Spazi di Hilbert

Trascrizione della lezione del 10 marzo 2020.

Prodotto scalare hermitiano

α∈ℂ, (OverBar[α]) è il coniugato, Re(α), Im(α).

V spazio vettoriale sui complessi. Assiomi del prodotto scalare (prodotto interno): ⟨x,y⟩∈ℂ, V×V->ℂ

Prime conseguenze:

In uno spazio con prodotto scalare, posso definire la norma indotta: ‖x‖:=(Sqrt[⟨x,x⟩]) (radice quadrata aritmetica, non negativa).

Non è ancora chiaro se sia una norma. Per il momento è non negativa, si annulla solo in zero, ed è assolutamente omogenea:

‖α x‖=(Sqrt[⟨α x,α x⟩])=(Sqrt[α⟨x,α x⟩])=(Sqrt[α (OverBar[α])⟨x,x⟩])=(Sqrt[((|α|)^2)⟨x,x⟩])=|α|(Sqrt[⟨x,x⟩])=|α|·‖x‖

Assiomi della norma: ‖α x‖=|α|·‖x‖ (omogeneità assoluta), ‖x‖≥0 (positività), ‖x‖=0⟺x=0, ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ (triangolare). Distanza, nel senso degli spazi metrici, indotta da una norma: d(x,y)=‖x-y‖.

spazio con prodotto scalare, spazio normato, spazio metrico, spazio topologico.

Formule utili: quadrato del binomio:

((‖x+y‖)^2)=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=((‖x‖)^2)+⟨x,y⟩+(OverBar[⟨x,y⟩])+((‖y‖)^2)=((‖x‖)^2)+2Re⟨x,y⟩+((‖y‖)^2)

((‖x-y‖)^2)=⟨x-y,x-y⟩=⟨x,x⟩-⟨x,y⟩-⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=((‖x‖)^2)-⟨x,y⟩-(OverBar[⟨x,y⟩])+((‖y‖)^2)=((‖x‖)^2)-2Re⟨x,y⟩+((‖y‖)^2)

α+(OverBar[α])=2Re(α) per ogni α∈ℂ.

Disuguaglianza di Schwarz: |⟨x,y⟩|≤‖x‖·‖y‖ per ogni x,y.

With[{o={0,0},x={1.5,1},y={2,-1}},
pr=(x.Normalize[y])Normalize[y];Graphics[{Text["0",o,{2,0}],Arrow[{o,x}],Text["x",x,{-2,.2}],Arrow[{o,y}],Text["y",y,{-2,-.5}],PointSize[Medium],Point[{o,pr}],Text["⟨x, (y/(\[LeftDoubleBracketingBar]y\[RightDoubleBracketingBar]))⟩(y/(\[LeftDoubleBracketingBar]y\[RightDoubleBracketingBar]))",pr,{.7,1.2}],{Dashed,Line[{pr,x}]},Text["z = x - ⟨x, (y/(\[LeftDoubleBracketingBar]y\[RightDoubleBracketingBar]))⟩(y/(\[LeftDoubleBracketingBar]y\[RightDoubleBracketingBar]))",Mean[{pr,x}],{-1.2,0}]},BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->Scaled[.04]},ImageSize->Scaled[.5],PlotRangePadding->Scaled[.05]]]

z=x-⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖)). (possiamo supporre che y≠0). Imponiamo l’assioma della positività sulla diagonale:

0≤⟨z,z⟩=((‖z‖)^2)=((‖x-⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖))‖)^2)=((‖x‖)^2)-2Re(⟨x,⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖))⟩)+((‖⟨x,(y/(‖y‖))⟩(y/(‖y‖))‖)^2)=
((‖x‖)^2)-2Re((OverBar[⟨x,(y/(‖y‖))⟩])⟨x,(y/(‖y‖))⟩)+((|⟨x,(y/(‖y‖))⟩(1/(‖y‖))|)^2)((‖y‖)^2)=
((‖x‖)^2)-2Re(((|⟨x,(y/(‖y‖))⟩|)^2))+(1/((‖y‖)^4))((|⟨x,y⟩|)^2)((‖y‖)^2)=
((‖x‖)^2)-2((|⟨x,(y/(‖y‖))⟩|)^2)+(1/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)=
((‖x‖)^2)-2(1/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)+(1/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)=
((‖x‖)^2)-(1/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)

0≤((‖x‖)^2)-(1/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)

(1/((‖y‖)^2))((|⟨x,y⟩|)^2)≤((‖x‖)^2)

((|⟨x,y⟩|)^2)≤((‖x‖)^2)((‖y‖)^2)

|⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖

Esercizio: rifare la dimostrazione partendo da z=((‖y‖)^2)x-⟨x,y⟩y.

Disuguaglianza triangolare: ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.

Dimostrazione:

((‖x+y‖)^2)=((‖x‖)^2)+2Re⟨x,y⟩+((‖y‖)^2)≤((‖x‖)^2)+2|⟨x,y⟩|+((‖y‖)^2)≤((‖x‖)^2)+2‖x‖‖y‖+((‖y‖)^2)=(((‖x‖+‖y‖))^2)

Ogni spazio con prodotto scalare ha indotta una norma, quindi una metrica, quindi una topologia. Qualora come spazio metrico risulti completo (ogni successione di Cauchy converge) lo spazio con prodotto scalare si dice spazio di Hilbert. Se non è completo si dirà anche pre-hilbertiano.

In generale, uno spazio metrico non completo si può completare, cioè si può costruire un nuovo spazio metrico completo, tale che lo spazio iniziale sia isomorfo a un sottinsieme denso. Un caso particolare è la costruzione di ℝ a partire dai razionali.

Esempio in dimensione finita (ℂ^n), x = ((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n])), y = ((Subscript[y, 1]), (Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n]))

⟨x,y⟩=(Subscript[x, 1])(OverBar[(Subscript[y, 1])])+(Subscript[x, 2])(OverBar[(Subscript[y, 2])])+(Subscript[x, 3])(OverBar[(Subscript[y, 3])])+…+(Subscript[x, n])(OverBar[(Subscript[y, n])])

‖x‖=(Sqrt[⟨x,x⟩])=(Sqrt[(Subscript[x, 1])(OverBar[(Subscript[x, 1])])+(Subscript[x, 2])(OverBar[(Subscript[x, 2])])+(Subscript[x, 3])(OverBar[(Subscript[x, 3])])+…+(Subscript[x, n])(OverBar[(Subscript[x, n])])])=(Sqrt[((|(Subscript[x, 1])|)^2)+((|(Subscript[x, 2])|)^2)+((|(Subscript[x, 3])|)^2)+…+((|(Subscript[x, n])|)^2)]), norma euclidea. (ℂ^n) è di Hilbert (noto).

Esempio: (X,M,μ) spazio di misura positiva. (L^2)(μ) lo spazio vettoriale delle funzioni misurabili f:X->ℂ a quadrato integrabile, cioè (∫_X)((|f|)^2)dμ<+∞. Su (L^2)(μ) si introduce un prodotto scalare:

⟨f,g⟩=(∫_X)f·(OverBar[g])dμ. Questo è  un prodotto scalare, che induce la norma di (L^2)(μ).

Trascrizione della lezione dell' 11 marzo 2020.

Condizione sufficiente perché esista finito l’integrale (∫_X)f·(OverBar[g])dμ è che (∫_X)|f·(OverBar[g])|dμ<+∞. Possiamo usare la disuguaglianza di Hölder:

(∫_X)|f·(OverBar[g])|dμ≤(Subscript[‖f‖, p])(Subscript[‖(OverBar[g])‖, q])=(Subscript[‖f‖, p])(Subscript[‖g‖, q])=(Subscript[‖f‖, 2])(Subscript[‖g‖, 2])<+∞.

La norma associata a questo prodotto scalare è

‖f‖=(Sqrt[⟨f,f⟩])=(Sqrt[(∫_X)f·(OverBar[f])dμ])=(Sqrt[(∫_X)((|f|)^2)dμ])=(Subscript[‖f‖, 2]). Con questo prodotto scalare, lo spazio normato coincide con (L^2)(μ) già noto, che è completo. (L^2)(μ) è uno spazio di Hilbert.

Esempio di spazio con prodotto scalare non completo: V=insieme delle funzioni [0,1]->ℝ continue, con il prodotto scalare ⟨f, g⟩ = (∫_0^1)f(t)g(t)dt. Verifica gli assiomi. Ma lo spazio V non è completo.

f[n_]:=Interpolation[{{0,0},{1/2-1/n,0},{1/2+1/n,1},{1,1}},InterpolationOrder->1];
Manipulate[Plot[Interpolation[{{0,0},{1/2-1/n,0},{1/2+1/n,1},{1,1}},InterpolationOrder->1][x],{x,0,1},Epilog->{Text[(Subscript["f", n]),Scaled[{.7,.6}]],PointSize[Large],Point[{1/2,1/2}]},BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->12},ImageSize->Scaled[.9]],{n,3,30,1}]

Questa successione di funzioni è di Cauchy rispetto alla metrica indotta dal prodotto scalare, però non converge in V, cioè non esiste alcuna funzione continua f tale che (Subscript[f, n])->f in quella norma.

Lo spazio (ℂ^n) può essere visto come caso particolare di uno spazio (L^2)(μ). Un vettore è una ennupla x = ((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]),…,(Subscript[x, n]))=(x(1), x(2),…,x(n)), cioè possiamo vedere x come una funzione x:{1,2,3,…,n}->ℂ. Poniamo X={1,2,3,…,n}, possiamo dotarlo della sigma-algebra di tutti i sottinsiemi, e della misura del conteggio (counting measure), in questo caso coincide con la cardinalità:

#(A)=cardinalità di A se A è finito,

#(A)=+∞ se A è infinito. Questa μ=# è una misura positiva.

L’integrale fatto rispetto a questa misura è semplicemente la somma:

⟨x,y⟩=(Subscript[x, 1])(OverBar[(Subscript[y, 1])])+(Subscript[x, 2])(OverBar[(Subscript[y, 2])])+(Subscript[x, 3])(OverBar[(Subscript[y, 3])])+…+(Subscript[x, n])(OverBar[(Subscript[y, n])])=(∫_X)x·(OverBar[y])d#

Morale: Lo spazio (ℂ^n) può essere visto come caso particolare di uno spazio (L^2)(μ).

Vedremo più avanti che se accettiamo l’assioma di scelta, tutti gli spazi di Hilbert sono isomorfi a un qualche spazio (L^2)(μ). La teoria degli spazi di Hilbert coincide con la teoria degli spazi (L^2)(μ).

Per gli spazi normati o di Banach la situazione è diversa: ci sono spazi normati con la stessa dimensione ma non isomorfi.

In uno spazio con prodotto scalare sono continue le seguenti funzioni a valori scalari (y fissato):

x↦⟨x,y⟩, x↦⟨y,x⟩, x↦‖x‖.

|⟨(Subscript[x, 1]),y⟩-⟨(Subscript[x, 2]),y⟩|=|⟨(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2]),y⟩|≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖‖y‖,

da cui segue che x↦⟨x,y⟩ è uniformemente continua V->ℂ

Disuguaglianza notevole: |‖(Subscript[x, 1])‖-‖(Subscript[x, 2])‖|≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖. Da qui segue che la norma è continua (uniformemente).

Esercizio: l’applicazione (x,y)↦⟨x,y⟩ è continua V×V->ℂ. È uniformemente continua sui limitati.

Identità di polarizzazione e del parallelogrammo

⟨x,y⟩=((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4)+i((((‖i x+y‖)^2)-((‖i x-y‖)^2))/4) per spazi complessi.

In uno spazio reale ⟨x,y⟩=((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4).

Verifica nel caso reale:

((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4)=(((((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩)-(((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)-2Re⟨x,y⟩))/4)=((2Re⟨x,y⟩+2Re⟨x,y⟩)/4)=⟨x,y⟩

Se abbiamo uno spazio con prodotto scalare, ne deduciamo la norma, e poi abbiamo dimenticato la formula per il prodotto scalare, possiamo ricostruirlo a partire dalla norma.

Si potrebbe pensare questo: se parto da uno spazio normato, lo faccio diventare sempre uno spazio con prodotto scalare, usando l’identità di polarizzazione? No, non funziona. Non è detto che l’oggetto che si ottiene sia lineare rispetto al primo fattore, per esempio. Perlomeno non è ovvio.

Identità del parallelogrammo: ((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2)=2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2) vale in tutti gli spazi con prodotto scalare. Verifica banale:

((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2)=((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)+2Re⟨x,y⟩+((‖x‖)^2)+((‖y‖)^2)-2Re⟨x,y⟩=
2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2)

In termini geometrici, la somma dei quadrati costruiti sui lati di un parallelogrammo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sulle due diagonali.

L’identità del parallelogrammo vale anche in altri spazi normati??? Proviamo. Ci sono due esempi semplici: (ℝ^2) con due norme

(Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, 1])=|(Subscript[x, 1])|+|(Subscript[x, 2])|, (Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, ∞])=max{|(Subscript[x, 1])|,|(Subscript[x, 2])|}

L’identità del parallelogrammo non vale per queste norme. Queste norme non derivano da un prodotto scalare.

È stato dimostrato che l’identità del parallelogrammo vale se e solo se la norma deriva da un prodotto scalare.

Cenno alla dimostrazione. Supponiamo di avere una norma ‖x‖ su uno spazio reale. Poniamo

⟨x,y⟩:=((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4) e

ϕ(x,y):=((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2)-2((‖x‖)^2)-2((‖y‖)^2).

Valgono queste due identità:

4 (⟨2 x, y⟩ - 2 ⟨x, y⟩) = ϕ(x + y, x) - ϕ(x - y, x)

4(⟨x,z⟩+⟨y,z⟩-2⟨((x+y)/2),z⟩)=ϕ(((x+y)/2)+z,((x-y)/2))-ϕ(((x+y)/2)-z,((x-y)/2))

Supponiamo ora che valga l’identità del parallelogrammo. Quindi ϕ è identicamente nulla. Quindi

4 (⟨2 x, y⟩ - 2 ⟨x, y⟩)=0

⟨2 x, y⟩ - 2 ⟨x, y⟩=0

⟨2 x, y⟩ = 2 ⟨x, y⟩

Dalla seconda identità ricaviamo che

4(⟨x,z⟩+⟨y,z⟩-2⟨((x+y)/2),z⟩)=0

⟨x,z⟩+⟨y,z⟩-2⟨((x+y)/2),z⟩=0

⟨x,z⟩+⟨y,z⟩=2⟨((x+y)/2),z⟩

⟨x,z⟩+⟨y,z⟩=⟨2((x+y)/2),z⟩

⟨x,z⟩+⟨y,z⟩=⟨x+y,z⟩

Insieme convesso: Un convesso in uno spazio vettoriale è un sottinsieme C tale che per ogni x,y∈C e per ogni t∈[0,1] si ha che anche t x+(1-t)y∈C

DynamicModule[{flclQ=True,orQ=False,p1={-0.6099999999999999`,-0.24`},p2={1,0},p3={1,1},p4={-0.9450000000000001`,1.38`},x={-0.7,1},y={0.9,0.8}},
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Teorema della minima distanza. Dati uno spazio di Hilbert H, un vettore x∈H e un sottinsieme C⊂H convesso, chiuso e non vuoto, allora esiste unico un punto (OverBar[y])∈C che ha minima distanza da x.

Trascrizione della lezione del 17 marzo 2020.

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-y‖ per ogni y∈C

‖x-(OverBar[y])‖=(inf_(y∈C))‖x-y‖=(min_(y∈C))‖x-y‖

Dimostrazione. Poniamo d=(inf_(y∈C))‖x-y‖. 0≤d<+∞.

Prendiamo due punti (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C.

