamente, esiste unica u∈(𝒞^2)([a,b]) che risolve l’equazione differenziale e ha quei dati iniziali, definita su tutto [a,b], soluzione in grande, non è solo locale. Osserviamo anche che se i dati iniziali sono reali, anche la soluzione è reale (i coefficienti sono per ipotesi reali).

Proposizione. Se u,v∈(𝒞^2)([a,b]) allora

⟨L u,v⟩=⟨ψ u',v'⟩+⟨ϕ u,v⟩+ψ(a)u'(a)(OverBar[v(a)])-ψ(b)u'(b)(OverBar[v(b)]),

dove i prodotti scalari sono in (L^2)([a,b]). Inoltre ⟨L u,v⟩ e ⟨u,L v⟩ differiscono solo per i valori delle fuzioni agli estremi:

⟨L u,v⟩-⟨u,L v⟩=ψ(b)det(({{u(b), (OverBar[v(b)])}, {u'(b), (OverBar[v'(b)])}}))-ψ(a)det(({{u(a), (OverBar[v(a)])}, {u'(a), (OverBar[v'(a)])}})).

Dimostrazione. Integrazione per parti:

⟨L u,v⟩=(∫_a^b)(L u)(t)v(t)dt=(∫_a^b)(-(ψ u')'+ϕ u)v(t)dt=
-(∫_a^b)((ψ u')')v(t)dt+(∫_a^b)(ϕ u)v(t)dt=

Trascrizione della lezione del 28 maggio 2021.

⟨L u,v⟩=(∫_a^b)(L u)(t)(OverBar[v(t)])dt=(∫_a^b)(-(ψ u')'+ϕ u)(OverBar[v(t)])dt=
-(∫_a^b)((ψ u')')(OverBar[v(t)])dt+(∫_a^b)(ϕ u)(OverBar[v(t)])dt=
-(Subscript[[ψ (t)u'(t)(OverBar[v(t)])], t=a]^b)+(∫_a^b)(ψ u')(OverBar[v'(t)])dt+⟨ϕ u,v⟩=
-ψ (b)u'(b)(OverBar[v(b)])+ψ (a)u'(a)(OverBar[v(a)])+⟨ψ u',v'⟩+⟨ϕ u,v⟩.

Il resto per esercizio. CVD.

Corollario. Sia X il sottospazio di (L^2)([a,b]) formato dalle u∈(𝒞^2)([a,b]) per le quali valgono le condizioni al contorno  u(a)=u(b)=0, oppure u'(a)=u'(b)=0. Allora l’operatore L è autoaggiunto, nel senso che ⟨L u,v⟩=⟨u,L v⟩=⟨ψ u',v'⟩+⟨ϕ u,v⟩. Se aggiungiamo l’ipotesi che ϕ≥0, la forma quadratica u↦⟨L u,u⟩ è semidefinita positiva su X.

Ricordiamoci che abbiamo preso ϕ,ψ a valori reali.

Definizione. Chiamiamo wronskiano di due funzioni (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2])∈(𝒞^1)([a,b]) la funzione

W(t)=det(({{(Subscript[u, 1])(t), (Subscript[u, 2])(t)}, {(Subscript[u, 1])'(t), (Subscript[u, 2])'(t)}}))=(Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])'-(Subscript[u, 2])(Subscript[u, 1])'. Chiameremo anche matrice wronskiana la matrice di cui prendiamo il determinante.

Proposizione. Se L (Subscript[u, 1])=0 e L (Subscript[u, 2])=0, e W è il wronskiano di (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]), allora la funzione ψ W è costante su [a,b]. Inoltre le due funzioni (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) sono linearmente dipendenti se e solo se W((Subscript[t, 0]))=0 per almeno un (Subscript[t, 0])∈[a,b].

Dimostrazione. La condizione L (Subscript[u, 1])=0 vuol dire -ψ'(Subscript[u, 1])'-ψ (Subscript[u, 1])''+ϕ (Subscript[u, 1])=0, cioè ψ (Subscript[u, 1])''=-ψ'(Subscript[u, 1])'+ϕ (Subscript[u, 1]), e lo stesso per l’altra funzione ψ (Subscript[u, 2])''=-ψ'(Subscript[u, 2])'+ϕ (Subscript[u, 2]).

Calcoliamo la derivata di ψ W:

(ψ W)'=ψ'W+ψ W'=ψ'W+ψ ((Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])'-(Subscript[u, 2])(Subscript[u, 1])')'=
ψ'W+ψ ((Subscript[u, 1])'(Subscript[u, 2])'+(Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])''-(Subscript[u, 2])'(Subscript[u, 1])'-(Subscript[u, 2])(Subscript[u, 1])'')=
ψ'W+ψ (Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])''-ψ (Subscript[u, 2])(Subscript[u, 1])''=
ψ'W+(Subscript[u, 1]) (-ψ'(Subscript[u, 2])'+ϕ (Subscript[u, 2]))-(Subscript[u, 2]) (-ψ'(Subscript[u, 1])'+ϕ (Subscript[u, 1]))=
ψ'W-(Subscript[u, 1]) ψ'(Subscript[u, 2])'+(Subscript[u, 1])ϕ (Subscript[u, 2])+(Subscript[u, 2]) ψ'(Subscript[u, 1])'-(Subscript[u, 2])ϕ (Subscript[u, 1])=
ψ'W-(Subscript[u, 1]) ψ'(Subscript[u, 2])'+(Subscript[u, 2]) ψ'(Subscript[u, 1])'=
ψ' (W-(Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])'+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 1])')=
ψ' ((Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])'-(Subscript[u, 2])(Subscript[u, 1])'-(Subscript[u, 1])(Subscript[u, 2])'+(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 1])')=0.

Quindi ψ W è costante.

Se (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) sono linearmente dipendenti (cioè esistono costanti (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2]) non entrambe nulle tali che (Subscript[α, 1])(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[α, 2])(Subscript[u, 2])(t)≡0 per ogni t), det(({{(Subscript[u, 1])(t), (Subscript[u, 2])(t)}, {(Subscript[u, 1])'(t), (Subscript[u, 2])'(t)}})) è nullo perché le due colonne sono lineamente dipendenti.

Viceversa, supponiamo che W((Subscript[t, 0]))=0. Questo vuol dire che le due colonne della matrice (({{(Subscript[u, 1])((Subscript[t, 0])), (Subscript[u, 2])((Subscript[t, 0]))}, {(Subscript[u, 1])'((Subscript[t, 0])), (Subscript[u, 2])'((Subscript[t, 0]))}})) sono liearmente dipendenti, cioè una delle due colonne è multipla dell’altra, per esempio (({{(Subscript[u, 2])((Subscript[t, 0]))}, {(Subscript[u, 2])'((Subscript[t, 0]))}}))=α (({{(Subscript[u, 1])((Subscript[t, 0]))}, {(Subscript[u, 1])'((Subscript[t, 0]))}})) per qualche α∈ℂ. Consideriamo le due funzioni (Subscript[u, 2]) e t↦α (Subscript[u, 2]). Entrambe sono soluzioni di L u=0 (equazione omogenea!), e inoltre hanno lo stesso valore e la stessa derivata in (Subscript[t, 0]). Per l’unicità della soluzione del problema di Cauchy assegnati il valore della funzione e della derivata prima nell’istante iniziale (Subscript[t, 0]), abbiamo che (Subscript[u, 2])(t)=α (Subscript[u, 2])(t) per ogni t, e quindi sono linearmente dipendenti. CVD.

Il metodo della variazione delle costanti.

Supponiamo di avere una base del nucleo di L:(𝒞^2)->(𝒞^0), cioè due funzioni (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) linearmente indipendenti tali che L (Subscript[u, 1])=0 e L (Subscript[u, 2])=0. Ogni altra soluzione di L u=0 è una combinazione lineare di (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) (dalla teoria generale delle equazioni differenziali lineari), cioè u=(Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2]), con (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])∈ℂ costanti.