Identità del parallelogrammo:

((‖((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2])-x)-x‖)^2)+((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-((‖((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2])-x)-x‖)^2)

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-((‖(Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2])-2x‖)^2)

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-((‖2((((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x)‖)^2)

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4((‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖)^2)

(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)∈C perché è il punto medio del segmento che congiunge (Subscript[y, 1]) con (Subscript[y, 2]), che sono in C per ipotesi. ‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖  è la distanza fra un punto di C e x. È ≥ dell’inf delle distanze, cioè ‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖ ≥d. Elevando al quadrato ((‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖)^2) ≥(d^2)

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4((‖(((Subscript[y, 1])+(Subscript[y, 2]))/2)-x‖)^2)≤2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4(d^2).

Disuguaglianza da usare più volte: ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4(d^2) vale per ogni (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C.

Unicità di (OverBar[y]): se (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C sono entrambi di minima distanza, allora in particolare ‖x-(Subscript[y, 1])‖=d, ‖x-(Subscript[y, 2])‖=d. Sostituendo nella disuguaglianza:

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4(d^2)=2(d^2)+2(d^2)-4(d^2)=0. Quindi (Subscript[y, 1])=(Subscript[y, 2]). Dimostrata l’unicità.

Passiamo all’esistenza. Per definizione di inf, esiste una successione minimizzante (Subscript[y, n])∈C: ‖x-(Subscript[y, n])‖->(SuperPlus[d]) per n->∞. Fissiamo ϵ>0. Elevando al quadrato ((‖x-(Subscript[y, n])‖)^2)->(SuperPlus[((d^2))]), e quindi esiste un indice (Subscript[N, ϵ]) tale che per ogni n≥(Subscript[N, ϵ])   ((‖x-(Subscript[y, n])‖)^2)<(d^2)+((ϵ^2)/4). Prendiamo n,m≥(Subscript[N, ϵ]) e applichiamo la disuguaglianza:

((‖(Subscript[y, n])-(Subscript[y, m])‖)^2)≤2((‖x-(Subscript[y, n])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, m])‖)^2)-4(d^2)≤2((d^2)+((ϵ^2)/4))+2((d^2)+((ϵ^2)/4))-4(d^2)=(ϵ^2),

estraggo le radici quadrate: ‖(Subscript[y, n])-(Subscript[y, m])‖≤ϵ. La successione (Subscript[y, n]) è di Cauchy. Poiché lo spazio è completo, (Subscript[y, n]) converge a un qualche (OverBar[y])∈H. D’altra parte (Subscript[y, n])∈C, che è chiuso. Quindi anche (OverBar[y])∈C. Dal fatto che ‖x-(Subscript[y, n])‖->d, per continuità della norma, ‖x-(OverBar[y])‖=d. Concludiamo che (OverBar[y]) è il punto di minima distanza cercato. QED.

Il teorema è importante perché dà la soluzione a un problema di minimo senza nessuna ipotesi di compattezza. In dimensione finita non ha nessun bisogno della convessità, basta la chiusura, perché una successione minimizzante è per forza limitata, e quindi posso estrarre una sottosuccessione convergente. In dimensione infinita una successione limitata può benissimo non avere sottosuccessioni convergenti.

In uno spazio normato, in cui la norma non deriva da un prodotto scalare, può facilmente mancare l’unicità.

(Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, 1])=|(Subscript[x, 1])|+|(Subscript[x, 2])|, (Subscript[‖((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))‖, ∞])=max{|(Subscript[x, 1])|,|(Subscript[x, 2])|}

Riformulazioni.

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-y‖ per ogni y∈C. Questa condizione non contiene esplicitamente il prodotto scalare. Si può riscrivere la condizione in modo da tirare in ballo il prodotto scalare esplicitamente.

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-y‖ per ogni y∈C

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-(t y+(1-t)(OverBar[y]))‖ per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-(OverBar[y])-t(y-(OverBar[y]))‖ per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

((‖x-(OverBar[y])‖)^2)≤((‖(x-(OverBar[y]))-t(y-(OverBar[y]))‖)^2) per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

((‖x-(OverBar[y])‖)^2)≤((‖(x-(OverBar[y]))‖)^2)+((‖t(y-(OverBar[y]))‖)^2)-2Re⟨x-(OverBar[y]),t(y-(OverBar[y]))⟩ per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

2Re⟨x-(OverBar[y]),t(y-(OverBar[y]))⟩≤((‖t(y-(OverBar[y]))‖)^2) per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

2Re(t⟨x-(OverBar[y]),(y-(OverBar[y]))⟩)≤(t^2)((‖(y-(OverBar[y]))‖)^2) per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

2t Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤(t^2)((‖(y-(OverBar[y]))‖)^2) per ogni y∈C e per ogni t∈[0,1]

Dividiamo per t ambo i membri, se 0<t≤1:

2 Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤t((‖(y-(OverBar[y]))‖)^2) per ogni y∈C e per ogni t tale che 0<t≤1.

Facciamo tendere t->(SuperPlus[0])

2 Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈C.

Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈C.

Vale l’implicazione inversa, banalmente.

Ricapitolando, la condizione di minima distanza

‖x-(OverBar[y])‖≤‖x-y‖ per ogni y∈C

equivale a

Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈C, che coinvolge il prodotto scalare esplicitamente, e nella dimostrazione è essenziale la convessità.

In fisica, ⟨x,y⟩=‖x‖‖y‖cos(angolo compreso)

Altra intepretazione: C è contenuto nel semispazio {y∈H:Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0}

Nel seguito ci interesserà il caso particolare in cui C non è un semplice convesso, ma un sottospazio vettoriale. Un sottospazio vettoriale è banalmente anche un convesso. La condizione di minima distanza in questo caso si può scrivere in forma più forte.

Siano V uno spazio con prodotto scalare, M un sottospazio vettoriale, x∈H. Allora la condizione di minima distanza

Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈M.

si può riscrivere così:

⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M.

Dimostrazione.

Partiamo da Re⟨x-(OverBar[y]),y-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈M. Poiché M è un sottospazio vettoriale, y-(OverBar[y])∈M e quindi vale ⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M. Dobbiamo mostrare il viceversa.

Sia y∈M, sia t∈ℝ, allora (OverBar[y])+t y∈M. Quindi

Re⟨x-(OverBar[y]),((OverBar[y])+t y)-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

Re⟨x-(OverBar[y]),t y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

t Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

In particolare è vero per t=1 e per t=-1:

Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 e -Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M.

Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 e Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩≥0 per ogni y∈M.

Deduciamo che  Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M.

Se lo spazio è complesso, abbiamo ancora qualche conto. Sia y∈M, sia t∈ℝ, allora (OverBar[y])+t i y∈M. Quindi

Re⟨x-(OverBar[y]),((OverBar[y])+t i y)-(OverBar[y])⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

Re⟨x-(OverBar[y]),t i y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

t Re⟨x-(OverBar[y]),i y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

t Re (OverBar[i])⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

t Re (-i)⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

-t Re i⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

Re(i(a+i b))=Re(ia- b)=-b, quindi Re(i α)=-b Im(α) per ogni α∈ℂ. Applichiamola:

t Im⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M e per ogni t∈ℝ.

In particolare è vero per t=1 e per t=-1:

Im⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 e -Im⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 per ogni y∈M.

Im⟨x-(OverBar[y]),y⟩≤0 e Im⟨x-(OverBar[y]),y⟩≥0 per ogni y∈M.

Conclusione Im⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M.

Sapevamo già che Re⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M. Conclusione ⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M. CVD.

⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M.

Il concetto di ortogonalità è strettamente legato alla proprietà di minima distanza (in spazi con prodotto scalare).

Definizioni. Sia V uno spazio con prodotto scalare. Due vettori x,y si dicono (fra loro) ortogonali se ⟨x,y⟩=0, e si scrive anche x⊥y. È chiaro che la relazione di ortogonalità è simmetrica. L’insieme dei vettori ortogonali a un vettore fisso x∈V si indica con (x^⊥)={y∈V:y⊥x}={y∈V:⟨y,x⟩=0}={y∈V:⟨x,y⟩=0} e si legge x ortogonale.

Osservazione: l'insieme (x^⊥) è un sottospazio vettoriale chiuso di V. Infatti l'applicazione y↦⟨y,x⟩=L(y) è lineare continua. (x^⊥)=ker L={y∈V:L(x)=0}. Quindi è un sottospazio vettoriale. Inoltre

(x^⊥)=(L^(-1))({0}) e {0} è un chiuso in V. Contrimmagine di un chiuso tramite una funzione continua è un chiuso.

Più in generale, dato un E⊆V, indichiamo con (E^⊥) l’insieme dei vettori che sono ortogonali a ogni elemento di E, cioè

(E^⊥)={y∈V:y⊥x   ∀x∈E}=(⋂_(x∈E)){y∈V:y⊥x }=(⋂_(x∈E))((Overscript[x, ])^⊥), intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali chiusi. Pertanto anche (E^⊥) è sempre un sottospazio vettoriale chiuso.

E⋂(E^⊥)⊆{0}. Infatti se x∈E⋂(E^⊥), in particolare x⊥x, e quindi ⟨x,x⟩=0, cioè ((‖x‖)^2)=0, cioè x=0. A noi interessa il caso di un sottospazio vettoriale M: M⋂(M^⊥)={0}.

Esercizio: E⊆((((E^⊥)))^⊥).

Trascrizione della lezione del 18 marzo 2020.

Sia V spazio con prodotto scalare, M un sottospazio vettoriale, x∈V. Allora (OverBar[y]) è il punto di M più vicino a x se e solo se x-(OverBar[y])⊥M, cioè x-(OverBar[y])∈(M^⊥).

Il teorema della minima distanza ha questa conseguenza importante:

Teorema della decomposizione ortogonale. Sia H uno spazio di Hilbert, M un sottospazio vettoriale chiuso. Allora M=((((M^⊥)))^⊥) e lo spazio H si decompone come somma diretta di M con (M^⊥), cioè

H=M⊕(M^⊥)

Dimostrazione. Sappiamo già che M⊕(M^⊥)={0}, e che M,(M^⊥) sono sottospazi vettoriali. Dobbiamo dimostrare che ogni vettore x∈H si scrive come somma di un elemento di M con uno di (M^⊥). Sia (OverBar[y]) il punto di M più vicino a x. Sappiamo che (OverBar[y])∈M e che x-(OverBar[y])∈(M^⊥). Quindi

x=(OverBar[y])+(x-(OverBar[y])).

Ogni volta che abbiamo una decomposizione in somma diretta, a questa sono associate le proiezioni sugli addendi H=M⊕(M^⊥), ci sono le proiezioni, che chiameremo proiezioni ortogonali: (Subscript[P, M]):H->M, (Subscript[P, (M^⊥)]):H->(M^⊥), sono lineari. Sono anche continue:

x=(Subscript[P, M])x+(Subscript[P, (M^⊥)])x,

((‖x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x+(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)+((‖(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)+2Re⟨(Subscript[P, M])x,(Subscript[P, (M^⊥)])x⟩

((‖x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x+(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)+((‖(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)+0

((‖x‖)^2)=((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)+((‖(Subscript[P, (M^⊥)])x‖)^2)  Teorema di Pitagora.

((‖x‖)^2)≥((‖(Subscript[P, M])x‖)^2)

‖x‖≥‖(Subscript[P, M])x‖

‖(Subscript[P, M])x‖≤1‖x‖

(Subscript[P, M]) è continua. In generale un’applicazione lineare L:A->B fra spazi normati è continua se solo se ‖L(x)‖≤c‖x‖ per qualche costante c finita.

Analogamente (Subscript[P, (M^⊥)]) è continua, c=1.

Nella disuguaglianza ‖(Subscript[P, M])x‖≤‖x‖  vale =  se e solo se x∈M.

Teorema di rappresentazione dei funzionali lineari continui su uno spazio di Hilbert. Sia H uno spazio di Hilbert, e L:H->ℂ un funzionale lineare continuo. Allora esite unico un (Subscript[y, L])∈H tale che L(x)=⟨x,(Subscript[y, L])⟩ per ogni x∈H.

Dimostrazione. Unicità: se (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]) hanno entrambi la proprietà, si ha che

L(x)=⟨x,(Subscript[y, 1])⟩=⟨x,(Subscript[y, 2])⟩, sottraendo membro a membro ⟨x,(Subscript[y, 1])⟩-⟨x,(Subscript[y, 2])⟩=0

⟨x,(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])⟩=0 per ogni x. Poniamo x=(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2]), otteniamo

⟨(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])⟩=0, cioè ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)=0, da cui (Subscript[y, 1])=(Subscript[y, 2]).

Esistenza. Consideriamo il nucleo di L: ker L={y∈H:L(y)=0}=(L^(-1))({0}). È un sottospazio vettoriale chiuso. Vettoriale perché L è lineare, chiuso perché {0} è chiuso in ℂ e quindi la contrimmagine è chiusa perché L è continuo. Quindi vale la decomposizione ortogonale:

H=(ker L)⊕(((ker L))^⊥). Primo caso banale: L identicamente nullo. ker L=H, la tesi è banalmente verificata con (Subscript[y, L])=0. Caso restante: L non identicamente nullo, ker L non è tutto H, e quindi il suo ortogonale non è il solo 0. Esistono quindi vettori non nulli in (((ker L))^⊥). Prendiamone uno (Subscript[z, 0]), e possiamo supporre che abbia norma 1. Facciamo un conto:

L(x)=L(x)((‖(Subscript[z, 0])‖)^2)=L(x)⟨(Subscript[z, 0]),(Subscript[z, 0])⟩=⟨L(x)(Subscript[z, 0]),(Subscript[z, 0])⟩=⟨L(x)(Subscript[z, 0])-L((Subscript[z, 0]))x+L((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩

Osservo che L(x)(Subscript[z, 0])-L((Subscript[z, 0]))x è nel ker L. Infatti:

L(L(x)(Subscript[z, 0])-L((Subscript[z, 0]))x)=L(L(x)(Subscript[z, 0]))-L(L((Subscript[z, 0]))x)=L(x)L((Subscript[z, 0]))-L((Subscript[z, 0]))L(x)=0.

L(x)=⟨(L(x)(Subscript[z, 0])-L((Subscript[z, 0]))x)+L((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩=⟨(L(x)(Subscript[z, 0])-L((Subscript[z, 0]))x),(Subscript[z, 0])⟩+⟨L((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩=
⟨L((Subscript[z, 0]))x,(Subscript[z, 0])⟩=L((Subscript[z, 0]))⟨x,(Subscript[z, 0])⟩=⟨x,(OverBar[L((Subscript[z, 0]))])(Subscript[z, 0])⟩.

L(x)=⟨x,(OverBar[L((Subscript[z, 0]))])(Subscript[z, 0])⟩. Possiamo prendere (Subscript[y, L])=(OverBar[L((Subscript[z, 0]))])(Subscript[z, 0]). QED.

Calcolo esplicito della proiezione ortogonale nel caso di un sottospazio a dimensione finita.

Proposizione: in uno spazio normato, i sottospazi a dimensione finita sono sempre chiusi.

Notazione: span E l’insieme dei vettori che sono combinazioni lineari finite di vettori di E, sottospazio vettoriale generato.

Lemma. Sia V uno spazio normato, M un sottospazio vettoriale chiuso, (OverBar[y])∈V∖M. Allora anche span E⋃{(OverBar[y])} è chiuso.

Dimostrazione. Sia (Subscript[z, n]) una successione in span E⋃{(OverBar[y])} convergente a un (OverBar[z])∈V. Devo dimostrare che in realtà (OverBar[z])∈span E⋃{(OverBar[y])}. Ognuno degli (Subscript[z, n]) è combinazione lineare di un vettore di E con un multiplo di (OverBar[y]): (Subscript[z, n])=(Subscript[x, n])+(Subscript[λ, n])(OverBar[y]) con (Subscript[x, n])∈M e (Subscript[λ, n])∈ℂ.

Poiché le successioni convergenti sono anche limitate, esite r>0 tale che ‖(Subscript[z, n])‖≤r per ogni n.

Affermo che (Subscript[λ, n]) è limitata. Se per assurdo non lo fosse, esisterebbe una sottosuccessione (Subscript[λ, (Subscript[n, k])]) che tende all’infinito complesso, cioè tale che |(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|->+∞.