Il problema è di trovare una soluzione dell’equazione non omogenea L u=f, con f∈(𝒞^0). Il metodo della variazione delle costanti arbitrario consiste nel cercare soluzioni della non omogenea della forma u(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])(t). Poiché abbiamo due funzioni (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]) da determinare, abbiamo un certo margine di manovra.

Cominciamo:

u'(t)=(Subscript[c, 1])'(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])'(t)+(Subscript[c, 2])'(t)(Subscript[u, 2])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])'(t)=
((Subscript[c, 1])'(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])'(t)(Subscript[u, 2])(t))+(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])'(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])'(t).

Impongo che la parte in blu sia nulla:

(Subscript[c, 1])'(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])'(t)(Subscript[u, 2])(t)≡0.

Andiamo avanti:

u'(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])'(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])'(t).

Deriviamolo:

u''(t)=(Subscript[c, 1])'(t)(Subscript[u, 1])'(t)+(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])''(t)+(Subscript[c, 2])'(t)(Subscript[u, 2])'(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])''(t)=
(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])''(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])''(t)+(Subscript[c, 1])'(t)(Subscript[u, 1])'(t)+(Subscript[c, 2])'(t)(Subscript[u, 2])'(t).

Devo combinare le varie uguaglianze in modo da ottenere L u=-ψ'u'-ψ u''+ϕ u:

ϕ u=ϕ (Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+ϕ (Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])

-ψ' u'=-ψ'(Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'-ψ'(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])'

-ψ u''=-ψ (Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])''-ψ (Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])''-ψ (Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'-ψ (Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])'

sommiamo membro a membro:

L u=(Subscript[c, 1]) L (Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])L (Subscript[u, 2])-ψ (Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'-ψ (Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])'=
-ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+ (Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])').

Imponiamo che L u=f e otteniamo -ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+ (Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')=f.

Mettiamo insieme le condizioni trovate:

(Subscript[c, 1])'(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])'(t)(Subscript[u, 2])(t)≡0, -ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+ (Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')=f.

Possiamo riscrivere in questa forma:

{({{(Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])=0}, {(Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])'=-f/ψ}})

In forma matriciale:

(({{(Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2])}, {(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 2])'}}))(({{(Subscript[c, 1])'}, {(Subscript[c, 2])'}}))=(({{0}, {-f/ψ}}))

Poiché (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) sono linearmente indipendenti, il wronskiano è non nullo, e la matrice è invertibile:

(({{(Subscript[c, 1])'}, {(Subscript[c, 2])'}}))=(((({{(Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2])}, {(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 2])'}})))^(-1))(({{0}, {-f/ψ}}))=(1/W)(({{(Subscript[u, 2])', -(Subscript[u, 2])}, {-(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 1])}}))(({{0}, {-f/ψ}}))=(1/W)(({{f (Subscript[u, 2])/ψ}, {-(Subscript[u, 1])f/ψ}}))=(f/(ψ W))(({{(Subscript[u, 2])}, {-(Subscript[u, 1])}})).

Cioè, come sistema:

{({{(Subscript[c, 1])'=f (Subscript[u, 2])/(ψ W)}, {(Subscript[c, 2])'=-f (Subscript[u, 1])/(ψ W)}})

I secondi membri sono funzioni note, e per di più ψ W è costante. Possiamo ottenere (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]) come primitive dei secondi membri:

{({{(Subscript[c, 1])(t)=∫f (Subscript[u, 2])/(ψ W)dt}, {(Subscript[c, 2])(t)=∫-f (Subscript[u, 1])/(ψ W)dt}})

Quindi una soluzione dell’equazione non omogenea si può ottenere in questo modo “per quadrature”.

Noi siamo interessati ai problemi ai limiti, per cui ci servono delle soluzioni (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]) che abbiano proprietà utili agli estremi dell’intervallo: (Subscript[c, 1])(a)=0, (Subscript[c, 2])(b)=0. Queste si scrivono così:

{({{(Subscript[c, 1])(t)=(∫_a^t)f (s)(Subscript[u, 2])(s)/(ψ (s)W(s))ds=(1/(ψ W))(∫_a^t)f (s)(Subscript[u, 2])(s)ds}, {(Subscript[c, 2])(t)=(∫_t^b)f(s)(Subscript[u, 1])(s)/(ψ W)ds=(1/(ψ W))(∫_t^b)f (s)(Subscript[u, 1])(s)ds}})

Queste due funzioni vanno sostituite in u(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])(t)

Una cosa che useremo è che

(({{u(a)}, {u'(a)}}))=(Subscript[c, 2])(a)(({{(Subscript[u, 2])(a)}, {(Subscript[u, 2])'(a)}})), (({{u(b)}, {u'(b)}}))=(Subscript[c, 1])(b)(({{(Subscript[u, 1])(b)}, {(Subscript[u, 1])'(b)}})).

Sostituiamo gli integrali nella formula u(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])(t):

u(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])(t)=(Subscript[u, 1])(t)(1/(ψ W))(∫_a^t)f (s)(Subscript[u, 2])(s)ds+(Subscript[u, 2])(t)(1/(ψ W))(∫_t^b) (s)(Subscript[u, 1])(s)ds=
(1/(ψ W))((∫_a^t)f (s)(Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(s)ds+(∫_t^b) f(s)(Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t)ds)=
(1/(ψ W))(∫_a^b)((Subscript[χ, a≤s≤t])(s)f (s)(Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(s)+(Subscript[χ, t≤s≤b])(s)f(s)(Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t))ds=
(1/(ψ W))(∫_a^b)((Subscript[χ, a≤s≤t])(s)(Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(s)+(Subscript[χ, t≤s≤b])(s)(Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t))f (s)ds=
(∫_a^b)(1/(ψ W))((Subscript[χ, a≤s≤t])(s)(Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(s)+(Subscript[χ, t≤s≤b])(s)(Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t))f (s)ds=
(∫_a^b)K(t,s)f (s)ds,

dove si pone K(t,s):=(1/(ψ W))((Subscript[χ, a≤s≤t])(s)(Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(s)+(Subscript[χ, t≤s≤b])(s)(Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t)). Questo è un nucleo integrale.

Abbiamo stabilito che una soluzione dell’equazione non omogenea L u=f si può ottenere come u=(Subscript[A, K])f, dove (Subscript[A, K]) è un operatore nucleo integrale.

Il nucleo si può scrivere in diversi modi:

K(t,s):=(1/(ψ W))((Subscript[χ, a≤s≤t])(s)(Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(su)+(Subscript[χ, t<s≤b])(s)(Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t))=
(((Subscript[u, 1])(max{s,t})(Subscript[u, 2])(min{s,t}))/(ψ W))=({{{, ({{(((Subscript[u, 1])(s)(Subscript[u, 2])(t))/(ψ W)), se t≤s□}, {(((Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(s))/(ψ W)), se t>s.}})}})

Trascrizione della lezione del 1 giugno 2021.

Il nucleo integrale è di classe (𝒞^2) su ciascuno dei due triangoli, sopra e sotto la diagonale, ed è di classe (𝒞^0) sul quadrato. Se (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) sono a valori reali, K(s,t) è pure a valori reali e simmetrica K(t,s)=K(s,t). In particolare, l’operatore (Subscript[A, K]) è autoaggiunto su (L^2)([a,b]).

Esempio. [a,b]=[0,1], ψ≡1, ϕ≡0. L’equazione L u=f diventa -u''=f. Due soluzioni indipendenti dell’omogenea L u=0 sono per esempio (Subscript[u, 1])(t)≡1, (Subscript[u, 2])(t)=t. Il wronskiano vale 1. Il nucleo integrale diventa K(x,t)=min{t,x}. Verificare che effettivamente u=(Subscript[A, K])f, questa u è una soluzione di L u=f.

Proposizione. Le autofunzioni dell’operatore (Subscript[A, K]):(L^2)([a,b])->(L^2)([a,b]) con autovalore λ≠0 sono di classe (𝒞^2) e sono autofunzioni di L:(𝒞^2)->(𝒞^0) con autovalore 1/λ, cioè

(Subscript[A, K])u=λ u => L u=(1/λ)u.