‖(Subscript[z, (Subscript[n, k])])‖≤r

‖(Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y])‖≤r, dividiamo per |(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|

((‖(Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y])‖)/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|))≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|)),

‖(((Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y]))/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))‖≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|)),

‖((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))+(OverBar[y])‖≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|)),

‖(OverBar[y])-(-((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])))‖≤(r/(|(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])|))->0,  al primo membro c’è la distanza fra (OverBar[y]) e il vettore (-((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])))

Il vettore (-((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))) tende a (OverBar[y]).

Il vettore (-((Subscript[x, (Subscript[n, k])])/(Subscript[λ, (Subscript[n, k])]))) appartiene a M, che è chiuso per ipotesi.

Il vettore (OverBar[y]) appartiene anche lui a M, contro l’ipotesi iniziale.

È assodato che (Subscript[λ, n]) è limitata. Quindi ha una sottosuccessione convergente (Subscript[λ, (Subscript[n, k])])->(OverBar[λ])∈ℂ.

(Subscript[z, (Subscript[n, k])])=(Subscript[x, (Subscript[n, k])])+(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y])

(Subscript[x, (Subscript[n, k])])=(Subscript[z, (Subscript[n, k])])-(Subscript[λ, (Subscript[n, k])])(OverBar[y]). Il secondo membro tende a (OverBar[z])-(OverBar[λ])(OverBar[y]). Quindi anche (Subscript[x, (Subscript[n, k])]) converge, a (OverBar[z])-(OverBar[λ])(OverBar[y])=(OverBar[x]). Ma (Subscript[x, (Subscript[n, k])])∈M, che è chiuso. Quindi (OverBar[x])∈M.

(OverBar[z])=(OverBar[x])+(OverBar[λ])(OverBar[y]). Concludiamo che (OverBar[z])∈span E⋃{(OverBar[y])}, CVD.

Torniamo alla proposizione. La dimostrazione è per induzione sulla dimensione del sottospazio. Se la dimensione è zero, M={0}, che è chiuso. Il passo induttivo usa il lemma precedente.

Ci proponiamo di trovare la proiezione ortogonale esplicita su un sottospazio a dimensione finita. Sia H di Hilbert, M un sottospazio a dimensione finita di cui conosciamo una base (Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),…,(Subscript[v, n]). Problema: calcolare (OverBar[y])=(Subscript[P, M])x per x∈H generico.

Condizione: x-(OverBar[y])⊥M

⟨x-(OverBar[y]),y⟩=0 per ogni y∈M

⟨x-(OverBar[y]),(Subscript[v, k])⟩=0 per ogni k=1,…,n

Sappiamo che  (OverBar[y])∈M, cioè è una combinazione lineare dei (Subscript[v, k]), cioè esistono dei coefficienti (Subscript[λ, k]) incogniti tali che (OverBar[y])=(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])(Subscript[v, k]).

⟨x-(∑_(j=1)^n)(Subscript[λ, j])(Subscript[v, j]),(Subscript[v, k])⟩=0 per ogni k=1,…,n

⟨x,(Subscript[v, k])⟩-(∑_(j=1)^n)(Subscript[λ, j])⟨(Subscript[v, j]),(Subscript[v, k])⟩=0 per ogni k=1,…,n

(∑_(j=1)^n)(Subscript[λ, j])⟨(Subscript[v, j]),(Subscript[v, k])⟩=⟨x,(Subscript[v, k])⟩ per ogni k=1,…,n

sistema lineare di n equazioni in n incognite, matrice dei coefficienti (Subscript[a, j,k])=⟨(Subscript[v, j]),(Subscript[v, k])⟩.

Sappiamo che il problema ha sempre soluzione unica. Quindi la matrice deve essere invertibile. La matrice è hermitiana (Subscript[a, j,k])=(OverBar[(Subscript[a, k,j])]). Su uno spazio reale è simmetrica. È definita positiva.

Caso che ci interessa particolarmente: la base (Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),…,(Subscript[v, n]) è ortonormale, cioè

⟨(Subscript[v, j]),(Subscript[v, k])⟩=({{{, ({{1, se j=k,}, {0, se j≠k.}})}})

I conti diventano banali:

(Subscript[λ, k])=⟨x,(Subscript[v, k])⟩ per ogni k=1,…,n

Soluzione: (OverBar[y])=(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[v, k])⟩(Subscript[v, k])

Formula della proiezione ortogonale su un sottospazio generato da una base ortonormale (finita).

Trascrizione della lezione del 24 marzo 2020.

Sia H uno spazio di Hilbert, M un sottospazio a dimensione finita con (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),...,(Subscript[u, n]) una base ortonormale di M. Allora H=M⊕(M^⊥) e la proiezione ortogonale di H su M si scrive così:

(Subscript[P, M])x=(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])

Somma di infiniti vettori. Somma di serie numerica: (∑_(k=1)^∞)(Subscript[a, k])=(lim_(n->∞))(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, k]), limite delle somme parziali. Questo concetto non è adatto alle somme che ci servono ora. Introduciamo un concetto diverso.

Definizione di sommabilità. Sia Λ un insieme astratto di indici (di solito Λ=ℕ), V uno spazio normato, un’applicazione x:Λ->V che indicherò con (Subscript[x, λ]) (di solito la chiameremo famiglia di vettori, indicizzata), e sia s∈V. Allora diremo che la famiglia (Subscript[x, λ]) è sommabile con somma s se accade la cosa seguente:

per ogni ε>0 esiste un sottinsieme finito (Subscript[F, ε])⊆Λ tale che per ogni sottinsieme finito F⊆Λ tale che (Subscript[F, ε])⊆F vale

‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖<ε.

In formule scriveremo s=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ]).

La somma è unica. Se V,W sono spazi normati, A:V->W lineare continua, allora A commuta con la somma, cioè se (Subscript[x, λ])∈V è sommabile con somma s, allora la famiglia A (Subscript[x, λ])∈W è sommabile con somma A s, in formule A(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])=(∑_(λ∈Λ))A (Subscript[x, λ]).

Definizione di condizione di Cauchy per la sommabilità. Sia Λ un insieme astratto di indici, V uno spazio normato, una famiglia (Subscript[x, λ]). Allora diremo che la famiglia (Subscript[x, λ]) ha la proprietà di Cauchy per la sommabilità se accade la cosa seguente:

per ogni ε>0 esiste un sottinsieme finito (Subscript[G, ε])⊆Λ tale che per ogni sottinsieme finito G⊆Λ tale che (Subscript[G, ε])⋂G=∅ vale

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖<ε.

La sommabilità implica la condizione di Cauchy. Supponiamo che (Subscript[x, λ]) sia sommabile con somma s. Fissiamo ε>0. In corrispondenza esisterà un (Subscript[F, ε/2]) finito tale che per ogni F⊇(Subscript[F, ε/2]) vale la disuguaglianza

‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖<(ε/2).

Sia G finito disgiunto da (Subscript[F, ε/2]). Allora sia (Subscript[F, ε/2]) che G⋃(Subscript[F, ε/2]) sono soprainsiemi finiti di (Subscript[F, ε/2]), e quindi la disuguaglianza vale per entrambi, per cui

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖=‖(∑_(λ∈G⋃(Subscript[F, ε/2])))(Subscript[x, λ])-(∑_(λ∈(Subscript[F, ε])))(Subscript[x, λ])‖=‖(∑_(λ∈G⋃(Subscript[F, ε/2])))(Subscript[x, λ])-s+s-(∑_(λ∈(Subscript[F, ε/2])))(Subscript[x, λ])‖≤‖(∑_(λ∈G⋃(Subscript[F, ε/2])))(Subscript[x, λ])-s‖+‖s-(∑_(λ∈(Subscript[F, ε/2])))(Subscript[x, λ])‖<(ε/2)+(ε/2)=ε

Possiamo prendere (Subscript[G, ε])=(Subscript[F, ε/2]).

Per una famiglia con la proprietà di Cauchy, l’insieme degli indici a cui è associato un vettore non nullo è al più numerabile. {λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0} è al più numerabile.

(Subscript[x, λ])=(λ^2), λ∈ℝ non è sommabile per motivi di cardinalità.

Dimostrazione. Sia ε>0, sia (Subscript[G, ε]) data dalla proprietà di Cauchy, (Subscript[λ, 0])∈Λ∖(Subscript[G, ε]). Il singoletto G={(Subscript[λ, 0])} è finito e disgiunto da (Subscript[G, ε]), per cui

ε>‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖=‖(∑_(λ∈{(Subscript[λ, 0])}))(Subscript[x, λ])‖=‖(Subscript[x, (Subscript[λ, 0])])‖.

Ne segue che

‖(Subscript[x, λ])‖≥ε=>λ∈(Subscript[G, ε]).

Torniamo a {λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0}={λ∈Λ:‖(Subscript[x, λ])‖>0}={λ∈Λ:∃n∈ℕ tale che‖(Subscript[x, λ])‖≥1/n}=

(⋃_(n∈ℕ)){λ∈Λ:‖(Subscript[x, λ])‖≥1/n}

{λ∈Λ:‖(Subscript[x, λ])‖≥1/n} è contenuto in {λ∈Λ:λ∈(Subscript[G, ε])}=(Subscript[G, ε])

(⋃_(n∈ℕ)){λ∈Λ:‖(Subscript[x, λ])‖≥1/n}⊆(⋃_(n∈ℕ))(Subscript[G, 1/n])

(Subscript[G, 1/n]) è finito per ogni n, quindi l’unione (⋃_(n∈ℕ))(Subscript[G, 1/n]) è al più numerabile. {λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0} è contenuto in tale unione, e quindi è al più numerabile.

La condizione di Cauchy implica la sommabilità, quando lo spazio V è completo.

Dimostrazione. Sia (Subscript[x, λ]) una famiglia di vettori con la proprietà di Cauchy. Per la proprietà precedente,  l’insieme {λ∈Λ:(Subscript[x, λ])≠0}=(Subscript[Λ, 0]) è al più numerabile. Se per caso è finito la situazione è banale. Procediamo supponendo che (Subscript[Λ, 0]) sia numerabile. Esiste φ:ℕ->(Subscript[Λ, 0]) biiettiva.

Consideriamo la successione delle somme parziali della serie (∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[x, φ(k)]). Le somme parziali sono

(Subscript[s, n])=(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, φ(k)]). Dico che (Subscript[s, n]) è una successione di Cauchy in V, nel senso delle successioni in spazi metrici.

Dimostriamolo. Sia ε>0 e (Subscript[G, ε]) dato dalla proprietà di Cauchy che vale per ipotesi. Possiamo supporre che (Subscript[G, ε])⊆(Subscript[Λ, 0]), eventualmente gettando via vettori nulli. Consideriamo (φ^(-1))((Subscript[G, ε]))⊂ℕ, finito. Sia (Subscript[N, ε])=max(φ^(-1))((Subscript[G, ε])). Osserviamo che n>(Subscript[N, ε])=>φ(n)∉(Subscript[G, ε]). Prendiamo n>m>(Subscript[N, ε]). Poniamo G={φ(m+1),φ(m+2),...,φ(n)}. Questo è disgiunto da (Subscript[G, ε]). Allora

‖(Subscript[s, n])-(Subscript[s, m])‖=‖(∑_(k=1)^n)(Subscript[x, φ(k)])-(∑_(k=1)^m)(Subscript[x, φ(k)])‖=‖(∑_(k=m+1)^n)(Subscript[x, φ(k)])‖=‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖<ε. Questa è la proprietà di Cauchy per le successioni nello spazio normato.

V per ipotesi è completo come spazio metrico. Quindi (Subscript[s, n]) converge a un qualche s∈V. Si tratta di dimostrare che la famiglia è sommabile con somma questo s.

Il resto della dimostrazione è riportata sulle dispense.

Caso particolare importante: V=ℝ, (Subscript[x, λ])≥0. Poniamo

s=sup{(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ]):F sottinsieme finito di Λ}∈[0,+∞] (se Λ≠∅).

Allora la famiglia (Subscript[x, λ]) è sommabile se e solo se s<+∞, e in tal caso la somma è proprio s.

Questa proprietà ci dà una definizione alternativa di somma infinita nel caso di somma di numeri positivi. Possiamo porre (∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ]):=sup{(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ]):F sottinsieme finito di Λ}, e la sommabilità equivale a chiedere che (∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])<+∞.

Trascrizione della lezione del 25 marzo 2020.

Condizione di convergenza assoluta: (∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞ (definizione).

Proposizione: Se V è uno spazio normato e (Subscript[x, λ]) è una famigliaa di vettori per la quale vale la condizione di convergenza assoluta, allora la famiglia è di Cauchy per la sommabilità. Se lo spazio è completo, la famiglia è sommabile.

Dimostrazione. Poniamo r=(∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞. Per ipotesi 0≤r<+∞. Fissiamo ε>0. Per definizione di estremo superiore, Esiste (Subscript[G, ε]) finito tale che

(∑_(λ∈(Subscript[G, ε])))‖(Subscript[x, λ])‖>r-ε.

Sia G disgiunto da (Subscript[G, ε]). Allora

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖≤(∑_(λ∈G))‖(Subscript[x, λ])‖=(∑_(λ∈G⋃(Subscript[G, ε])))‖(Subscript[x, λ])‖-(∑_(λ∈(Subscript[G, ε])))‖(Subscript[x, λ])‖≤r-(∑_(λ∈(Subscript[G, ε])))‖(Subscript[x, λ])‖<r-(r-ε)=ε.

Quindi vale la proprietà di Cauchy per la somma dei vettori. CVD.

Quando V=ℝ, condizione necessaria e sufficiente affinché la famiglia (Subscript[x, λ])∈ℝ sia sommabile è che valga la convergenza assoluta, cioè (∑_(λ∈Λ))|(Subscript[x, λ])|<+∞. In tal caso

(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])=(∑_(λ∈Λ,(Subscript[x, λ])≥0))(Subscript[x, λ])-(∑_(λ∈Λ,(Subscript[x, λ])<0))(-(Subscript[x, λ]))

La sommabilità non è la stessa cosa della convergenza semplice delle serie numeriche. Per esempio, la serie armonica a segni alterni 1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+...=log 2, converge nel senso semplice, cioè la successione delle somme parziali converge. Non c’è convergenza assoluta, cioè 1+|-(1/2)|+(1/3)+|-(1/4)|+(1/5)+|-(1/6)|+...=+∞. La serie armonica a segni alterni non è sommabile.

Fatto notevole: fissato un qualsiasi α∈[-∞,+∞], esiste una φ:ℕ->ℕ biiettiva tale che la serie (∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[a, φ(k)]) (dove (Subscript[a, n])=(((-1))^(n+1))/n) ha somma α (nel senso della convergenza semplice). In altre parole non vale la proprietà commutativa delle serie che convergono in senso semplice ma non assoluto.

Per la sommabilità vale la proprietà commutativa: se φ:Λ->Λ è una permutazione degli indici, e (Subscript[x, λ])∈V è sommabile con somma s, anche (Subscript[x, φ(λ)]) è sommabile con la stessa somma. Il concetto di sommabilità non dipende da un eventuale ordine nell’insieme degli indici.

Esercizio: se ho due norme equivalenti su V, la sommabilità per una implica la sommabilità per l’altra, con la stessa somma.

Più in generale, quando V=(ℝ^n) o (ℂ^n), cioè in dimensione finita, condizione necessaria e sufficiente affinché la famiglia (Subscript[x, λ])∈ℝ sia sommabile è che valga la convergenza assoluta, cioè (∑_(λ∈Λ))‖(Subscript[x, λ])‖<+∞.

Novità in dimensione infinita: la sommabilità può valere senza che valga la convergenza assoluta.

Esempio 1. (ℓ^p) è lo spazio delle successioni x=(x(1),x(2),x(2),…,x(n),…), x:ℕ->ℝ, con la norma (Subscript[‖x‖, p])=((((∑_(n∈ℕ))((|x(n)|)^p)))^(1/p)), 1<p<+∞. In questo spazio ci sono famiglie sommabili per le quali non vale la convergenza assoluta. Per esempio:

(Subscript[x, 1])=(1,0,0,0,0,0,...)
(Subscript[x, 2])=(0,1/2,0,0,0,0,...)
(Subscript[x, 3])=(0,0,1/3,0,0,0,...)
(Subscript[x, 4])=(0,0,0,1/4,0,0,...)
...
(Subscript[x, n])=(0,0,0,...,0,1/n,0,0,...)

Il candidato a essere la somma è

s=(1,1/2,1/3,1/4,1/5,...)

Dimostriamo che la famiglia (Subscript[x, n]) è sommabile con somma s. Sia ε>0. Dalla teoria delle serie numeriche sappiamo che (∑_(n∈ℕ))(1/(n^p)) converge, e quindi esiste (Subscript[N, ε])∈ℕ tale che (∑_(n>(Subscript[N, ε])))(1/(n^p))<(ε^p). Poniamo (Subscript[F, ε])={1,2,3,...,(Subscript[N, ε])}. Se F⊇(Subscript[F, ε]) è un soprainsieme finito, allora

(Subscript[‖s-(∑_(n∈F))(Subscript[x, n])‖, p]^p)=(∑_(n∈ℕ\F))(1/(n^p))≤(∑_(n∈ℕ\(Subscript[F, ε])))(1/(n^p))=(∑_(n>(Subscript[N, ε])))(1/(n^p))<(ε^p). Quindi la famiglia è sommabile con somma s.

La somma delle norme degli (Subscript[x, n]) diverge:

(∑_(k∈ℕ))(Subscript[‖(Subscript[x, n])(k)‖, p])=(∑_(n∈ℕ))((((∑_(k∈ℕ))((|(Subscript[x, n])(k)|)^p)))^(1/p))=(∑_(n∈ℕ))(1/n)=+∞.

La sommabilità non implica la convergenza assoluta, in dimensione infinita.

Altro esempio:

Questa successione di (Subscript[f, n]):[0,1]->ℝ continue, si possono considerare nello spazio normato C[0,1] con la norma del sup. Se facciamo la somma delle norme (∑_(n=1)^(+∞))sup |(Subscript[f, n])|=(∑_(n=1)^(+∞))(1/n)=+∞. Non c’è convergenza assoluta. Però la famiglia è sommabile con somma s.

Nel caso in cui V=ℝ esiste anche un terzo approccio possibile alle somme infinite: è quello di dotare Λ di struttura di spazio di misura con la misura del conteggio (counting measure), #(A)=({{{, ({{cardinalità di A, se Aè finito}, {+∞, se Aè infinito}})}})

Quando ho una misura positiva ho anche l’integrale associato e lo spazio (ℓ^1)(Λ). Posso definire

(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])=(∫_Λ)xd# se x è in (ℓ^1)(Λ). Questa nozione coincide con la sommabilità.

Nel caso in cui V=ℝ ci sono ben tre nozioni di somma infinita, equivalenti fra loro.

Trascrizione della lezione del 31 marzo 2020.

Dato uno spazio con prodotto scalare V e una famiglia di vettori {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}. La famiglia è detta ortogonale se i vettori sono a due a due ortogonali. La famiglia è detta ortonormale se oltre a essere ortogonale è anche fatta di soli versori, con norma 1. Invece che parlare di famiglia diremo spesso sistema ortonormale.

Vale un teorema di Pitagora generalizzato a un numero infinito di vettori ortogonali:

Proposizione. Sia H uno spazio di Hilbert, {(Subscript[x, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortogonale. Allora la famiglia è sommabile se e solo se (∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2)<+∞. Se valgono queste condizioni allora

((‖(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2).

È come se la norma quadra fosse lineare (più precisamente, additiva), cioè si distribuisce su una somma.

Dimostrazione. Supponiamo che valga la proprietà di Cauchy per la famiglia {(Subscript[x, λ]):λ∈Λ}. Fissiamo ε>0 e sia (Subscript[G, ε]) dato dalla definizione di proprietà di Cauchy. Prendiamo G finito disgiunto da (Subscript[G, ε]):

‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖<ε. Eleviamo al quadrato: ((‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖)^2)<(ε^2). Svolgiamo il quadrato della somma: ((‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈G))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2)+ i doppi prodotti, però i doppi prodotti sono tutti nulli perché i vettori sono a due a due ortogonali:

(ε^2)>((‖(∑_(λ∈G))(Subscript[x, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈G))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2). Questo dimostra che la famiglia di scalari {((‖(Subscript[x, λ])‖)^2):λ∈Λ} ha la proprietà di Cauchy. Il viceversa per esercizio.

Supponiamo ora che la famiglia di vettori sia sommabile con somma s. Fissiamo ε>0 e sia (Subscript[F, ε]) come da definizione di sommabilità. Sia F⊇(Subscript[F, ε]) finito. Possiamo scrivere, usando le note formule

(a^2)-(b^2)=(a+b)(a-b) |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖,

|((‖s‖)^2)-(∑_(λ∈F))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2)|=|((‖s‖)^2)-((‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)^2)|=|‖s‖-‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖|·(‖s‖+‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)≤
‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖·(‖s‖+‖(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)=‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖·(‖s‖+‖s-(s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ]))‖)≤
‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖·(‖s‖+‖s‖+‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖)≤‖s-(∑_(λ∈F))(Subscript[x, λ])‖·(2‖s‖+ε)≤
ε·(2‖s‖+ε)

Resta dimostrata l’uguaglianza ((‖(∑_(λ∈Λ))(Subscript[x, λ])‖)^2)=(∑_(λ∈Λ))((‖(Subscript[x, λ])‖)^2). CVD

Proposizione. Sia H di Hilbert, {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortonormale e x∈H. Allora la somma

(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]) ha la proprietà di Cauchy, cioè è sommabile.

Dimostrazione. Sia F un sottinsieme finito di Λ, sia (Subscript[M, F])=span{(Subscript[x, λ]):λ∈F}. Allora, dato che i vettori sono a due a due ortogonali,

(∑_(λ∈F))((‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=((‖(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=((‖(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖)^2)≤((‖x‖)^2). Prendiamo il sup al variare di F e otteniamo (∑_(λ∈Λ))((‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)≤((‖x‖)^2)<+∞. Per la proposizione precedente, la famiglia di vettori ortogonali (∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]) ha la proprietà di Cauchy.

Prendiamo le cose da un punto di vista più astratto. Sia H di Hilbert, {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortonormale,  e x∈H. Definiamo (OverHat[x]) una funzione Λ->ℂ così: (OverHat[x])(λ):=⟨x,(Subscript[u, λ])⟩. Lo scalare (OverHat[x])(λ) sarà detto coefficiente di Fourier di x (rispetto al sistema ortonormale).

Dico che (OverHat[x])∈(ℓ^2)(Λ). Infatti

(Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)]^2)=(∫_Λ)((|(OverHat[x])|)^2)d#=(∑_(λ∈Λ))((|(OverHat[x])(λ)|)^2)=(sup_F)(∑_(λ∈F))((|(OverHat[x])(λ)|)^2)=(sup_F)(∑_(λ∈F))((|⟨x,(Subscript[u, λ])⟩|)^2)=
(sup_F)(∑_(λ∈F))((‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=(sup_F)((‖(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖)^2)=(sup_F)((‖(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖)^2)≤(Subscript[‖x‖, H]^2).

In particolare (Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)])<+∞, e (OverHat[x])∈(ℓ^2)(Λ). L’applicazione x↦(OverHat[x]) è lineare H->(ℓ^2)(Λ). È continua perché (Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)])≤(Subscript[‖x‖, H]). È anche suriettiva.

Prendiamo un a∈(ℓ^2)(Λ). Consideriamo la somma di vettori di H: (∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]). Questa è una somma ortogonale, ed è sommabile per ipotesi perché la somma delle norme quadre è la norma quadra in (ℓ^2)(Λ) di a. Chiamiamo s=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]). Calcoliamo

(OverHat[s])((Subscript[λ, 0]))=⟨s,(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=⟨(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩. Il prodotto scalare con un vettore fisso è un funzionale lineare continuo, e quindi commuta con la somma infinita:

(OverHat[s])((Subscript[λ, 0]))=⟨s,(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=⟨(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(∑_(λ∈Λ))⟨(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[a, λ])⟨(Subscript[u, λ]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(Subscript[a, (Subscript[λ, 0])])⟨(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])]),(Subscript[u, (Subscript[λ, 0])])⟩=(Subscript[a, (Subscript[λ, 0])])

È dimostrato che (OverHat[s])=a. Questo dimostra che l’applicazione x↦(OverHat[x]) è suriettiva su (ℓ^2)(Λ).

Teorema della formula della proiezione ortogonale su un sottospazio generato da un sistema ortonormale.

Sia H di Hilbert, {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortonormale e x∈H. Sia M la chiusura del sottospazio vettoriale generato dalla famiglia ortonormale. Allora (Subscript[P, M])x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]).

Lemma. Sia H di Hilbert, C un convesso chiuso non vuoto, x∈H,

d=dist(x,C)=(inf_(y∈C))‖x-y‖, e sia ε>0. Allora esiste δ>0 tale che:

per ogni (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C, (‖x-(Subscript[y, 1])‖<d+δ e ‖x-(Subscript[y, 2])‖<d+δ)=>‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖<ε.

Dimostrazione. Nella dimostrazione del teorema della minima distanza avevamo ottenuto la disuguaglianza ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4(d^2), valida per ogni (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈C. Per il momento lasciamo δ incognito e supponiamo che valgano

(‖x-(Subscript[y, 1])‖<d+δ e ‖x-(Subscript[y, 2])‖<d+δ). Sostituiamo:

((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)≤2((‖x-(Subscript[y, 1])‖)^2)+2((‖x-(Subscript[y, 2])‖)^2)-4(d^2)<2(((d+δ))^2)+2(((d+δ))^2)-4(d^2)=
2(d^2)+4d δ+2(δ^2)+2(d^2)+4d δ+2(δ^2)-4(d^2)=8d δ+4(δ^2)

Condizione sufficiente perché ‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖<ε è che ((‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖)^2)<8d δ+4(δ^2)≤(ε^2).

Risolviamo la disequazione 8d δ+4(δ^2)<(ε^2) rispetto a δ. Completiamo il quadrato:

8d δ+4(δ^2)<(ε^2)⟺2d δ+(δ^2)<((ε^2)/4)⟺(d^2)+2d δ+(δ^2)<(d^2)+((ε^2)/4)⟺
(((d+δ))^2)<(d^2)+((ε^2)/4)⟺d+δ<(Sqrt[(d^2)+((ε^2)/4)])⟺δ≤(Sqrt[(d^2)+((ε^2)/4)])-d

In definitiva possiamo prendere δ=(Sqrt[(d^2)+((ε^2)/4)])-d.

Trascrizione della lezione del 1 aprile 2020.

Teorema della formula della proiezione ortogonale su un sottospazio generato da un sistema ortonormale.

Sia H di Hilbert, {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortonormale e x∈H. Sia M la chiusura del sottospazio vettoriale generato dalla famiglia ortonormale. Allora (Subscript[P, M])x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]).

Dimostrazione. Sia d=dist(x,M). Sia ε>0. Il lemma precedente associa un δ>0 con le proprietà che per ogni (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])∈M,

(‖x-(Subscript[y, 1])‖<d+δ e ‖x-(Subscript[y, 2])‖<d+δ)=>‖(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])‖<ε.

Dato che (Subscript[P, M])x∈M, che è la chiusura del sottospazio generato, esiste un elemento del sottospazio generato che dista da (Subscript[P, M])x meno di δ, cioè esiste una combinazione lineare finita

z=(Subscript[a, 1])(Subscript[u, (Subscript[λ, 1])])+(Subscript[a, 2])(Subscript[u, (Subscript[λ, 2])])+...+(Subscript[a, n])(Subscript[u, (Subscript[λ, n])]) con gli (Subscript[a, k]) scalari, tale che ‖(Subscript[P, M])x-z‖<δ. Per la disuguaglianza triangolare ‖x-z‖≤‖x-(Subscript[P, M])x‖+‖(Subscript[P, M])x-z‖<d+δ. Poniamo (Subscript[F, ε])={(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),...,(Subscript[λ, n])}, che è un sottinsieme finito di Λ. Prendiamo un qualsiasi soprainsieme finito F di (Subscript[F, ε]). Chiamiamo (Subscript[M, F]) il sottospazio generato da {(Subscript[u, λ]):λ∈F}, che ha dimensione finita. Abbiamo che z∈(Subscript[M, F]). Quindi z dista da x non meno di quanto dista la proiezione di x su (Subscript[M, F]):

‖x-(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖≤‖x-z‖<d+δ. Abbiamo quindi: (Subscript[M, F])⊆M,

‖x-(Subscript[P, M])x‖=d<d+δ e ‖x-(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x‖<d+δ.

Segue che ‖(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x-(Subscript[P, M])x‖<ε. Ora abbiamo una formula esplicita per

(Subscript[P, (Subscript[M, F])])x=(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]). Sostituendo:

per ogni ε>0 esiste (Subscript[F, ε]) finito tale che per ogni soprainsieme finito F si ha che

‖(Subscript[P, M])x-(∑_(λ∈F))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖<ε. Per definizione di sommabilità, la somma (∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]) è sommabile con somma (Subscript[P, M])x. CVD

Basi hilbertiane.

Teorema della caratterizzazione delle basi hilbertiane. Sia H uno spazio di Hilbert, {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} una famiglia ortonormale, sia M la chiusura dello span{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}. Allora si equivalgono le condizioni seguenti:

Definizione: un sistema ortonormale con queste proprietà è chiamata base hilbertiana, o semplicemente base, sistema ortonormale completo, sistema ortonormale massimale.

Dimostrazione.

1⇒2. Facciamo la contronominale non 2⇒non 1 . Supponiamo che lo span non sia denso in H. Poiché lo span è denso in M, abbiamo che M non è denso in H. Dal teorema della proiezione ortogonale sappiamo che H=M⊕(M^⊥). Ne segue che (M^⊥)≠{0}. Quindi in (M^⊥) ci sono vettori non nulli. Prendiamone uno z∈(M^⊥)\ {0}. Possiamo supporre che z sia un versore, se no lo normalizziamo. Questo z è ortogonale a tutti i vettori di M. In particolare è ortogonale a tutti i vettori (Subscript[u, λ]) della famiglia. Se noi alla famiglia {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} aggiungiamo z otteniamo una nuova famiglia ancora ortonormale: {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ}⋃{z}, che contiene propriamente la famiglia di partenza, la quale quindi non è massimale fra tutte le famiglie ortonormali.

2⇒3. Supponiamo che span{(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} sia denso in H. In particolare H=M, e quindi la proiezione ortogonale su M è semplicemente l’identità. Il vettore di H più vicino a x è ovviamente x stesso. Quindi dalla formula della proiezione ortogonale abbiamo che

x=(Subscript[P, H])x=(Subscript[P, M])x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]), che è la 3.

3⇒4. Supponiamo che per ogni x∈H valga x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]). Possiamo applicare il teorema di Pitagora generalizzato:

(Subscript[‖x‖, H]^2)=(Subscript[‖(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖, H]^2)=(∑_(λ∈Λ))(Subscript[‖⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ])‖, H]^2)=(∑_(λ∈Λ))((|⟨x,(Subscript[u, λ])⟩|)^2)=(∑_(λ∈Λ))((|(OverHat[x])(λ)|)^2)=(∫_Λ)((|(OverHat[x])|)^2)d#=(Subscript[‖(OverHat[x])‖, (ℓ^2)(Λ)]^2)

Quindi l’applicazione x↦(OverHat[x]) conserva la norma, cioè è un’isometria di spazi normati.