Dimostrazione. Supponiamo che u∈(L^2)([a,b]) sia autofunzione (Subscript[A, K])u=λ u con λ≠0. Poiché il nucleo integrale K è continuo, (Subscript[A, K]) manda (L^2)([a,b]) in (𝒞^0)([a,b]). Ne segue che λ u∈(𝒞^0)([a,b]), e quindi anche u∈(𝒞^0)([a,b]). Ma allora (OverBar[u])=(Subscript[A, K])u è una soluzione di classe (𝒞^2) dell’equazione differenziale non omogenea L (OverBar[u])=u. Ma (Subscript[A, K])u=λ u e quindi (OverBar[u])=λ u. Quindi anche u∈(𝒞^2). Inoltre L (OverBar[u])=u diventa L(λ u)=u, e quindi L u=(1/λ)u, cioè u è autofunzione di L con autovalore 1/λ. CVD.

Il problema ai limiti omogeneo

Finora abbiamo trattato l’operatore differenziale L senza riguardo al problema ai limiti. Ora aggiungiamo condizioni omogenee ai limiti:

{({{L u=f}, {(Subscript[α, 1])u(a)+(Subscript[β, 1])u'(a)=0}, {(Subscript[α, 2])u(b)+(Subscript[β, 2])u'(b)=0}})

con ((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))≠(0,0), ((Subscript[α, 2]),(Subscript[β, 2]))≠(0,0). Per esempio

{({{L u=f}, {u(a)=0}, {u(b)=0}}),    {({{L u=f}, {u'(a)=0}, {u'(b)=0}}) ,  {({{L u=f}, {u(a)=0}, {u'(b)=0}})

Per studiare il problema introduciamo delle notazioni: (Subscript[B, a]),(Subscript[B, b]):(𝒞^2)([a,b])->ℂ sono definite da (Subscript[B, a])u:=(Subscript[α, 1])u(a)+(Subscript[β, 1])u'(a), (Subscript[B, b])u:=(Subscript[α, 2])u(b)+(Subscript[β, 2])u'(b).

Ci interessano anche le restrizioni di (Subscript[B, a]),(Subscript[B, b]) al nucleo di L, e le indicheremo con (Subscript[ℬ, a])=(Subscript[B, a])(Subscript[|, ker L]), (Subscript[ℬ, b])=(Subscript[B, b])(Subscript[|, ker L]).

Ci interessano anche B u:=((Subscript[B, a])u,(Subscript[B, b])u), ℬ u:=((Subscript[ℬ, a])u,(Subscript[ℬ, b])u). Questi hanno valori in (ℂ^2).

Il caso non degenere

Proposizione. Si equivalgono le tre condizioni seguenti:

Dimostrazione. Supponiamo che valga 1. Se il problema  {({{L u=f}, {(Subscript[B, a])u=0}, {(Subscript[B, b])u=0}}) ha unica soluzione per ogni f, questo vale in particolare quando f≡0. Quindi vale 2 (ovvio).

Vicevesa supponiamo che valga la 2. Osserviamo che l’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale L u=f è un sottospazio affine di (𝒞^2), (Subscript[A, K])f è un suo elemento, e due soluzioni differiscono per un elemento di ker L, il quale ha dimensione 2. Restringendosi al nucleo di L, ci interessa il nucleo di ℬ u:=((Subscript[ℬ, a])u,(Subscript[ℬ, b])u), e questo operatore ℬ lavora fra due spazi vettoriali di dimensione 2.

Il nucleo di (Subscript[ℬ, a]) ha dimensione 1, ed è formato dai multipli della soluzione del problema di Cauchy {({{L u=0}, {u(a)=-(Subscript[β, 1])}, {u'(a)=(Subscript[α, 1])}}) che è non identicamente nulla.

Analogamente il nucleo di (Subscript[ℬ, b]) ha dimensione 1, ed è formato dai multipli della soluzione del problema di Cauchy {({{L u=0}, {u(b)=-(Subscript[β, 2])}, {u'(b)=(Subscript[α, 2])}}) che è non identicamente nulla.

La condizione 2 vuol dire che ℬ:ker L->(ℂ^2) è iniettivo. Ma va da dimensione 2 in dimensione 2, e quindi è biiettivo.

Prendiamo f∈(𝒞^0). Consideriamo (OverBar[u])=(Subscript[A, K])f. Per costruzione (OverBar[u]) è una soluzione di L (OverBar[u])=f, però non è detto che verifichi le condizioni ai limiti. Però ad (OverBar[u]) possiamo aggiungere un elemento di ker L. Ci conviene prendere (OverTilde[u]):=(OverBar[u])-(ℬ^(-1))B (OverBar[u]). Abbiamo L (OverTilde[u])=f, e inoltre

B (OverTilde[u])=B((OverBar[u])-(ℬ^(-1))B (OverBar[u]))=B(OverBar[u])-B (ℬ^(-1))B (OverBar[u])=B(OverBar[u])-ℬ (ℬ^(-1))B (OverBar[u])=B(OverBar[u])-B (OverBar[u])=0.

Quindi (OverTilde[u]) risolve {({{L (OverTilde[u])=f}, {(Subscript[B, a])(OverTilde[u])=0}, {(Subscript[B, b])(OverTilde[u])=0}}), e la soluzione è unica perché due soluzioni differiscono per un elemento di  ker ℬ={0}.

Supponiamo ora che valga la 2, cioè che ker ℬ={0}, cioè che ker (Subscript[ℬ, a])⋂ker (Subscript[ℬ, b])={0}. Dimostriamo che vale la 3.

Notiamo che ker (Subscript[ℬ, a]) e ker (Subscript[ℬ, b]) hanno dimensione 1 ciascuno. Prendiamo due vettori non nulli (Subscript[u, 2])∈ker (Subscript[ℬ, a]), (Subscript[u, 1])∈ker (Subscript[ℬ, b]). Questi sono linermente indipendenti. Usiamo questi due per formare il nucleo integrale K. Sappiamo che u=(Subscript[A, K])f risolve L u=f.

Usiamo le relazioni

(({{u(a)}, {u'(a)}}))=(Subscript[c, 2])(a)(({{(Subscript[u, 2])(a)}, {(Subscript[u, 2])'(a)}})), (({{u(b)}, {u'(b)}}))=(Subscript[c, 1])(b)(({{(Subscript[u, 1])(b)}, {(Subscript[u, 1])'(b)}})).

Calcoliamo

(Subscript[B, a])u=(Subscript[α, 1])u(a)+(Subscript[β, 1])u'(a)=(({{(Subscript[α, 1]), (Subscript[β, 1])}}))(({{u(a)}, {u'(a)}}))=(({{(Subscript[α, 1]), (Subscript[β, 1])}}))(Subscript[c, 2])(a)(({{(Subscript[u, 2])(a)}, {(Subscript[u, 2])'(a)}}))=
(Subscript[c, 2])(a)(({{(Subscript[α, 1]), (Subscript[β, 1])}}))(({{(Subscript[u, 2])(a)}, {(Subscript[u, 2])'(a)}}))=(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[B, a])(Subscript[u, 2])=(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[ℬ, a])(Subscript[u, 2])=(Subscript[c, 2])(a)*0=0,

(Subscript[B, b])u=(Subscript[α, 2])u(b)+(Subscript[β, 2])u'(b)=(({{(Subscript[α, 2]), (Subscript[β, 2])}}))(({{u(b)}, {u'(b)}}))=(({{(Subscript[α, 2]), (Subscript[β, 2])}}))(Subscript[c, 1])(b)(({{(Subscript[u, 1])(b)}, {(Subscript[u, 1])'(b)}}))=
(Subscript[c, 1])(b)(({{(Subscript[α, 2]), (Subscript[β, 2])}}))(({{(Subscript[u, 1])(b)}, {(Subscript[u, 1])'(b)}}))=(Subscript[c, 1])(b)(Subscript[B, b])(Subscript[u, 1])=(Subscript[c, 1])(b)(Subscript[ℬ, b])(Subscript[u, 1])=(Subscript[c, 1])(b)*0=0,

e quindi sono verificate anche le condizioni ai limiti.