4⇒5. Supponiamo che x↦(OverHat[x])  conservi la norma. Andiamo a ripescare l’identità di polarizzazione:

⟨x,y⟩=((((‖x+y‖)^2)-((‖x-y‖)^2))/4)+i((((‖i x+y‖)^2)-((‖i x-y‖)^2))/4), che vale in ogni spazio con prodotto scalare, in particolare vale sia in H che in (ℓ^2)(Λ). Teniamo conto che l’applicazione x↦(OverHat[x]) è lineare:

(Subscript[⟨x,y⟩, H])=(((Subscript[‖x+y‖, H]^2)-(Subscript[‖x-y‖, H]^2))/4)+i(((Subscript[‖i x+y‖, H]^2)-(Subscript[‖i x-y‖, H]^2))/4)=
(((Subscript[‖(Overscript[x+y, (OverHat[⏞])])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖(Overscript[x-y, (OverHat[⏞])])‖, (ℓ^2)]^2))/4)+i(((Subscript[‖(Overscript[i x+y, (OverHat[⏞])])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖(Overscript[i x-y, (OverHat[⏞])])‖, (ℓ^2)]^2))/4)=
(((Subscript[‖(OverHat[x])+(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖(OverHat[x])-(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2))/4)+i(((Subscript[‖i (OverHat[x])+(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2)-(Subscript[‖i (OverHat[x])-(OverHat[y])‖, (ℓ^2)]^2))/4)=
(Subscript[⟨(OverHat[x]),(OverHat[y])⟩, (ℓ^2)]).

In generale, se un’applicazione lineare conserva la norma, allora conserva anche il prodotto scalare che genera la norma.

5⇒1. Oppure la contronominale non 1⇒non 5. Supponiamo quindi che il sistema {(Subscript[u, λ]):λ∈Λ} non sia massimale. Esiste almeno un altro sistema ortonormale che lo contiene propriamente. Ma allora esiste un versore z∈H ortogonale a tutti gli (Subscript[u, λ]). Facciamo il conto

(Subscript[⟨z,z⟩, H])=(Subscript[‖z‖, H]^2)=1, (Subscript[⟨(OverHat[z]),(OverHat[z])⟩, (ℓ^2)])=(∫_Λ)(OverHat[z])·(OverBar[(OverHat[z])])d#=(∑_(λ∈Λ))(OverHat[z])(λ)(OverBar[(OverHat[z])(λ)])=(∑_(λ∈Λ))⟨z,(Subscript[u, λ])⟩(OverBar[⟨z,(Subscript[u, λ])⟩])=(∑_(λ∈Λ))0=0. Quindi il prodotto scalare non è conservato.

4⇒6. Supponiamo che  x↦(OverHat[x]), che è lineare, conservi la norma. Per dimostrare che è iniettiva, basta dimostrare che il nucleo è il solo zero, cioè che (OverHat[x])=0=>x=0. Poiché (OverHat[x]) e x hanno la stessa norma per la 4, questo è ovvio.

6⇒1. Contronominale non 1=>non 6. Abbiamo visto che dalla non 1 segue che esiste un versore z∈H tale che (Subscript[⟨(OverHat[z]),(OverHat[z])⟩, (ℓ^2)])=0, cioè (OverHat[z])=0.  Quindi l’applicazione lineare x↦(OverHat[x]) ha nucleo non il solo zero, e quindi non è iniettiva. CVD

Dal primo anno conosciamo il concetto di base (vettoriale): una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori tale che ogni vettore dello spazio è combinazione lineare finita di elementi della base in modo unico: x=(∑_(λ∈F))(Subscript[a, λ])(Subscript[u, λ]) con F sottinsieme finito di Λ.

Con una base hilbertiana ogni vettore dello spazio è combinazione lineare infinita (in genere) di elementi della base, nel senso delle somme infinite: x=(∑_(λ∈Λ))⟨x,(Subscript[u, λ])⟩(Subscript[u, λ]). Sappiamo che l’insieme dei λ tali che l’addendo è non nullo è al più numerabile, e quindi la combinazione lineare infinita in realtà è al più numerabile (l’insieme dei λ cambia da x in x).

Il concetto di base vettoriale è moralmente inutile quando si ha a che fare con uno spazio normato completo (Banach) in dimensione infinita: in tal caso la cardinalità di ogni base vettoriale è necessariamente più che numerabile, e l’unico modo di ottenerla è usare l’assioma di scelta. Non è nota nessuna base vettoriale esplicita di uno spazio di  Banach in dimensione infinita.

Lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali o complessi ha dimensione infinita, e ha una base vettoriale esplicita numerabile: i monomi 1,x,(x^2),(x^3)..., però lo spazio vettoriale dei polinomi non è completo in nessun senso.

Il fatto notevole e utilissimo è che anche in dimensione infinita basi hilbertiane numerabili esplicite sono ben note, abbondanti e ci si possono fare calcoli.

Trascrizione della lezione del 7 aprile 2020.

Teorema. Se lo spazio di Hilbert H è separabile, cioè se ammette un sottinsieme numerabile denso, allora ha una base hilbertiana al più numerabile. Anche viceversa.

Dimostrazione. Il viceversa è facile: se {(Subscript[u, n]):n∈ℕ} è una base hilbertiana (al più) numerabile, allora la famiglia delle combinazioni lineari finite di elementi della base con coefficienti razionali (o razionali complessi), è chiaramente densa in H ed è numerabile.

Sia {(Subscript[x, n]):n∈ℕ} un sottinsieme numerabile denso. Possiamo applicare l’ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, gettando via i vettori che sono combinazioni lineari dei precedenti. Viene una base hilbertiana.

Per spazi di Hilbert non separabili, bisogna invocare l’assioma di scelta se vogliamo dimostrare che ammettono basi hilbertiane.

Principio di massimalità di Hausdorff (versione equivalente dell’assioma di scelta). Ogni insieme parzialmente ordinato e non vuoto contiene un sottinsieme totalmente ordinato massimale (che non può essere ingrandito rimanendo totalmente ordinato).

Teorema generale dell’esistenza delle basi hilbertiane. Ogni sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert si può estendere a una base hilbertiana.

Dimostrazione. Tratteremo i sistemi ortonormali come insiemi di vettori, invece che come famiglie indicizzate, per semplicità. Sia B un sistema ortonormale nello spazio di Hilbert H. Sia 𝒞 l’insieme di tutti i sistemi ortonormali in H che contengono B. Questo 𝒞 è non vuoto, perché contiene almeno B. Inoltre è parzialmente ordinato per inclusione. Per il principio di massimalità di Hausdorff esiste in 𝒞 un sottinsieme totalmente ordinato massimale per inclusione. Chiamiamolo Ω. Questo Ω è un insieme totalmente ordinato per inclusione di famiglie otronormali, ciascuna delle quali contiene B, e tale che non gli si può aggiungere nessun sistema ortonormale in modo che rimanga totalmente ordinato. Gli elementi di  Ω sono insiemi di vettori. Facciamo l’unione di tutti questi insiemi di vettori e chiamiamola S. Questo S è un sistema ortonormale ed è massimale per inclusione. Dimostrazione per esercizio.

Basi hilbertiane esplicite e utili di spazi di Hilbert concreti.

(ℓ^2)(ℕ), spazio delle successioni (x(1),x(2),x(3),...) con la norma di (ℓ^2)(ℕ), la radice della somma dei valori assoluti quadrati. Una base hilbertiana è semplicemente formata dalle successioni tutte di zeri eccetto per un singolo 1: (1,0,0,0,0,...), (0,1,0,0,0,...), (0,0,1,0,0,...) ecc. Verifica per esercizio. Nel caso di (ℓ^2)({1,2,...,n}), viene la base canonica di (ℂ^n).

Uno spazio di Hilbert concreto e importante nelle applicazioni è (L^2)(ℝ), con la misura di Lebesgue. La più semplice base hilbertiana nota di questo spazio è stata trovata da Haar attorno al 1910, chiamata la base delle ondine di Haar (wavelets). Ci sono delle varianti. La più semplice da scrivere parte dalla seguente ondina madre:

ψ(t)=({{{, ({{1, se 0≤t<1/2}, {-1, se 1/2≤t<1}, {0, altrimenti}})}})

Dall’ondina madre si genera una famiglia di discendenti in questo modo:

(Subscript[ψ, n,m])(t)=(2^(n/2))ψ((2^n)t-m).

Calcoliamo il supporto di (Subscript[ψ, n,m]):

(Subscript[ψ, n,m])(t)≠0⟺0≤(2^n)t-m<1⟺m≤(2^n)t<m+1⟺(m/(2^n))≤t<((m+1)/(2^n))

il supporto è l’intervallo [(m/(2^n)),((m+1)/(2^n))].

Ebbene, se prendiamo la famiglia {(Subscript[ψ, n,m]):n,m∈ℤ}, questa è una base hilbertiana di (L^2)(ℝ) (ondine di Haar).

Piccolo difetto: la funzione a gradino che vale 1 su [0,1] richiede una combinazione lineare infinita di queste ondine. (Subscript[⟨(Subscript[χ, [0,1]]),(Subscript[ψ, n,m])⟩, (L^2)])≠0 per infinite coppie n,m.

Per agevolare le cose si può introdurre una seconda ondina madre: φ=(Subscript[χ, [0,1[]). Questa genera ondine figlie per sola traslazione: (Subscript[φ, m])(t)=φ(t-m).

Se prendiamo {(Subscript[φ, m]):m∈ℤ}⋃{(Subscript[ψ, n,m]):n,m∈ℤ,n≥0}, questa è anch’essa una base hilbertiana di (L^2)(ℝ).

Un altro spazio importante per le applicazioni è (L^2)([0,2π]). Da almeno due secoli è nota la base hilbertiana di Fourier, la base trigonometrica:

{(1/(Sqrt[2π]))sen(n t):n=1,2,3,...}⋃{(1/(Sqrt[2π]))cos(n t):n=0,1,2,3,...}.

Questo chiude il capitolo sugli spazi di Hilbert.

Operatori compatti

Ripasso sui compatti. Uno spazio topologico si dice compatto se da ogni suo ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito.

Passando agli spazi metrici, ci sono altre due caratterizzazioni degli spazi compatti:

Un insieme totalmente limitato lo chiameremo anche precompatto. È noto che se uno spazio  metrico è completo, un sottinsieme è precompatto se e solo se la sua chiusura è compatta.

Esercizio: un insieme è precompatto se e solo se da ogni successione si può estrarre una sottosuccessione di Cauchy.

Sappiamo che in (ℝ^n) un sottinsieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

In uno spazio normato a dimensione infinita esistono sottinsiemi chiusi e limitati ma non compatti.

Esempio semplice:

(ℓ^2)(ℕ), spazio delle successioni (x(1),x(2),x(3),...) con la norma di (ℓ^2)(ℕ), la radice della somma dei valori assoluti quadrati. Una base hilbertiana è semplicemente formata dalle successioni tutte di zeri eccetto per un singolo 1: (1,0,0,0,0,...), (0,1,0,0,0,...), (0,0,1,0,0,...) ecc. Questa base hilbertiana è una successione di versori, quindi è limitata, è contenuta nella palla chiusa di centro l’origine e raggio 1. Inoltre due vettori distinti di questa base distano fra loro (Sqrt[2]). Quindi questa successione è un chiuso. Inoltre non esistono sottosuccessioni di Cauchy, e tanto meno convergenti.

L’idea di questo esempio si estende a spazi normati generici.

Lemma. Sia V uno spazio normato ed M un sottospazio vettoriale chiuso contenuto strettamente in V. Allora esiste un versore (OverBar[z])∈V∖M che dista almeno 1/2 da ogni elemento di M.

Dimostrazione. Se V fosse di Hilbert, basterebbe prendere un versore in (M^⊥). Nel caso di spazio normato prendiamo un (OverBar[y])∈V∖M. Poiché M è chiuso, (OverBar[y]) ha distanza positiva da M: d=dist((OverBar[y]),M)>0. Fissiamo ε>0. Esiste un punto (OverBar[x])∈M tale che ‖(OverBar[x])-(OverBar[y])‖<d+ε. Poniamo

(OverBar[z])=(((OverBar[y])-(OverBar[x]))/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖)). Questo è un versore. Quanto dista (OverBar[z]) da M? Prendiamo un x∈M generico.

‖(OverBar[z])-x‖=‖(((OverBar[y])-(OverBar[x]))/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))-x‖=‖(((OverBar[y])-(OverBar[x])-‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x)/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖=(1/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖(OverBar[y])-(OverBar[x])-‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x‖=(1/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖(OverBar[y])-((OverBar[x])+‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x)‖

Osserviamo che ((OverBar[x])+‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x)∈M. ‖(OverBar[y])-((OverBar[x])+‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x)‖ è la distanza fra (OverBar[y]) e un elemento di M, quindi è ≥d.

‖(OverBar[z])-x‖=(1/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))‖(OverBar[y])-((OverBar[x])+‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖x)‖≥(d/(‖(OverBar[y])-(OverBar[x])‖))≥(d/(d+ε)). Basta prendere ε=d.

Osservare che al posto di 1/2 potevamo prendere un qualsiasi numero <1.

Proposizione. Se V è uno spazio normato di dimensione infinita, esiste un sottinsieme chiuso, limitato e non (pre)compatto.

Dimostrazione. Esiste una successione (Subscript[x, n]) di vettori linearmente indipendenti. Sia (Subscript[M, n]) il sottospazio generato dai primi n vettori. Questo è un sottospazio vettoriale chiuso. Prendiamo (Subscript[(OverBar[y]), 1])=(Subscript[x, 1])/‖(Subscript[x, 1])‖, e poi per induzione esiste (Subscript[(OverBar[y]), n+1])∈(Subscript[M, n+1]) che dista almeno 1/2 da (Subscript[M, n]) per il lemma precedente. La successione degli (Subscript[(OverBar[y]), n]) è limitata, chiusa ma non ha sottosuccessioni di Cauchy perché gli elementi distano almeno 1/2 uno dall’altro.

Trascrizione della lezione dell’8 aprile 2020.

psi[t_]=Piecewise[{{1,0≤t<1/2},{-1,1/2≤t<1}},0];
phi[t_]=Piecewise[{{1,0≤t<1}},0];
Manipulate[Plot[If[funzione===psi,2^(n/2)psi[(2^n)t-m],phi[t-m]],{t,-10,10},Exclusions->If[funzione===psi,{(m+0)/(2^n),(m+1/2)/(2^n),(m+1)/(2^n)},{m,m+1}],Filling->Axis,PlotRange->If[pltRng===Automatic,If[funzione===psi,{{(m-1)/(2^n),(m+2)/(2^n)},2^(n/2)1.1{-1,1}},{{m-1,m+2},{-2,2}}],pltRng{{-1,1},{-1,1}}],PlotPoints->50+10Max[0,n],Epilog->Text[Style[TraditionalForm@If[funzione===psi,(Subscript[ψ, n,m]),(Subscript[φ, m])],20],Scaled[{1,1}],{1,1}],BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->12}],
{funzione,{phi,psi}},
{{n,0,"n, riscalamento"},-3,3,1,SetterBar},{{m,0,"m, traslazione"},-5,5,1,SetterBar},{pltRng,{Automatic,5,10}},SaveDefinitions->True]

Corollario. In uno spazio normato a dimensione infinita, un sottinsieme compatto ha sempre parte interna vuota.

Dimostrazione. Sia A un sottinsieme con parte interna non vuota. Dimostriamo che non è (pre)compatto. Esiste una palla di centro (Subscript[x, 0]) e raggio ε>0 tutta contenuta in A. Nella dimostrazione precedente avevamo una successione di versori (Subscript[(OverBar[y]), n]) che distavano almeno 1/2 uno dall’altro. Consideriamo (Subscript[y, n])=(Subscript[x, 0])+(ε/2)(Subscript[(OverBar[y]), n]). Questa successione per costruzione è dentro la palla, e quindi dentro A, e inoltre i suoi elementi distano uno dall’altro almeno ε/4. Quindi non ha nessuna sottosuccessione di Cauchy.

Proposizione. I sottospazi a dimensione finita di uno spazio normato sono omeomorfi a un (ℝ^n) o un (ℂ^n).