Supponiamo che valga la 3. In particolare esistono due soluzioni (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) linearmente indipendenti di  {({{L (Subscript[u, 1])=0}, {(Subscript[B, b])(Subscript[u, 1])=0}}), {({{L (Subscript[u, 2])=0}, {(Subscript[B, a])(Subscript[u, 2])=0}}). Questo vuol dire che (Subscript[u, 2])∈ker (Subscript[ℬ, a]) e (Subscript[u, 1])∈ker (Subscript[ℬ, b]). Quindi ker (Subscript[ℬ, a])⋂ker (Subscript[ℬ, b])={0}, e quindi vale la condizione 2. CVD.

Trascrizione della lezione del 4 giugno 2021.

Trasformata di Fourier

Seguiremo la trattazione di Rudin. In particolare, invece di usare la misura di Lebesgue su ℝ, useremo la misura “normalizzata”, che è la misura di Lebesgue divisa per (Sqrt[2π]), perché questo semplifica diverse formule. In pratica faremo integrali del tipo

(∫_E)f(x)((dx)/(Sqrt[2π]))=(1/(Sqrt[2π]))(∫_E)f(x)dx. Quando parleremo di norma in (L^p), l’integrale sarà fatto rispetto alla misura normalizzata.

Richiami sul prodotto di convoluzione.

Definizione: date f,g:ℝ->ℂ, definiamo prodotto di convoluzione di f,g, indicata con f*g la funzione (f*g)(x):=(∫_ℝ)f(x-y)g(y)((dy)/(Sqrt[2π])), quando l’integrale ha senso.

Proposizione. Siano f,g∈(L^1)(ℝ). Allora per quasi ogni x∈ℝ ha senso ed è finito

(f*g)(x):=(∫_ℝ)f(x-y)g(y)((dy)/(Sqrt[2π])), cioè l’integrando è in (L^1)(ℝ) e si ha anche f*g∈(L^1)(ℝ), f*g=g*f (il prodotto di convoluzione è commutativo),

(∫_ℝ)(f*g)(x)((dx)/(Sqrt[2π]))=((∫_ℝ)f(x)((dx)/(Sqrt[2π])))((∫_ℝ)g(x)((dx)/(Sqrt[2π]))).

Se p,q∈[1,+∞] sono esponenti coniugati e f∈(L^p)(ℝ) e g∈(L^q)(ℝ), allora l’integrando y↦f(x-y)g(y) è in in (L^1)(ℝ) per ogni x∈ℝ, f*g∈(L^∞)(ℝ), e vale ancora la commutatività f*g=g*f.

Definizione. Data f∈(L^1)(ℝ), a valori complessi, chiameremo trasformata di Fourier di f la funzione (OverHat[f]):ℝ->ℂ data dalla formula (OverHat[f])(t):=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])).

Nota: esistono diverse varianti della definizione della trasformata di Fourier. Questa è la variante usata da Rudin. In altre trattazione si scrive (OverHat[f])(ω):=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i ω x))((dx)/(Sqrt[2π])), e ω è una frequenza, si fa una distinzione fra spazio dei tempi spazio delle frequenze.

Osserviamo che l’integrale è definito per ogni t, in quanto

(∫_ℝ)|f(x)(e^(-i t x))|((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)|f(x)||(e^(-i t x))|((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)|f(x)|((dx)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[‖f‖, 1])<+∞.

In particolare (OverHat[f])∈(L^∞), perché |(OverHat[f])(t)|=|(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))|≤(∫_ℝ)|f(x)(e^(-i t x))|((dx)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[‖f‖, 1]). In particolare,  (Subscript[‖(OverHat[f])‖, ∞])≤(Subscript[‖f‖, 1]). Inoltre l’applicazione f↦(OverHat[f]) è lineare e continua (L^1)(ℝ)->(L^∞)(ℝ). (Non è suriettiva).

Esempio. f=(Subscript[χ, [0,1]]). Calcoliamo (OverHat[f]):

(OverHat[f])(t)=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(Subscript[χ, [0,1]])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(1/(Sqrt[2π]))(∫_ℝ)(Subscript[χ, [0,1]])(x)(e^(-i t x))dx=
(1/(Sqrt[2π]))(∫_0^1)(e^(-i t x))dx=(Subscript[(1/(Sqrt[2π]))[((e^(-i t x))/(-i t))], x=0]^1)=(1/(Sqrt[2π]))(((e^(-i t 1))/(-i t))-((e^(-i t 0))/(-i t)))=
(1/(Sqrt[2π]))(((e^(-i t))/(-i t))-(1/(-i t)))=-(1/(i t(Sqrt[2π])))((e^(-i t))-1)

per t≠0. Per t=0 viene (OverHat[f])(0)=(1/(Sqrt[2π])). Esercizio: (OverHat[f])(t) è continua su tutto ℝ.

Prime proprietà elementari della trasformata di Fourier in (L^1).

Teorema. Supponiamo che f∈(L^1)(ℝ), α,λ∈ℝ. Allora

Dimostrazione. Poniamo g(x):=f(x)(e^(i x α)), anche g∈(L^1) e calcoliamo

(OverHat[g])(t)=(∫_ℝ)g(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)f(x)(e^(i x α))(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)f(x)(e^(i x α-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)f(x)(e^(i x (α-t)))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i (t-α)x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(OverHat[f])(t-α).

Poniamo g(x):=f(x-α), anche g∈(L^1)(ℝ), e calcoliamo la trasformata di Fourier: cambio di variabile x-α=y, dx=dy

(OverHat[g])(t)=(∫_ℝ)g(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-α)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞+α)^(+∞+α))f(y)(e^(-i t (y+α)))((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i t (y+α)))((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i t y))(e^(-i t α))((dy)/(Sqrt[2π]))=(e^(-i t α))(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i t y))((dy)/(Sqrt[2π]))=
(e^(-i t α))(OverHat[f])(t).

Prendiamo f,g∈(L^1)(ℝ) e poniamo h:=f*g. Sappiamo che  f*g∈(L^1)(ℝ) e quindi possiamo calcolare la sua trasformata di Fourier: cambio di variabile x-y=u, dx=du

(OverHat[h])(t)=(∫_ℝ)h(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(f*g)(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_ℝ)f(x-y)g(y)((dy)/(Sqrt[2π])))(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)((∫_ℝ)f(x-y)g(y)(e^(-i t x))((dy)/(Sqrt[2π])))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_ℝ)f(x-y)g(y)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)g(y)((∫_ℝ)f(x-y)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)g(y)((∫_ℝ)f(u)(e^(-i t (u+y)))((d u)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)g(y)((∫_ℝ)f(u)(e^(-i t u))(e^(-i t y))((d u)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)g(y)(e^(-i t y))((∫_ℝ)f(u)(e^(-i t u))((d u)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=
((∫_ℝ)f(u)(e^(-i t u))((d u)/(Sqrt[2π])))(∫_ℝ)g(y)(e^(-i t y))((dy)/(Sqrt[2π]))=
(OverHat[f])(t)(OverHat[g])(t).

Poniamo  g(x):=(OverBar[f(-x)]). Anche g∈(L^1) e possiamo calcolare, col cambio di variabile y=-x, dy=-dx

(OverHat[g])(t)=(∫_ℝ)g(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(OverBar[f(-x)])(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(OverBar[f(-x)])(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(+∞)^(-∞))(OverBar[f(y)])(e^(-i t (-y)))((-d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(OverBar[f(y)])(e^(i t y))((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(OverBar[f(y)(e^(-i t y))])((d y)/(Sqrt[2π]))=(OverBar[(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i t y))((d y)/(Sqrt[2π]))])=(OverBar[(OverHat[f])(t)]).

Poniamo g(x):=f(x/λ) con λ>0. Anche questa g sta in (L^1)(ℝ), e possiamo calcolare: cambio di variabile x/λ=y, dx=λdy

(OverHat[g])(t)=(∫_ℝ)g(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x/λ)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i t λ y))((λdy)/(Sqrt[2π]))=
λ(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i (t λ) y))((dy)/(Sqrt[2π]))=λ (OverHat[f])(t λ).

Infine poniamo g(x):=-i x f(x), e supponiamo che g∈(L^1)(ℝ). Calcoliamo la derivata della trasformata di Fourier di f come limite del rapporto incrementale:

(OverHat[f])'((Subscript[t, 0]))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(((OverHat[f])(t)-(OverHat[f])((Subscript[t, 0])))/(t-(Subscript[t, 0])))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(1/(t-(Subscript[t, 0])))((∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))-(∫_ℝ)f(x)(e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((dx)/(Sqrt[2π])))=
(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(1/(t-(Subscript[t, 0])))((∫_ℝ)(f(x)(e^(-i t x))-f(x)(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))((dx)/(Sqrt[2π])))=
(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(1/(t-(Subscript[t, 0])))((∫_ℝ)f(x)((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))((dx)/(Sqrt[2π])))=
(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_ℝ)f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((dx)/(Sqrt[2π]))

Verifichiamo che si può applicare il teorema della convergenza dominata: dobbiamo maggiorare il valore assoluto dell’integrando con una funzione di (L^1) che non dipenda dal parametro t rispetto a cui si fa il limite:

|f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))|=|f(x)||(((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0])))|=((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x))|=
((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(∫_(Subscript[t, 0])^t)-i x (e^(-i u x))du|≤((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(∫_(Subscript[t, 0])^t)|-i x (e^(-i u x))|du|=((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(∫_(Subscript[t, 0])^t)|x|du|=
((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|x||t-(Subscript[t, 0])|=|f(x)||x|=|g(x)|,

l’ultimo membro non dipende da t ed è in (L^1)(ℝ) per ipotesi. Quindi si può passare al limite sotto al segno di integrale:

(OverHat[f])'((Subscript[t, 0]))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_ℝ)f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(lim_(t->(Subscript[t, 0])))f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)f(x)(lim_(t->(Subscript[t, 0])))((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)f(x)(-i x (e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)-i x f(x) (e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ) g(x) (e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(OverHat[g])((Subscript[t, 0])).

(OverHat[f])(t):=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])).

Esercizio. Se f,f'∈(L^1), dimostrare che (OverHat[f'])(t)=i t (OverHat[f])(t).

Esercizio. Se f∈(L^1) e inoltre f(x)=(OverBar[f(-x)]) per ogni x, allora (OverHat[f]) è a valori reali. In particolare, se f è a valori reali e pari, allora la trasformata di Fourier ha valori reali.

Trascrizione della lezione dell’8 giugno 2021.

Definizione della trasformata di Fourier di una f∈(L^1)(ℝ):

(OverHat[f])(t):=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])).

Indicheremo con (Subscript[f, y])(x)=f(x-y) la traslata.

Teorema (continuità in (L^p) delle traslate). Se 1≤p<+∞ e f∈(L^p)(ℝ) allora l’applicazione y↦(Subscript[f, y]) è uniformemente continua da ℝ in (L^p)(ℝ).

Dimostrazione. Sia ϵ>0. Sappiamo che (Subscript[𝒞, c])(ℝ) (insieme delle funzioni continue ℝ->ℂ a supporto compatto) è denso in (L^p)(ℝ). Quindi esiste una g∈(Subscript[𝒞, c])(ℝ) con supporto contenuto in un qualche intervallo [-A,A] tale che (Subscript[‖f-g‖, p])<ϵ. La funzione g è uniformemente continua su tutto ℝ. Quindi esiste un δ>0 (possiamo supporre δ<A)

tale che |s-t|<δ=>|g(s)-g(t)|<(((ϵ((Sqrt[2π])))^(1/p))/(((3A))^(1/p))) per ogni s,t.

Prendiamo s,t tali che |s-t|<δ. Allora

(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p]^p)=(∫_ℝ)((|(Subscript[g, s])(x)-(Subscript[g, t])(x)|)^p)((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((|g(x-s)-g(x-t)|)^p)((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-A+min{s,t})^(A+max{s,t}))((|g(x-s)-g(x-t)|)^p)((dx)/(Sqrt[2π]))≤(∫_(-A+min{s,t})^(A+max{s,t}))((|(((ϵ((Sqrt[2π])))^(1/p))/(((3A))^(1/p)))|)^p)((dx)/(Sqrt[2π]))=
((ϵ^p)/(3A))(A+max{s,t}-(-A+min{s,t}))=((ϵ^p)/(3A))(2A+|s-t|)<
((ϵ^p)/(3A))(2A+δ)<((ϵ^p)/(3A))(3A)=(ϵ^p).

Quindi |s-t|<δ=>(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p])<ϵ. Osserviamo che le norme in (L^p)(ℝ) sono invarianti per traslazione (perché la misura di Lebesgue è invariante per traslazione).

Torniamo alla f∈(L^p)(ℝ) e stimiamo la distanza fra le traslate se |s-t|<δ:

(Subscript[‖(Subscript[f, s])-(Subscript[f, t])‖, p])≤(Subscript[‖(Subscript[f, s])-(Subscript[g, s])‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[g, t])-(Subscript[f, t])‖, p])≤(Subscript[‖(Subscript[(f-g), s])‖, p])+ϵ+(Subscript[‖(Subscript[(g-f), t])‖, p])=
(Subscript[‖f-g‖, p])+ϵ+(Subscript[‖g-f‖, p])<3ϵ.

CVD.

Introduciamo (Subscript[𝒞, 0])(ℝ), che è l’insieme delle funzioni ℝ->ℂ continue e che tendono a zero all’infinito. Questo è un sottospazio vettoriale chiuso di (Subscript[𝒞, b])(ℝ) (continue e limitate) con la norma del sup.

Teorema. Se f∈(L^1)(ℝ) allora (OverHat[f])∈(Subscript[𝒞, 0])(ℝ) e (Subscript[‖(OverHat[f])‖, ∞])≤(Subscript[‖f‖, 1]).

Dimostrazione. La disuguaglianza (Subscript[‖(OverHat[f])‖, ∞])≤(Subscript[‖f‖, 1]) l’abbiamo già vista ed è banale. La continuità è un poco meno banale: dobbiamo calcolare (lim_(t->(Subscript[t, 0])))(OverHat[f])(t) e dimostrare che è uguale a (OverHat[f])((Subscript[t, 0])):

(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(OverHat[f])(t)=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])). Si può passare al limite sotto al segno di integrale? Facilmente sì, grazie al teorema della convergenza dominata:

|f(x)(e^(-i t x))|=|f(x)|, che non dipende da t ed è in (L^1) per ipotesi. Quindi

(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(OverHat[f])(t)=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(lim_(t->(Subscript[t, 0])))f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(OverHat[f])((Subscript[t, 0])).

Rimane da dimostrare che (OverHat[f])(t) tende a zero per t->±∞. Questo è meno facile: moltiplichiamo la definizione di (OverHat[f])(t) per -(e^(-i π))=1, con cambio di variabile y=x+π/t, dx=dy (t≠0)

(OverHat[f])(t)=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=-(e^(-i π))(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=-(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))(e^(-i π))((dx)/(Sqrt[2π]))=
-(∫_ℝ)f(x)(e^(-i (t x+π)))((dx)/(Sqrt[2π]))=-(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t(x+π/t)))((dx)/(Sqrt[2π]))=-(∫_ℝ)f(y-π/t)(e^(-i t y))((dy)/(Sqrt[2π]))=
-(∫_ℝ)f(x-π/t)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=-(∫_ℝ)(Subscript[f, π/t])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])).

Sommiamo membro a membro questa uguaglianza con (OverHat[f])(t)=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])):

2(OverHat[f])(t)=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))-(∫_ℝ)(Subscript[f, π/t])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(f(x)-(Subscript[f, π/t])(x))(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])).