Lemma. Sia V uno spazio normato, M un sottospazio vettoriale chiuso, (OverBar[y])∈V∖M. Poniamo M'=span M⋃{(OverBar[y])}. Naturalmente M'=M⊕ℂ(OverBar[y]), e alla somma diretta sono associate le proiezioni (Subscript[φ, 1]):M'->M, (Subscript[φ, 2]):M'->ℂ, di modo che per ogni x∈M', x=(Subscript[φ, 1])(x)+(Subscript[φ, 2])(x)(OverBar[y]). Allora  (Subscript[φ, 1]),(Subscript[φ, 2]) sono continue.

Dimostrazione. Poiché M è chiuso, consideriamo d=dist((OverBar[y]),M)>0. Dobbiamo dimostrare che (Subscript[φ, 1]),(Subscript[φ, 2]) sono continue (sappiamo già che sono lineari).

Siano (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])∈M'. Decomponiamo (Subscript[x, 1])=(Subscript[φ, 1])((Subscript[x, 1]))+(Subscript[φ, 2])((Subscript[x, 1]))(OverBar[y]),  (Subscript[x, 2])=(Subscript[φ, 1])((Subscript[x, 2]))+(Subscript[φ, 2])((Subscript[x, 2]))(OverBar[y]).

Per semplicità  (Subscript[x, 1])=(Subscript[z, 1])+(Subscript[λ, 1])(OverBar[y]),  (Subscript[x, 2])=(Subscript[z, 2])+(Subscript[λ, 1])(OverBar[y]). Sottraiamo membro a membro:

(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])=(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2])+((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))(OverBar[y]). Se (Subscript[λ, 1])≠(Subscript[λ, 2]) possiamo dividere per (Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]):

(((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])))=(((Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])))+(OverBar[y]), e prendo le norme:

‖(((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])))‖=‖(((Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])))+(OverBar[y])‖=‖(OverBar[y])-(-(((Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))))‖, poiché (-(((Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))))∈M,

((‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖)/(|(Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])|))=‖(((Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])))‖=‖(((Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])))+(OverBar[y])‖=‖(OverBar[y])-(-(((Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2]))/((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))))‖≥d, e quindi

‖(Subscript[φ, 2])((Subscript[x, 1]))-(Subscript[φ, 2])((Subscript[x, 2]))‖=|(Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])|≤(1/d)‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖. Se (Subscript[λ, 1])=(Subscript[λ, 2]) la disuguaglianza è banale. Quindi (Subscript[φ, 2]) è continua. Veniamo alla (Subscript[φ, 1]):

‖(Subscript[φ, 1])((Subscript[x, 1]))-(Subscript[φ, 1])((Subscript[x, 2]))‖=‖(Subscript[z, 1])-(Subscript[z, 2])‖=‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])-((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))(OverBar[y])‖≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖+‖((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))(OverBar[y])‖≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖+|(Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2])|‖(OverBar[y])‖≤‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖+(1/d)‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖=(1+(1/d))‖(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])‖.

Anche (Subscript[φ, 1]) è continua.

Lemma. I sottospazi a dimensione finita di uno spazio normato sono sempre completi (come spazi metrici).

Dimostrazione. Se per caso lo spazio ambiente è lui stesso completo, questo deriva dal fatto che i sottinsiemi chiusi di uno spazio metrico completo sono completi, sapendo già che i sottospazi a dimensione finita sono sempre chiusi.

Non supponiamo che lo spazio ambiente sia completo. Dimostriamo per induzione sulla dimensione del sottospazio. Se la dimensione è zero il sottospazio è il singoletto del vettore zero, che è completo banalmente. Supponiamo che ogni sottospazio a dimensione n sia completo. Sia M di dimensione n e prendiamo un vettore fuori (OverBar[y])∈V∖M, M'=span M⋃{(OverBar[y])}, (Subscript[φ, 1]),(Subscript[φ, 2]) le due proiezioni. Per il lemma precedente queste sono lineari e continue, quindi mandano successioni di Cauchy in successioni di Cauchy. Prendiamo una successione di Cauchy (Subscript[z, n]) in M', e dimostriamo che converge in M'. Proiettiamo: (Subscript[z, n])=(Subscript[φ, 1])((Subscript[z, n]))+(Subscript[φ, 2])((Subscript[z, n]))(OverBar[y]). Ma (Subscript[φ, 1])((Subscript[z, n])) è di Cauchy in M, che è completo, quindi converge in M; similmente (Subscript[φ, 2])((Subscript[z, n])) è di Cauchy negli scalari, quindi converge negli scalari. Quindi anche (Subscript[z, n]) converge a una combinazione di un elemento di M e un multiplo di (OverBar[y]), cioè converge in M'. Anche M' è completo.

Proposizione. I sottospazi a dimensione finita di uno spazio normato sono omeomorfi a un (ℝ^n) o un (ℂ^n).

Dimostrazione. Sia M un sottospazio a dimensione finita di uno spazio normato V, per esempio sui complessi. Prendiamo una base di M, che indichiamo con (Subscript[u, 1]),...,(Subscript[u, n]). Definiamo φ:(ℂ^n)->M così: φ((Subscript[α, 1]),...(Subscript[α, n]))=(Subscript[α, 1])(Subscript[u, 1])+...+(Subscript[α, n])(Subscript[u, n]). Questa φ è chiaramente lineare, continua (somma di n funzioni continue), biiettiva. Inoltre i due spazi (ℂ^n),M sono entrambi normati completi (Banach). Per il teorema della mappa aperta φ è un omeomorfismo.

Se mi metto a cercare sottinsiemi compatti di uno spazio di Hilbert o di Banach a dimensione infinita, un modo è di prendere sottospazi a dimensione finita: i sottinsiemi chiusi e limitati di questi sono compatti. Però vedremo che ci sono compatti non di questo tipo, cioè compatti che si spalmano su infinite dimensioni.

Introduzione alle infinite estrazioni di sottosuccessione.

DynamicModule[{m=RandomReal[{0,1},{30,10}]},
Manipulate[MapAt[Style[#,White]&,Grid[Append[Map[Append[…],Map[NumberForm[#,{5,4}]&,m,{2}]],Table[⋮,{10}]],Spacings->{1, 1},BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->7}],{1,n,All}],
{{n,{}},Range[30],TogglerBar},SaveDefinitions->True]]

Teorema delle infinite estrazioni: Sia data una matrice infinita (Subscript[A, n])(m), n indice di riga, m indice di colonna, di numeri reali limitati (globalmente, o ogni colonna per conto suo). Allora esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente, tale che la matrice (Subscript[A, φ(n)])(m) ha colonne tutte convergenti, cioè per ogni m esiste finito il (lim_(n->∞))(Subscript[A, φ(n)])(m).

Notazione tradizionale: data la successione (Subscript[a, n]), sottosuccessione k↦(Subscript[A, (Subscript[n, k])]), φ(k)=(Subscript[n, k]).

Discorso sulle sottosuccessioni.

DynamicModule[{m=Map[NumberForm[#,{5,4}]&,RandomReal[{0,1},30]],frecce,secondaColonna},
Manipulate[Graphics[{If[frecce,{Arrowheads[{{.03,1/2},{.03,1},{.03,0}}],Table[Arrow[Reverse@{{-4,-k},{0,-k},{4t,-((1-t)*k+t*Position[Complement[Range[30],n],k][[1,1]])},
{7,-(Position[Complement[Range[30],n],k][[1,1]])}}],
{k,Complement[Range[30],n]}]}],
Table[Text[k,{-4,-k},{1,0}],{k,Range[30]}],
If[secondaColonna,Table[Text[k,{8,-k}],{k,Range[30]}]],Table[Text[m[[k]],{0,-k},Background->White],{k,Complement[Range[30],n]}],
Table[Text[m[[k]],{4t,-((1-t)*k+t*Position[Complement[Range[30],n],k][[1,1]])},Background->White],{k,Complement[Range[30],n]}]},AspectRatio->1,PlotRange->{{-6,11},{-31,1}},BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->7},ImageSize->400],
{{n,{}},Range[30],TogglerBar},Item[Row[{Control[{t,0,1}],Spacer[30],,Control[{secondaColonna,{False,True}}],Spacer[30],Control[{frecce,{False,True}}]}]],SaveDefinitions->True]]

Data una successione (Subscript[a, n]), una sottosuccessione si indica solitamente con (Subscript[a, (Subscript[n, k])]). Questa notazione non è adatta ai ragionamenti che faremo. Userò una più adeguata: (Subscript[a, φ(n)])

Clear[a];
Module[{nRighe=10,nColonne=7},
Graphics[{Arrowheads[{{.02,1/3},{.02,2/3}}],Table[Arrow[{{4,-k},{2,-2k}}],{k,nRighe}],
Arrowheads[{{.02,2/3}}],Table[Arrow[{{6,-k},{8,-2k}}],{k,nRighe}],
InfiniteLine[{0,0},{1,0}],{Text[Column[{"numero","d'ordine","n"},Center],{0,0},{0,-1}],Table[Text[k,{0,-k}],{k,nRighe}],InfiniteLine[{1,0},{0,1}]},
{Text[Column[{"successione","originaria","(Subscript[a, n])"},Center],{2,0},{0,-1}],Table[Text[If[EvenQ[k],Framed,Identity][(Subscript[a, k])],{2,-k},Background->White],{k,nRighe}],InfiniteLine[{1,0},{0,1}]},
{Text[Column[{"sottosuccessione","ricompattata"},Center],{4,0},{0,-1}],Table[Text[(Subscript[a, 2k]),{4,-k},Background->White],{k,nRighe}],InfiniteLine[{3,0},{0,1}]},
{Text[Column[{"posizione","dopo il","ricompattamento","n"},Center],{6,0},{0,-1}],Table[Text[k,{6,-k},Background->White],{k,nRighe}],InfiniteLine[{5,0},{0,1}]},
{Text[Column[{"posizione","prima del","ricompattamento","φ(n)"},Center],{8,0},{0,-1}],Table[Text[If[EvenQ[k],Composition[Framed,Row[{#," = ",φ[#/2]}]&],Identity][k],{8,-k},Background->White],{k,nRighe}],
Table[Text["φ",{6.5,-(2/3k+1/3*2k)}],{k,5}],InfiniteLine[{7,0},{0,1}]},
{Text[Column[{"sottosuccessione","dopo il","ricompattamento"},Center],{10,0},{0,-1}],Table[Text[(Subscript[a, φ[k]])==(Subscript[a, 2k]),{10,-k},Background->White],{k,nRighe}],InfiniteLine[{9,0},{0,1}]},
{Text[Column[{"sottosuccessione","prima del","ricompattamento"},Center],{12,0},{0,-1}],Table[Text[(Subscript[a, φ[k]])==(Subscript[a, 2k]),{12,-2k},Background->White],{k,nRighe/2}],InfiniteLine[{11,0},{0,1}]}
},
BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->10},PlotRange->{{-1,2nColonne-1},{-nRighe-1,3}},ImageSize->600,AspectRatio->.5]]

Trascrizione della lezione del 14 aprile 2020.

DynamicModule[{nmax=20,posRiga,posColonna,phi,scatola,sbianca},
posColonna[n_]:=4(n^(4/3));
posRiga[n_]:=-2n;
phi[n_]:=2posRiga[n];
scatola[True,True]=Framed;scatola[True,False]=Identity;scatola[False,___]=Identity;
sbianca[False][ls_]:=Map[Style[#,White]&,ls];sbianca[True]=Identity;
Manipulate[Deploy@Graphics[{Text[Column[{"indice","di riga"}],{-4,posRiga[0]},{-1,0},{0,1}],
Text[Column[{"successione","originaria"}],{posColonna[0],posRiga[0]},{-1,0},{0,1}],Table[Text[Column[{Switch[cn,1,"prima",2,"seconda",3,"terza",4,"quarta",5,"quinta",6,"sesta"],"estrazione"}],{posColonna[cn],posRiga[0]},{-1,0},{0,1}],{cn,1,estrazioni}],{Arrowheads[{{.012,.6}}],If[estrazioni≥1,Table[{Text[Subscript["φ",cn+1],{Mean[{posColonna[cn],posColonna[cn+1]}],0}],Table[{If[diagonale,If[MemberQ[Table[(2^r)(cn+1+r),{r,0,5}],k],Directive[Black,Thick],Gray],Black],Arrow[{{posColonna[cn+1],posRiga[k]},{posColonna[cn],phi[k]}}]},
{k,Range[nmax]}]},{cn,0,estrazioni-1}]]},Table[Text[k,{-4,posRiga[k]},{1,0}],{k,Range[nmax]}],
Table[Text[Row[Join[{(Subscript["A", k])},sbianca[argomenti]@{"(",If[estrazioni≤1,1,estrazioni],")"}]],{0,posRiga[k]},Background->White],{k,If[diagonale,Intersection[Table[(2^r)r,{r,1,3}],Range[nmax]],Range[nmax]]}],
If[estrazioni>0,Table[Text[Row[Join[{scatola[diagonale,k===1][(Subscript["A", TraditionalForm@Row[{(Subscript[φ, 1]),"(",k,")"}]])]},sbianca[argomenti]@{"(",If[estrazioni≤1,1,estrazioni],")"}]],{4,posRiga[k]},Background->White],{k,If[diagonale,Intersection[Table[(2^r)(r+1),{r,0,3}],Range[nmax]],Range[nmax]]}]],
If[estrazioni≥2,Table[Table[Text[Row[Join[{scatola[diagonale,k===cn][(Subscript["A", TraditionalForm@Row[{SmallCircle@@Table[(Subscript[φ, u]),{u,cn}],"(",k,")"}]])]},sbianca[argomenti]@{"(",estrazioni,")"}]],{posColonna[cn],posRiga[k]},Background->White],{k,If[diagonale,Intersection[Table[(2^r)(r+cn),{r,0,3}],Range[nmax]],Range[nmax]]}],{cn,2,estrazioni}]]},
BaseStyle->{FontFamily->"Latin Modern Roman",FontSize->10},PlotRange->{{-5,Mean[{posColonna[6],posColonna[7]}]},{posRiga[nmax]-1,4}},ImageSize->700],
Item[Row[{Control[{{estrazioni,0},Range[0,6],SetterBar}],Spacer[30],
Control[{argomenti,{True,False}}],Spacer[30],Control[{diagonale,{False,True}}]}]],SaveDefinitions->True]]

Teorema delle infinite estrazioni: Sia data una matrice infinita (Subscript[A, n])(m), n indice di riga, m indice di colonna, di numeri reali limitati (globalmente, o ogni colonna per conto suo). Allora esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente, tale che la matrice (Subscript[A, φ(n)])(m) ha colonne tutte convergenti, cioè per ogni m esiste finito il (lim_(n->∞))(Subscript[A, φ(n)])(m).

Dimostrazione formale. Prendo m=1: la successione n↦(Subscript[A, n])(1) è limitata. Esiste una sottosuccessione convergente, che esprimo attraverso una (Subscript[φ, 1]):ℕ->ℕ strettamente crescente; la sottosuccessione è n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(n)])(1).

Passiamo a m=2. La succssione n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(n)])(2) è limitata. Quindi esiste una sottosuccessione convergente, che esprimo attraverso una (Subscript[φ, 2]):ℕ->ℕ strettamente crescente; la sottosuccessione è n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])((Subscript[φ, 2])(n))])(2). Pensate (Subscript[b, n])=(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(n)])(2): una sua sottosuccessione è (Subscript[b, (Subscript[φ, 2])(n)])=(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])((Subscript[φ, 2])(n))])(2). Per evitare l’affollamento di parentesi uso la notazione col cerchietto: n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(n)])(2). Se considero n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(n)])(1), questa è sottosuccessione di n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(n)])(1), che converge. Quindi n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(n)])(m) converge per m∈{1,2}.