Prendiamo il valore assoluto:

|2(OverHat[f])(t)|≤|(∫_ℝ)(f(x)-(Subscript[f, π/t])(x))(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))|≤(∫_ℝ)|(f(x)-(Subscript[f, π/t])(x))(e^(-i t x))|((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)|f(x)-(Subscript[f, π/t])(x)|((dx)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[‖f-(Subscript[f, π/t])‖, 1])

Passando al limite per t->∞ l’ultimo membro tende a ‖f-(Subscript[f, 0])‖=0. CVD.

L’applicazione f↦(OverHat[f]) è lineare continua (L^1)(ℝ) in (Subscript[𝒞, 0])(ℝ) con la norma del sup.

Notare che non manda (L^1) in (L^1). Dato  f=(Subscript[χ, [0,1]]), si verifica che (OverHat[f])∉(L^1)(ℝ).

Per proseguire lo studio introduciamo due famiglie di funzioni con proprietà utili alle dimostrazioni. Si riesce a calcolare la trasfomata di Fourier in modo esplicito. Purtroppo sono poche le funzioni elementari f:ℝ->ℂ per le quali (OverHat[f])(t)=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])) si può calcolare in modo elementare usando il teorema fondamentale del calcolo.

La prima famiglia è (Subscript[H, λ])(t):=(e^(-|λ t|)) per t∈ℝ, λ>0.

La seconda è (Subscript[h, λ])(x)=(∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[(OverHat[H]), λ])(-x).

La (Subscript[h, λ]) si può calcolare esplicitamente:

(Subscript[h, λ])(x)=(∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(e^(-|λ t|))(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(e^(i t x-|λ t|))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^0)(e^(i t x-|λ t|))((dt)/(Sqrt[2π]))+(∫_0^(+∞))(e^(i t x-|λ t|))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^0)(e^(i t x+λ t))((dt)/(Sqrt[2π]))+(∫_0^(+∞))(e^(i t x-λ t))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^0)(e^((i x+λ) t))((dt)/(Sqrt[2π]))+(∫_0^(+∞))(e^((i x-λ) t))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(1/(Sqrt[2π]))((Subscript[[((e^((i x+λ) t))/(i x+λ))], t=-∞]^(t=0))+(Subscript[[((e^((i x-λ) t))/(i x-λ))], t=0]^(t=+∞)))=
(1/(Sqrt[2π]))((1/(i x+λ))-0+0-(1/(i x-λ)))=
(1/(Sqrt[2π]))((i x-λ-(i x+λ))/((i x+λ)(i x-λ)))=(1/(Sqrt[2π]))((-2λ)/(-(x^2)-(λ^2)))=(1/(Sqrt[2π]))((2λ)/((x^2)+(λ^2)))=
(Sqrt[(2/π)])(λ/((x^2)+(λ^2))).

Quindi (Subscript[h, λ]) ha valori reali, è una funzione pari, ha una simmetria di riscalamento:

(Subscript[h, λ])(x)=(Sqrt[(2/π)])(λ/((x^2)+(λ^2)))=(Sqrt[(2/π)])((1/λ)/((((x/λ))^2)+1))=(1/λ)(Sqrt[(2/π)])(1/((((x/λ))^2)+1))=(1/λ)(Subscript[h, 1])(x/λ).

Queste (Subscript[h, λ]) hanno integrale 1: x/λ=y, dx=λ dy

(∫_ℝ)(Subscript[h, λ])(x)((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(1/λ)(Subscript[h, 1])(x/λ)((dx)/(Sqrt[2π]))=(1/λ)(∫_ℝ)(Subscript[h, 1])(x/λ)((dx)/(Sqrt[2π]))=(1/λ)(∫_ℝ)(Subscript[h, 1])(y)((λ dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)(Subscript[h, 1])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))=(1/(Sqrt[2π]))(∫_ℝ)(Sqrt[(2/π)])(1/((y^2)+1))dy=(1/π)(∫_ℝ)(1/((y^2)+1))dy=
(Subscript[(1/π)[arctan y], -∞]^(+∞))=(1/π)((π/2)-(((-π)/2)))=1.

Ci interesserà considerare la misura su ℝ che ha densità (Subscript[h, λ]), cioè (Subscript[μ, λ])(E)=(∫_E)(Subscript[h, λ])(x)((dx)/(Sqrt[2π])). Questa è una misura di probabilità, perché (Subscript[μ, λ])(ℝ)=1. In calcolo delle probabilità è chiamata distribuzione di Cauchy. Useremo questo fatto perché ci servirà la disuguaglianza di Jensen:

ϕ((∫_X)fdμ)≤(∫_X)ϕ ◦ fdμ, vale quando μ è una misura di probabilità, f:X->ℝ in (L^1)(μ) a valori reali, e ϕ:ℝ->ℝ è convessa:

ϕ((∫_ℝ)f(x)(Subscript[h, λ])(x)((dx)/(Sqrt[2π])))≤(∫_X)ϕ ( f(x))(Subscript[h, λ])(x)((dx)/(Sqrt[2π])), valida se f∈(L^1)((Subscript[μ, λ])) a valori reali e e ϕ:ℝ->ℝ è convessa.

Studiamo le proprietà di convergenza delle mollificate (f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(Subscript[h, λ])(y)((dy)/(Sqrt[2π])) per λ->(SuperPlus[0]).

Proposizione. Riscrittura delle mollificate in termini di (Subscript[H, λ]):

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π])), valido se f∈(L^1)(ℝ) e per ogni x∈ℝ.

Dimostrazione. Poiché f∈(L^1) e (Subscript[h, λ])∈(L^∞) la convoluzione è definita puntualmente per ogni x. Usiamo le definizioni:

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(Subscript[h, λ])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)((∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t y))((dt)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)f(x-y)(e^(i t y))((dt)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π])).

Si può cambiare l’ordine di integrazione? Verifichiamo:

(∫_(ℝ^2))|(Subscript[H, λ])(t)f(x-y)(e^(i t y))|dt dy=(∫_(ℝ×ℝ))(e^(-|λ t|))|f(x-y)|dt dy=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)(e^(-|λ t|))|f(x-y)|dy)dt=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)|f(x-y)|dy)(e^(-|λ t|))dt=
((∫_ℝ)|f(x-y)|dy)((∫_(-∞)^(+∞))(e^(-|λ t|))dt)=(Subscript[‖f‖, 1])2/λ<+∞.

Possiamo cambiare l’ordine di integrazione: cdv x-y=u, dy=-du

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)f(x-y)(e^(i t y))((dt)/(Sqrt[2π])))((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)f(x-y)(e^(i t y))((dy)/(Sqrt[2π])))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(e^(i t y))((dy)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(+∞)^(-∞))f(u)(e^(i t (x-u)))((-du)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(+∞)^(-∞))f(u)(e^(i t x))(e^(-i t u))((-du)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(-i t u))((du)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(OverHat[f])(t)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π])).

CVD.

Teorema. Se g∈(L^∞)(ℝ) e x è un punto di continuità per g, allora (lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(x)=g(x).

Dimostrazione. Usiamo le proprietà delle mollificatrici: cdv y/λ=s, dy=λ ds

(g*(Subscript[h, λ]))(x)-g(x)=(∫_(-∞)^(+∞))g(x-y)(Subscript[h, λ])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))-g(x)(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(g(x-y)-g(x))(Subscript[h, λ])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(g(x-y)-g(x))(1/λ)(Subscript[h, 1])(y/λ)((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(g(x-λ s)-g(x))(1/λ)(Subscript[h, 1])(s)((λ ds)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(g(x-λ s)-g(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π])).

Vorremmo passare al limite sotto il segno di integrale. Si può perché

|(g(x-λ s)-g(x))(Subscript[h, 1])(s)|≤2(Subscript[‖g‖, ∞])(Subscript[h, 1])(s) che è in (L^1) e non dipende da λ. Quindi

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))((g*(Subscript[h, λ]))(x)-g(x))=(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(∫_(-∞)^(+∞))(g(x-λ s)-g(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g(x-λ s)-g(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g(x-0)-g(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=0.