Passiamo a m=3. La succssione n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(n)])(3) è limitata. Quindi esiste una sottosuccessione convergente, che esprimo attraverso una (Subscript[φ, 3]):ℕ->ℕ strettamente crescente; la sottosuccessione è n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦φ, 3])(n)])(3). Se considero n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦φ, 3])(n)])(m) è sottosuccessione di n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(n)])(m), e quindi converge per m∈{1,2,3}.

Eccetera. Ad ogni k∈ℕ possiamo associare (Subscript[φ, k]):ℕ->ℕ strettamente crescente in modo tale che la successione n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦⋯◦φ, k])(n)])(m)  converge per m∈{1,2,3,…,k}.

Idea diagonale. Definiamo φ(n)=(Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦⋯◦φ, n])(n). Attenzione: il numero di funzioni composte cambia con n:

φ(1)=(Subscript[φ, 1])(1),

φ(2)=(Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(2),

φ(3)=(Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦φ, 3])(3),

φ(4)=(Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])(Subscript[◦φ, 3])◦ (Subscript[φ, 4])(4), ecc.

Una cosa chiara è che φ:ℕ->ℕ. Verifichiamo che è strettamente crescente:

φ(n+1)=(Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, n])◦ (Subscript[φ, n+1])(n+1)=((Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, n]))( (Subscript[φ, n+1])(n+1))

La composizione di un numero fisso di funzioni strettamente crescenti è strettamente crescente. Quindi per n fissato la ((Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, n])) è strettamente crescente. Osserviamo anche che se ψ:ℕ->ℕ è strettamente crescente, allora ψ(n)≥n per ogni n. In particolare (Subscript[φ, n+1])(n+1)≥n+1. Quindi:

φ(n+1)=(Overscript[((Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, n])), (Overscript[⏞, strettamente cresc.])])( (Overscript[(Subscript[φ, n+1])(n+1), (Overscript[⏞,       ≥n+1            ])]))≥(Overscript[((Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, n])), (Overscript[⏞, strettamente cresc.])])(n+1)>((Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, n]))(n)=φ(n)

cioè vale la stretta crescenza.

Rimane da dimostrare che per ogni m esiste finito il (lim_(n->∞))(Subscript[A, φ(n)])(m). Questo viene dal fatto che se n>k posso scrivere

φ(n)=(Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦⋯◦φ, n])(k)=((Subscript[φ, 1])◦ (Subscript[φ, 2])◦⋯◦ (Subscript[φ, k]))((Subscript[φ, k+1])(Subscript[◦φ, k+2])(Subscript[◦⋯◦φ, n])(n)). Quindi per n>k la successione n↦(Subscript[A, φ(n)])(m) è una sottosuccessione di  n↦(Subscript[A, (Subscript[φ, 1])(Subscript[◦φ, 2])(Subscript[◦⋯◦φ, k])(n)])(m), la quale converge per m∈{1,2,3,…,k}. Quindi anche n↦(Subscript[A, φ(n)])(m) converge per m∈{1,2,3,…,k}. Ma k è arbitrario. Quindi  n↦(Subscript[A, φ(n)])(m) converge per ogni m. CVD.

Teorema di Ascoli-Arzelà. Consideriamo lo spazio normato delle funzioni continue per esempio sull’intervallo compatto [0,1] a valori per esempio reali, con la norma del sup. Un sottinsieme A di questo spazio è precompatto se e solo se valgono le due condizioni seguenti:

Dimostrazione. La parte più facile è che se A è precompatto allora valgono le due condizioni. Supponiamo che A sia precompatto. Sappiamo che i precompatti sono (totalmente) limitati. Per dimostrare che A è equiuniformemente continuo fissiamo ε>0. Poiché A è totalmente limitato, lo si può ricoprire con un un numero finito di palle aperte di raggio ε: A⊆B((Subscript[f, 1]),ε)⋃B((Subscript[f, 2]),ε)⋃...⋃B((Subscript[f, n]),ε). Ognuna delle (Subscript[f, k]) è continua sul compatto [0,1], quindi uniformemente continua: esistono (Subscript[δ, 1]),(Subscript[δ, 2]),...,(Subscript[δ, n])>0 tali che per ogni x,y∈[0,1] si ha che |x-y|<(Subscript[δ, k])=>|(Subscript[f, k])(x)-(Subscript[f, k])(y)|<ε. Prendiamo δ=min{(Subscript[δ, 1]),(Subscript[δ, 2]),...,(Subscript[δ, n])}>0. Sia f∈A. Esiste (Subscript[f, (Subscript[k, ε])])∈{(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),...,(Subscript[f, n])} tale che ‖f-(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])‖<ε. Possiamo calcolare per ogni x,y∈[0,1]

|x-y|<δ≤(Subscript[δ, (Subscript[k, ε])])=>|f(x)-f(y)|≤(Overscript[|f(x)-(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])(x)|, (Overscript[⏞,       ‖f-(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])‖<ε             ])])+(Overscript[|(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])(x)-(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])(y)|, (Overscript[⏞, <ε perché (Subscript[f, (Subscript[k, ε])]) è unif.cont.])])+(Overscript[|(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])(y)-f(y)|, (Overscript[⏞,       ‖f-(Subscript[f, (Subscript[k, ε])])‖<ε             ])])<3ε.

Viceversa, supponiamo che valgano le due condizioni di limitatezza ed equiuniforme continuità. Dobbiamo dimostrare che A è precompatto. Prendiamo una successione (Subscript[f, n])∈A e dimostriamo che ha una sottosuccessione di Cauchy per la convergenza uniforme. Qui ci vuole il ragionamento diagonale. L’insieme [0,1] ha un sottinsieme numerabile denso che scrivo come T={(Subscript[x, k]):k∈ℕ}.

Consideriamo la matrice (Subscript[B, n])(m)=(Subscript[f, n])((Subscript[x, m])). Questa è una matrice reale limitata. Per il ragionamento diagonale esiste φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che la successione n ↦ (Subscript[B, φ(n)])(m)=(Subscript[f, φ(n)])((Subscript[x, m])) converge per ogni m. In particolare è di Cauchy. Fissiamo ε>0. Per la condizione di Cauchy per ogni x∈T esiste (Subscript[N, ε,x])∈ℕ tale che per ogni n,m

n,m>(Subscript[N, ε,x])=>|(Subscript[f, φ(n)])(x)-(Subscript[f, φ(m)])(x)|<ε.

Sia δ>0 dato dall’equiuniforme continuità. Poiché T è densa in [0,1], esiste un sottinsieme finito (Subscript[T, ε])⊂T tale che ogni numero di [0,1] dista da un elemento di (Subscript[T, ε]) meno di δ, cioè per ogni x∈[0,1] esiste (Subscript[x, ε])∈(Subscript[T, ε]) tale che |x-(Subscript[x, ε])|<δ. Poniamo (Subscript[N, ε])=max{(Subscript[N, ε,x]):x∈(Subscript[T, ε])}<+∞. Siano ora n,m>(Subscript[N, ε])≥(Subscript[N, ε,(Subscript[x, ε])]) e x∈[0,1]. Possiamo calcolare

|(Subscript[f, φ(n)])(x)-(Subscript[f, φ(m)])(x)|<(Overscript[|(Subscript[f, φ(n)])(x)-(Subscript[f, φ(n)])((Subscript[x, ε]))|, (Overscript[⏞, <ε per l'equiuniforme cont.])])+(Overscript[|(Subscript[f, φ(n)])((Subscript[x, ε]))-(Subscript[f, φ(m)])((Subscript[x, ε]))|, (Overscript[⏞, <ε per la condizione di Cauchy])])+(Overscript[|(Subscript[f, φ(m)])((Subscript[x, ε]))-(Subscript[f, φ(m)])(x)|, (Overscript[⏞, <ε per l'equiuniforme cont.])])<3ε

Questo mostra che ‖(Subscript[f, φ(n)])-(Subscript[f, φ(m)])‖<3ε, che è la condizione di Cauchy per la convergenza uniforme. CVD.

Trascrizione della lezione del 15 aprile 2020.

Applicazione del teorema di Ascoli-Arzelà: sia K l’insieme delle funzioni [0,1]->ℝ lipschitziane di costante M>0: per ogni x,y∈[0,1] |f(x)-f(y)|≤M|x-y|, e inoltre |f(x)|≤M per ogni x∈[0,1]. Questo insieme K è precompatto nello spazio delle funzioni continue. K è equiuniformemente continuo perché possiamo prendere δ=ε/M:

|x-y|<δ=>|f(x)-f(y)|≤M|x-y|≤M δ=ε.

Variante: K l’insieme delle funzioni derivabili in ogni punto con |f(x)|≤M e |f'(x)|≤M. Anche questo è precompatto. Anzi, è compatto.

Questi sono esempi di insiemi (pre)compatti che non sono contenuti in un sottospazio a dimensione finita. Verifica per esercizio.

Cubo di Hilbert. Sia C l’insieme delle successioni x:ℕ->ℝ tali che per la componente n-esima sia in [-1/n,1/n], ossia x=(x(1),x(2),x(3),...) con |x(n)|≤1/n. In un certo senso C è il prodotto cartesiano infinito [-1,1]×[-1/2,1/2]×[-1/3,1/3]×[-1/4,1/4]×... Chiamarlo “cubo” forse è leggermente inappropriato, forse sarebbe meglio parallelepipedo. Questo cubo è sottinsieme di ((Overscript[ℓ, ])^p)(ℕ) per ogni p con 1<p<+∞. Come sottinsieme di  ((Overscript[ℓ, ])^p)(ℕ) è compatto. Dimostriamo che ogni successione in C ha una sottosuccessione convergente (e il limite è in C). Visualizziamo una successione in C:

(Subscript[x, 1])=((Subscript[x, 1])(1),(Subscript[x, 1])(2),(Subscript[x, 1])(3),...)
(Subscript[x, 2])=((Subscript[x, 2])(1),(Subscript[x, 2])(2),(Subscript[x, 2])(3),...)
(Subscript[x, 3])=((Subscript[x, 3])(1),(Subscript[x, 3])(2),(Subscript[x, 3])(3),...)
(Subscript[x, 4])=((Subscript[x, 4])(1),(Subscript[x, 4])(2),(Subscript[x, 4])(3),...)

Compare una matrice infinita a elementi reali tutti compresi fra -1 e 1. Per il teorema delle infinite estrazioni, esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che n↦(Subscript[x, φ(n)])(m) ha limite finito per ogni m∈ℕ, chiamiamolo (OverBar[x])(m). È chiaro che |(OverBar[x])(n)|≤1/n. Quindi (OverBar[x])∈C. Bisogna verificare che (Subscript[x, φ(n)])->(OverBar[x]) nella norma di ((Overscript[ℓ, ])^p)(ℕ) (non basta la convergenza puntuale). Fissiamo ε>0. Poiché la serie (∑_(n=1)^(+∞))(1/(n^p)) converge, possiamo rendere la coda piccola a piacere, quindi esiste un indice (Subscript[M, ε]) tale che (∑_(n=(Subscript[M, ε])+1)^(+∞))(1/(n^p))<((ε^p)/(2^(p+1))). Considerando le prime (Subscript[M, ε]) colonne della matrice. Poiché ogni colonna (dopo l’estrazione) converge, esistono indici (Subscript[N, ε,m]) tali che per ogni n>(Subscript[N, ε,m]) vale ((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)<((ε^p)/(2(Subscript[M, ε]))). Poniamo (Subscript[N, ε])=max{(Subscript[N, ε,1]),(Subscript[N, ε,1]),(Subscript[N, ε,1]),...,(Subscript[N, ε,(Subscript[M, ε])])}. Possiamo fare il conto, per n>(Subscript[N, ε])

(Subscript[‖(Subscript[x, φ(n)])-(OverBar[x])‖, p]^p)=(∑_(m=1)^(+∞))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)=(∑_(m=1)^(Subscript[M, ε]))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(∑_(m=(Subscript[M, ε])+1)^(+∞))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)≤
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ε]))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(∑_(m=(Subscript[M, ε])+1)^(+∞))((((2/m)))^p)=
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ε]))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(2^p)(∑_(m=(Subscript[M, ε])+1)^(+∞))((((1/m)))^p)<
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ε]))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+(2^p)((ε^p)/(2^(p+1)))=
(∑_(m=1)^(Subscript[M, ε]))((|(Subscript[x, φ(n)])(m)-(OverBar[x])(m)|)^p)+((ε^p)/2)<
((∑_(m=1)^(Subscript[M, ε]))((ε^p)/(2(Subscript[M, ε]))))+((ε^p)/2)=((ε^p)/(2(Subscript[M, ε])))(Subscript[M, ε])+((ε^p)/2)=((ε^p)/2)+((ε^p)/2)=(ε^p).

Quindi (Subscript[‖(Subscript[x, φ(n)])-(OverBar[x])‖, p])<ε, cioè (Subscript[x, φ(n)])->(OverBar[x]) nella norma di ((Overscript[ℓ, ])^p)(ℕ).

Il cubo di Hilbert è un altro esempio di un compatto che si spande su infinite dimensioni.

Ogni spazio di Hilbert a dimensione infinita contiene copie del cubo di Hilbert. Infatti, sia {(Subscript[u, n]):n∈ℕ} un sistema ortonormale numerabile (anche non completo). Possiamo condiderare l’insieme dei vettori del tipo (∑_(n=1)^(+∞))(Subscript[α, n])(Subscript[u, n]) con |(Subscript[α, n])|≤1/n. Questo è un compatto.

Passiamo agli operatori compatti.

Definizione. Dati due spazi normati X,Y e un operatore lineare A:X->Y, diremo che A è compatto se manda ogni insieme limitato di X in un precompatto in Y.

limitati->precompatti

Osservazione: perché un operatore sia compatto basta che mandi una palla (di raggio positivo, aperta o chiusa) di centro l’origine in un precompatto. Questo viene dall’omogeneità.

Proposizione. Un operatore è compatto se e solo se da ogni successione (Subscript[x, n]) limitata in X posso estrarre una sottosuccessione la cui immagine è di Cauchy in Y.

(Se lavoriamo su spazi completi, come succede nelle applicazioni di solito: da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione la cui immagine converge).

Dimostrazione. Per esercizio.

Proposizione. Un operatore compatto è continuo.

Dimostrazione. Un operatore compatto manda limitati in precompatti. Ma i precompatti, essendo totalmente limitati, sono limitati. Quindi manda limitati in limitati. Questa è la caratteristica degli operatori lineari continui. (richiamo)

Proposizione. La somma di operatori compatti è compatta.

Dimostrazione. Siano A,B:X->Y compatti. Sia (Subscript[x, n]) una successione limitata in X. Voglio dimostrare che esiste una sottosuccessione tale che (A+B)(Subscript[x, (Subscript[n, k])]) è di Cauchy. Consideriamo la successione (Subscript[Ax, n]). Poiché A è compatto, posso estrarre una sottosuccessione A (Subscript[x, φ(n)]) di Cauchy. Consideriamo ora la successione n↦B (Subscript[x, φ(n)]). Poiché B è compatto e (Subscript[x, φ(n)]) è limitata, esiste una sottosuccessione convergente, cioè esiste una ψ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che n↦B (Subscript[x, φ(ψ(n))]) converge. Allora la successione (A+B)(Subscript[x, φ(ψ(n))]) converge.

Proposizione. Siano X,Y,Z spazi normati, A:X->Y, B:Y->Z lineari continue. Se una delle due è compatta, allora anche la composizione B A è compatta.

Dimostrazione. Supponiamo per esempio che A sia compatto. Sia (Subscript[x, n]) limitata in X. Esiste una sottosuccessione tale che A (Subscript[x, (Subscript[n, k])]) è di Cauchy in Y. Se a questa applichiamo B, otteniamo di nuovo una successione di Cauchy, perché in generale un operatore lineare continuo manda Cauchy in Cauchy (è uniformemente continuo). Quindi A B (Subscript[x, (Subscript[n, k])]) è di Cauchy.

Il caso in cui B è compatto per esercizio.