CVD.

Teorema. Sia 1≤p<+∞ e f∈(L^p)(ℝ). Allora f*(Subscript[h, λ])∈(L^p)(ℝ) e (Subscript[‖f-f*(Subscript[h, λ])‖, p])->0 per λ->(SuperPlus[0]).

Dimostrazione. Osserviamo che (Subscript[h, λ]) appartiene ad ogni spazio (L^p), in particolare appartiene a (L^q), dove q è l’esponente coniugato di p. Per le proprietà delle convoluzioni, (f*(Subscript[h, λ]))(x) è definita puntualmente per ogni x. Riprendiamo il conto del teorema precedente:

(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(f(x-λ s)-f(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π])). Applichiamo la disuguaglianza di Jensen con ϕ(x):=((|x|)^p), che è convessa su tutto ℝ:

((|(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)|)^p)=ϕ((f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x))=ϕ((∫_(-∞)^(+∞))(f(x-λ s)-f(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π])))≤
(∫_(-∞)^(+∞))ϕ(f(x-λ s)-f(x))(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((|f(x-λ s)-f(x)|)^p)(Subscript[h, 1])(s)((ds)/(Sqrt[2π])).

Integriamo rispetto a x: poniamo g(s):=(Subscript[‖(Subscript[f, s])-f‖, p]^p), questa g è continua e limitata ℝ->ℝ

(Subscript[‖f-f*(Subscript[h, λ])‖, p]^p)=(∫_(-∞)^(+∞))((|(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)|)^p)((dx)/(Sqrt[2π]))≤(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))((|f(x-s)-f(x)|)^p)(Subscript[h, λ])(s)((ds)/(Sqrt[2π])))((dx)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))((|f(x-s)-f(x)|)^p)(Subscript[h, λ])(s)((dx)/(Sqrt[2π])))((ds)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))((|f(x-s)-f(x)|)^p)((dx)/(Sqrt[2π])))(Subscript[h, λ])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))((|(Subscript[f, s])(x)-f(x)|)^p)((dx)/(Sqrt[2π])))(Subscript[h, λ])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[‖(Subscript[f, s])-f‖, p]^p)(Subscript[h, λ])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))g(s)(Subscript[h, λ])(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(0-s)g(s)((ds)/(Sqrt[2π]))=
((Subscript[h, λ])*g)(0)=(g*(Subscript[h, λ]))(0)->g(0)=0.

CVD.

Trascrizione della lezione dell’11 giugno 2021.

Trasformata di Fourier: (OverHat[f])(t)=(∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])).

(Subscript[H, λ])(t):=(e^(-|λ t|)), (Subscript[h, λ])(x)=(∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[(OverHat[H]), λ])(-x)

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π])) se f∈(L^1)

Se g∈(L^∞)(ℝ) e x è un punto di continuità per g, allora (lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(x)=g(x).

Sia 1≤p<+∞ e f∈(L^p)(ℝ). Allora f*(Subscript[h, λ])∈(L^p)(ℝ) e (Subscript[‖f-f*(Subscript[h, λ])‖, p])->0 per λ->(SuperPlus[0]).

Teorema di inversione. Se si suppone che f∈(L^1)(ℝ) e anche che (OverHat[f])∈(L^1)(ℝ) e se poniamo g(x):=(∫_ℝ)(OverHat[f])(t)(e^(i t x))((d t)/(Sqrt[2π])), allora g∈(Subscript[𝒞, 0])(ℝ) e f=g quasi ovunque.

Dimostrazione.  Che g∈(Subscript[𝒞, 0])(ℝ) viene dal fatto che g(-x)=(OverHat[(OverHat[f])])(x), che è la trasformata di Fourier di (OverHat[f])∈(L^1)(ℝ), e quindi sappiamo che g(-x) è continua e tende a zero all’infinito.

Prendiamo i mollificati della f, cioè le convoluzioni f*(Subscript[h, λ]). Usiamo la formula di sopra

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π])) e passiamo al limite per λ->(SuperPlus[0]). Si può perché l’integrando è dominato: |(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(i x t))|=|(Subscript[H, λ])(t)||(OverHat[f])(t)|=|(e^(-|λ t|))||(OverHat[f])(t)|≤|(OverHat[f])(t)| che per ipotesi sta in (L^1). Passiamo al limite:

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(OverHat[f])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π]))=g(x) per ogni x.

D’altra parte, poiché f∈(L^1)(ℝ), le mollificate convergono nella norma di (L^1). Per le proprietà generali della convergenza in (L^1), esiste una successione (Subscript[λ, n])->(SuperPlus[0]) tali che f*(Subscript[h, (Subscript[λ, n])])->f quasi ovunque. Uguagliando i limiti, f=g quasi ovunque. CVD.

Corollario. Se f,(OverHat[f])∈(L^1)(ℝ), allora f(x)=(OverHat[(OverHat[f])])(-x).

Corollario. La trasformata di Fourier in (L^1)(ℝ) è iniettiva. Cioè se f,g∈(L^1)(ℝ) e (OverHat[f])=(OverHat[g]) allora f=g quasi ovunque.

Dimostrazione. Per la linearità, se (OverHat[f])=(OverHat[g]), (OverHat[(f-g)])=(OverHat[f])-(OverHat[g])=0. Poiché (f-g) è in  (L^1), e la sua trasformata di Fourier è pure in (L^1) (perché è nulla), possiamo applicare la trasformata di Fourier inversa: per quasi ogni x

f(x)-g(x)=(∫_ℝ)(OverHat[(f-g)])(t)(e^(i t x))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)0(e^(i t x))((d t)/(Sqrt[2π]))=0.

Come esercizio provate a dimostrare il teorema di inversione nel modo ingenuo, usando semplicemente la definizione e cambiando l’ordine di integrazione:

f(x)=(∫_ℝ)(OverHat[f])(t)(e^(i t x))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_ℝ)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π])))(e^(i t x))((d t)/(Sqrt[2π])).

Finora abbiamo ambientato la trasformata di Fourier in (L^1), dove la definizione è particolarmente semplice e di chiaro significato.

Si può fare una teoria della trasformata di Fourier anche in (L^2), con proprietà di simmetria molto belle, al costo di complicare la definizione.

Teorema di Plancherel.  Esiste una unica Φ:(L^2)(ℝ)->(L^2)(ℝ) lineare e continua con le proprietà seguenti:

Dimostrazione. L’unicità è facile. Sappiamo che l’intersezione (L^1)(ℝ)⋂(L^2)(ℝ) è densa in (L^2), perché contiene tutte le funzioni continue a supporto compatto, o anche tutte le funzioni a gradino, che sono dense in tutti gli (L^p) con p<+∞. Per la proprietà 2 la Φ è continua, e quindi è univocamente determinata dal suo valore su un denso.

La parte più intricata della dimostrazione è dimostrare che se f∈(L^1)(ℝ)⋂(L^2)(ℝ) allora (Subscript[‖f‖, 2])=(Subscript[‖(OverHat[f])‖, 2]).

Prendiamo f∈(L^1)(ℝ)⋂(L^2)(ℝ). Poniamo (OverTilde[f])(x)=(OverBar[f(-x)]) (coniugato). Anche (OverTilde[f])∈(L^1)(ℝ)⋂(L^2)(ℝ). Calcoliamo la trasformata di Fourier di questa (OverTilde[f]): cdv y=-x, dx=-dy

(OverHat[(OverTilde[f])])(t)=(∫_ℝ)(OverTilde[f])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(OverBar[f(-x)])(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(OverBar[f(-x)(e^(i t x))])((dx)/(Sqrt[2π]))=(OverBar[(∫_ℝ)f(-x)(e^(i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))])=
(OverBar[(∫_(+∞)^(-∞))f(y)(e^(i t (-y)))((-dy)/(Sqrt[2π]))])=(OverBar[(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(i t (-y)))((dy)/(Sqrt[2π]))])=(OverBar[(OverHat[f])(t)]).

Consideriamo la convoluzione g:=f*(OverTilde[f]). Poiché f,(OverTilde[f])∈(L^1), anche g=f*(OverTilde[f])∈(L^1). Poiché f,(OverTilde[f])∈(L^2), quindi g∈(L^∞). Abbiamo dimostrato che la trasformata di Fourier della convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier, e quindi

(OverHat[g])(t)=(OverHat[f])(t)(OverHat[(OverTilde[f])])(t)=(OverHat[f])(t)(OverBar[(OverHat[f])(t)])=((|(OverHat[f])(t)|)^2).

La convoluzione si può riscrivere come un prodotto scalare in (L^2): cdv u=-y, dy=-du

g(x)=(f*(OverTilde[f]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(OverTilde[f])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(OverBar[f(-y)])((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(+∞)^(-∞))f(x+u)(OverBar[f(u)])((-du)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))f(x+u)(OverBar[f(u)])((du)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(u-(-x))(OverBar[f(u)])((du)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[f, -x])(u)(OverBar[f(u)])((du)/(Sqrt[2π]))=
(Subscript[⟨(Subscript[f, -x]),f⟩, 2]).

Sappiamo che l’applicazione x->(Subscript[f, -x]) è continua da ℝ in (L^2). Quindi la funzione g è continua ℝ->ℂ.

Inoltre g è limitata: |g(x)|=|(Subscript[⟨(Subscript[f, -x]),f⟩, 2])|≤(Subscript[‖(Subscript[f, -x])‖, 2])(Subscript[‖f‖, 2])=(Subscript[‖f‖, 2])(Subscript[‖f‖, 2])=(Subscript[‖f‖, 2]^2)<+∞.

Riassumendo g∈(L^∞)⋂𝒞(ℝ).

Mollifichiamo la g, cioè g*(Subscript[h, λ]). Per un risultato noto,  (lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(x)=g(x) in tutti i punti di continuità, e quindi sempre. In particolare, prendiamo x=0:

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(0)=g(0)=(Subscript[⟨(Subscript[f, -0]),f⟩, 2])=(Subscript[⟨f,f⟩, 2])=(Subscript[‖f‖, 2]^2).

Riscriviamo le mollificate in termini delle funzioni (Subscript[H, λ]): poiché g∈(L^1)

(g*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[g])(t)(e^(i x t))((dt)/(Sqrt[2π])) per ogni x. In particolare vale per x=0:

(g*(Subscript[h, λ]))(0)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[g])(t)(e^(i 0 t))((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)((dt)/(Sqrt[2π])).

Vogliamo passare al limite per λ->(SuperPlus[0]). Purtroppo il teorema della convergenza dominata non si può applicare: |(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)=(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)≤((|(OverHat[f])(t)|)^2) e quest’ultimo sta in (L^1) se (OverHat[f])∈(L^2), che non è ancora dimostrato. Però la funzione λ↦(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)=(e^(-|λ t|))((|(OverHat[f])(t)|)^2) ha valori reali positivi ed è monotona decrescente. Si può applicare il teorema della convergenza monotona:

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(0)=(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)((dt)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((|(OverHat[f])(t)|)^2)((dt)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[‖(OverHat[f])‖, 2]^2).

Uguagliando i due limiti otteniamo che (Subscript[‖(OverHat[f])‖, 2])=(Subscript[‖f‖, 2]).

Possiamo porre Φ f=(OverHat[f]) per f∈(L^1)⋂(L^2), e questa Φ conserva le norme in (L^2), ed è chiaramente lineare. Quindi per continuità ammette una estensione unica a una Φ:(L^2)->(L^2) che conserva le norme in (L^2), ed è unica.

Dobbiamo dimostrare che Φ è suriettiva. Sia Y={(OverHat[f]):f∈(L^1)⋂(L^2)}⊂(L^2), è un sottospazio vettoriale. Ci proponiamo di dimostrare che Y è denso in (L^2). Basta per questo che (Y^⊥)={0}.

Osserviamo che la fuzione x↦(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x) è in ogni (L^p), in particolare sta in (L^1)⋂(L^2) per ogni λ>0,α∈ℝ. Calcoliamo la sua trasformata di Fourier:

(∫_ℝ)(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(x)(e^(i x( α -t )))((dx)/(Sqrt[2π]))

ricordiamoci  che (Subscript[h, λ])(x)=(∫_ℝ)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π])), (((Subscript[T, α])f)(x)=f(x-α), altra notazione per il traslato)

(∫_ℝ)(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[h, λ])(α -t)=(Subscript[h, λ])(t-α)=((Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]))(t)

Quindi lo spazio Y contiene tutte le funzioni del tipo ((Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]))(t), cioè tutte le traslate delle mollificatrici (Subscript[h, λ]).

Prendiamo un w∈(Y^⊥). Mollifichiamo il coniugato di w: dico che il risutato è nullo. Infatti

((OverBar[w])*(Subscript[h, λ]))(α)=((Subscript[h, λ])*(OverBar[w]))(α)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(α-y)(OverBar[w(y)])((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(y-α)(OverBar[w(y)])((dy)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]))(y)(OverBar[w(y)])((dy)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[⟨(Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]),w⟩, 2])=0.

Tutte le mollificate di (OverBar[w]) sono identicamente nulle. D’altra parte le mollificate di (OverBar[w]) tendono a (OverBar[w]) nella norma di (L^2). Quindi anche (OverBar[w])=0, e quindi w=0. Quindi (Y^⊥)={0}, e Y è denso in (L^2).

La trasformazione Φ è una isometria da (L^2) in un sottinsieme denso di (L^2). Per esercizio è suriettiva.

Poniamo Z:={f∈(L^1)⋂(L^2):(OverHat[f])∈(L^1)⋂(L^2)}. In questo sottinsieme la formula di inversione è già nota. Si tratta di estenderla a tutto (L^2). Ogni funzione f di (L^2) può essere approssimata a piacere in (L^2) con una funzione g∈(L^1)⋂(L^2). Per un teorema noto, le mollificate g*(Subscript[h, λ]) sono pure in (L^1)⋂(L^2). Le trasformate di Fourier delle mollificate si possono scrivere così:

((OverHat[g*(Subscript[h, λ])]))(t)=(OverHat[g])(t)(Subscript[(OverHat[h]), λ])(t)=(OverHat[g])(t)(Subscript[H, λ])(t). Ora (OverHat[g])∈(Subscript[𝒞, 0]), e quindi è limitata, e (Subscript[H, λ]) sta in ogni (L^p). Quindi le mollificate sono tutte in Z, e tendono a g nella norma di (L^2). Insomma, Z è denso in (L^2).

Usiamo il teorema di inversione, con g∈Φ(Z):

((Φ^(-1))g)(x)=(∫_ℝ)g(t)(e^(+i x t))((dt)/(Sqrt[2π]))=(Φ g)(-x).

Poiché anche Φ(Z) è denso in (L^2), la relazione ((Φ^(-1))g)(x)=(Φ g)(-x) vale per ogni g∈(L^2).

Rimangono le formule di approssimazione. Prendiamo  f∈(L^2). Quindi Φ f∈(L^2). Osserviamo che

(Subscript[ϕ, A])(t)=(∫_(-A)^A)f(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)f(x)(Subscript[χ, [-A,A]])(x)(e^(-i t x))((dx)/(Sqrt[2π]))=Φ(f (Subscript[χ, [-A,A]]))(t),

(Subscript[ψ, A])(x)=(∫_(-A)^A)(Φ f)(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(Φ f)(t)(Subscript[χ, [-A,A]])(t)(e^(i t x))((dt)/(Sqrt[2π]))=(Φ^(-1))((OverHat[f])(Subscript[χ, [-A,A]]))(x).

Si tratta di mandare A->+∞. Si vede per esercizio che f (Subscript[χ, [-A,A]])->f in (L^2). Quindi, poiché Φ è continua, (Subscript[ϕ, A])->Φ(f) in (L^2). Similmente per ψ.

CVD.