L’insieme degli operatori lineari continui da X in Y (normati) lo indicheremo con ℒ(X,Y). Questo è a sua volta uno spazio normato con la norma operatoriale:

(Subscript[‖A‖, operatoriale])=(sup_(x∈X∖{0}))((Subscript[‖A x‖, Y])/(Subscript[‖x‖, X]))=(sup_(x∈X,‖x‖≤1))‖A x‖=(sup_(x∈X,‖x‖=1))‖A x‖

Osserviamo che ‖A x‖≤‖A‖‖x‖. Se Y è di Banach, anche ℒ(X,Y) lo è.

Proposizione. L’insieme degli operatori compatti da X in Y è un sottospazio vettoriale chiuso in ℒ(X,Y).

Dimostrazione. Sappiamo già che l’insieme degli operatori compatti è stabile per somme, ed è facile vedere che è stabile per moltiplicazione per scalari.

Dobbiamo dimostrare che è chiuso. Sia (Subscript[A, n]) una successione di operatori compatti che converge nella norma operatoriale a un certo operatore A. Dobbiamo dimostrare che anche A è compatto. A questo fine prendiamo una successione n↦(Subscript[x, n]) limitata in X, per esempio ‖(Subscript[x, n])‖≤c. Dobbiamo dimostrare che esiste una sottosuccessione tale che A (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy. Applichiamo la successione di operatori alla successione di vettori con indici indipendenti:

(Subscript[A, 1])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 1]), (Subscript[A, 5])(Subscript[x, 1])...
(Subscript[A, 1])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 2]), (Subscript[A, 5])(Subscript[x, 2])...
(Subscript[A, 1])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 3]), (Subscript[A, 5])(Subscript[x, 3])...
(Subscript[A, 1])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 4]), (Subscript[A, 5])(Subscript[x, 4])...
(Subscript[A, 1])(Subscript[x, 5]), (Subscript[A, 2])(Subscript[x, 5]), (Subscript[A, 3])(Subscript[x, 5]), (Subscript[A, 4])(Subscript[x, 5]), (Subscript[A, 5])(Subscript[x, 5])...
⋮

Abbiamo una matrice infinita fatta di vettori in Y. Osserviamo le singole colonne. Poiché ognuna delle (Subscript[A, n]) è compatta, e si applica a una successione limitata, da ciascuna colonna è possible estrarre una sottosuccessione di Cauchy. Posso applicare il procedimento diagonale. È possibile estrarre una sottosuccessione che faccia convergere tutte le colonne contemporaneamente. Esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che la successione m↦(Subscript[A, n])(Subscript[x, φ(m)]) è di Cauchy per ogni m. Mi propongo di dimostrare che anche la successione m↦A (Subscript[x, φ(m)]) è di Cauchy in Y. Fissiamo ε>0. Poiché (Subscript[A, n])->A in ℒ(X,Y), esiste un indice (Subscript[N, ε]) tale che per ogni n>(Subscript[N, ε]) si ha ‖(Subscript[A, n])-A‖<(ε/(4c)).

Fissiamo (Subscript[n, 0])>(Subscript[N, ε]). La successione m↦(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ(m)]) è di Cauchy (una delle colonne della matrice estratta). Quindi esiste un indice (Subscript[M, ε]) tale che se (Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2])>(Subscript[M, ε]) su ha che

‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖<(ε/2).

Prendiamo  (Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2])>(Subscript[M, ε]) e calcoliamo:

‖A (Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-A (Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖≤‖A (Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])-A (Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖=‖(A-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])) (Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖+‖((Subscript[A, (Subscript[n, 0])])-A)(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖≤
‖A-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])‖‖ (Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])-A‖‖(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖<
(ε/(4c))c+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖+(ε/(4c))c=
(ε/2)+‖(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 1]))])-(Subscript[A, (Subscript[n, 0])])(Subscript[x, φ((Subscript[m, 2]))])‖<ε.

È verificato che m↦A (Subscript[x, φ(m)]) è di Cauchy.

Trascrizione della lezione del 21 aprile 2020.

Proposizione. Siano X,Y spazi normati, A:X->Y continuo con rango finito, cioè con immagine a dimensione finita. Allora A è compatto.

Dimostrazione. Sappiamo che gli spazi normati a dimensione infinita sono equivalenti in norma a uno spazio (ℝ^n) o (ℂ^n). Quindi l’immagine di un limitato tramite A è un limitato perché A è continua, e quindi la chiusura è compatta. L’immagine è precompatta.

Corollario. Se (Subscript[A, n]):X->Y è una successione di operatori lineari con rango finito fra spazi normati e (Subscript[A, n])->A nella norma operatoriale, allora A è compatto.

Nelle applicazioni ha molta importanza approssimare un operatore compatto con operatori di rango finito. La domanda su quando questa approssimazione è possibile è importante.

Proposizione. Siano X,Y normati e A:X->Y compatto. Allora l’immagine di A è separabile, cioè ha un sottinsieme numerabile denso.

Dimostrazione. Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa di X. Poiché A è compatto, A(𝒰) è precompatta, cioè totalmente limitata: può essere ricoperta con un numero finito di palle di raggio prefissato. Prefissiamo ε=1/n. Esiste un insieme finito (Subscript[S, n])⊂𝒰 tale che A(𝒰) ⊂(⋃_(x∈(Subscript[S, n])))B(A x,(Subscript[ε, n])) . Sia S l’unione degli insiemi (Subscript[S, n]) al variare di n. Questo S è al più numerabile perché unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti. Inoltre l’immagine di S tramite A è densa in A(𝒰). Quindi A(𝒰) è separabile. Usando il fatto che A è lineare, in particolare omogenea, si vede che l’immagine A(X) è separabile. CVD

Proposizione. Sia X uno spazio normato, H uno spazio di Hilbert, A:X->H un operatore compatto. Allora esiste una successione (Subscript[A, n]) di operatori di rango finito X->H che converge ad A in norma operatoriale.

Dimostrazione. Escludiamo il caso banale che A sia già di rango finito. Essendo A compatto, l’immagine è separabile. Sia M la chiusura dell’immagine A(X). Questo M è uno spazio di Hilbert separabile. Quindi sappiamo che ha una base hilbertiana numerabile {(Subscript[u, n]):n∈ℕ}. Sia (Subscript[P, n]) la proiezione ortogonale di H sul sottospazio generato da (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),...,(Subscript[u, n]). Conosciamo la formula della proiezione: (Subscript[P, n])y=(∑_(k=1)^n)⟨y,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]). Sappiamo anche che per ogni y∈H le proiezioni (Subscript[P, n])y tendono a (Subscript[P, M])y, nella norma di H, dove (Subscript[P, M]) è la proiezione ortogonale su M. Le proiezioni  (Subscript[P, n])->(Subscript[P, M]) puntualmente, non nella norma operatoriale. ‖(Subscript[P, n])-(Subscript[P, M])‖=1, non tende a zero. Osserviamo che A ha valori in M, e quindi (Subscript[P, M])A=A

Torniamo ad A e poniamo (Subscript[A, n])=(Subscript[P, n])A. Vogliamo dimostrare che (Subscript[A, n])->A nella norma operatoriale. (Puntuale è sicura).

Fissiamo ε>0. Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa di X. L’immagine A(𝒰) è precompatta, quindi esiste un sottinsieme finito (Subscript[T, ε])⊂𝒰 tale che A(𝒰)⊆(⋃_(x∈(Subscript[T, ε])))B(A x,ε/3). Poiché (Subscript[A, n])x=(Subscript[P, n])A x->A x per n->∞ per la convergneza puntuale. Quindi per ogni x∈X esiste un indice (Subscript[N, ε,x])∈ℕ tale che

n>(Subscript[N, ε,x])=>‖(Subscript[P, M])A x-(Subscript[P, n])A x‖=‖A x-(Subscript[P, n])A x‖<ε/3.

Poniamo (Subscript[N, ε])=max{(Subscript[N, ε,x]):x∈(Subscript[T, ε])}.

Sia x∈𝒰. Esiste un (Subscript[x, ε])∈(Subscript[T, ε]) tale che ‖A x-A (Subscript[x, ε])‖<ε/3.

Per ogni n>(Subscript[N, ε])≥(Subscript[N, ε,(Subscript[x, ε])]) abbiamo

‖((Subscript[A, n])-A) x‖=‖(Subscript[P, n])A x-A x‖≤‖(Subscript[P, n])A x-(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ε])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ε])-A (Subscript[x, ε])‖+‖A (Subscript[x, ε])-A x‖=‖(Subscript[P, n])(A x-A (Subscript[x, ε]))‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ε])-A (Subscript[x, ε])‖+‖A (Subscript[x, ε])-A x‖≤‖(Subscript[P, n])‖‖A x-A (Subscript[x, ε])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ε])-A (Subscript[x, ε])‖+‖A (Subscript[x, ε])-A x‖=2‖A x-A (Subscript[x, ε])‖+‖(Subscript[P, n])A (Subscript[x, ε])-A (Subscript[x, ε])‖<2(ε/3)+(ε/3)=ε.

Valendo questo per ogni x∈𝒰, abbiamo che ‖(Subscript[A, n])-A‖<ε. Concludiamo che (Subscript[A, n])->A in norma operatoriale. CVD

Esempi di operatori compatti non banali e utili.

Operatore integrale. Sia X=𝒞([0,1]) lo spazio delle funzioni continue [0,1]->ℝ con la norma del sup. Per f∈X poniamo (A f)(t)=(∫_0^t)f(x)dx. Sappiamo che A:X->X. Sia 𝒰 la palla unitaria di X e f∈𝒰. Allora ‖A f‖=(sup_(t∈[0,1]))|(∫_0^t)f(x)dx|≤(sup_(t∈[0,1]))(∫_0^t)|f(x)|dx≤1, quindi A(𝒰) è limitata. Poi è anche equilipschitziana:

|(A f)((Subscript[t, 1]))-(A f)((Subscript[t, 2]))|=|(∫_0^(Subscript[t, 1]))|f(x)|dx-(∫_0^(Subscript[t, 2]))|f(x)|dx|=|(∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))|f(x)|dx|≤|(Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 2])|.

Per il teorema di Ascoli-Arzelà A(𝒰) è precompatta in X.

Operatore che mappa nel cubo di Hilbert. Consideriamo X=(ℓ^p)(ℕ) con 1<p<+∞. Definiamo l’operatore A così: dato il vettore x=(x(1),x(2),x(3),...,x(n),...) pongo A x=(x(1),((x(2))/2),((x(3))/3),...,((x(n))/n),...). Si può immaginare la matrice che rappresenta A sia una matrice infinita diagonale, con elementi non nulli solo sulla diagonale, e la diagonale è composta da 1,(1/2),(1/3),(1/4),...

Se 𝒰 è la palla unitaria in X e x∈𝒰, ogni componente di x è tale che |x(n)|≤1. Ma allora A x appartiene al cubo di Hilbert. Quindi l’immagine della palla unitaria tramite A è un sottinsieme di un insieme compatto, e quindi è precompatto.

Richiami sul duale di uno spazio normato.

Definizione. Dato uno spazio normato X diremo duale di X lo spazio dei funzionali lineari continui da X negli scalari, dotato della norma operatoriale. Il duale di X si indica con (SuperStar[X]).

Per distinguere gli elementi di X da quelli del duale userò spesso le lettere semplici x per gli elementi di X e lettere asteriscate (SuperStar[x]) per gli elementi del duale. Il simbolo (SuperStar[x]) è da intendere come simbolo unico, non un asterisco applicato al vettore x.

Il duale è uno spazio vettoriale, e la norma la indicheremo con

(Subscript[‖(SuperStar[x])‖, (SuperStar[X])])=(SubStar[‖(SuperStar[x])‖])=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|(SuperStar[x])(x)|.

Da un corollario del teorema di Hahn-Banach segue che per ogni x∈X esiste un (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) tale che (SubStar[‖(SuperStar[x])‖])=1 e (SuperStar[x])(x)=(Subscript[‖x‖, X]). In particolare

(Subscript[‖x‖, X])=(max_((SubStar[‖(SuperStar[x])‖])=1))|(SuperStar[x])(x)|.

Definizione. Dati due spazi normati X,Y e un operatore lineare continuo A:X->Y, chiameremo operatore aggiunto di A, e lo indicheremo con (SuperStar[A]), l’operatore che associa ad ogni funzionale (SuperStar[y])∈(SuperStar[Y]) il funzionale composto (SuperStar[y])A.

In altre parole (SuperStar[y])(A x)=((SuperStar[A])((SuperStar[y])))(x).

Osservazione: nella formula (SuperStar[y])(A x) si possono togliere le parentesi: (SuperStar[y])A x, perché è una composizione di funzioni, che va letta da destra a sinistra, e la composizione è associativa. Nella formula ((SuperStar[A])(SuperStar[y]))x le parentesi non si possono togliere: non è una semplice composizione di funzioni. Lavorare con gli aggiunti vuol dire spesso fare trasposizioni di lettere:  (SuperStar[y])(A x)=((SuperStar[A])((SuperStar[y])))(x).

L’aggiunto (SuperStar[A]):(SuperStar[Y])->(SuperStar[X]) è lineare (esercizio).

Proposizione. Se A:X->Y è lineare continuo, allora (SuperStar[A]):(SuperStar[Y])->(SuperStar[X]) è pure lineare continuo, e ha la stessa norma operatoriale. L’operatore che manda A in (SuperStar[A]) è una isometria da ℒ(X,Y) in ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X])).

Dimostrazione. Usiamo la caratterizzazione della norma operatoriale come sup sulla sfera unitaria:

(Subscript[‖(SuperStar[A])‖, ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X]))])=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(Subscript[‖(SuperStar[A])(SuperStar[y])‖, (SuperStar[X])])=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)|=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|(SuperStar[y])A x|≤(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])(Subscript[‖A x‖, X])=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(Subscript[‖A x‖, X])=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(Subscript[‖A x‖, X])=(Subscript[‖A‖, ℒ(X,Y)]).

In particolare (SuperStar[A]) è continuo. Si può dire di più scambiando l’ordine dei sup e poi usando Hahn-Banach:

(Subscript[‖(SuperStar[A])‖, ℒ((SuperStar[Y]),(SuperStar[X]))])=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(Subscript[‖(SuperStar[A])(SuperStar[y])‖, (SuperStar[X])])=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)|=(sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))|(SuperStar[y])A x|=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))((sup_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))|(SuperStar[y])(A x)|)=(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))((max_((Subscript[‖(SuperStar[y])‖, (SuperStar[Y])])=1))|(SuperStar[y])(A x)|)=
(sup_((Subscript[‖x‖, X])=1))(Subscript[‖A x‖, Y])=(Subscript[‖A‖, ℒ(X,Y)]).

Trascrizione della lezione del 22 aprile 2020.

Teorema. L’aggiunto di un compatto è compatto.

Dimostrazione. Siano X,Y normati, A:X->Y lineare compatto. Dobbiamo dimostrare che (SuperStar[A]):(SuperStar[Y])->(SuperStar[X]) è compatto.

Sia 𝒰 la palla unitaria chiusa in X. Poiché A è compatto, l’immagine A(𝒰) è precompatta, cioè totalmente limitata. Quindi esiste una successione (Subscript[u, n])∈𝒰 tale che le immagini A (Subscript[u, n]) sono dense in A(𝒰), cioè per ogni ε>0 esiste un insieme finito (Subscript[F, ε])⊂ℕ di indici tali che A(𝒰)⊆(⋃_(n∈(Subscript[F, ε])))(Subscript[B, Y])(A (Subscript[u, n]),ε).

Prendiamo una successione limitata in (SuperStar[Y]), chiamiamola (Subscript[y, n]^( * )). Esiste un c>0 tale che (Subscript[‖(Subscript[y, n]^( * ))‖, (SuperStar[Y])])<c per ogni n. Vogliamo dimostrare che esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che (SuperStar[A]) (Subscript[y, φ(n)]^( * )) è di Cauchy in (SuperStar[X]).

Consideriamo la matrice scalare a due indici ((SuperStar[A]) (Subscript[y, n]^( * )))((Subscript[u, m]))=(Subscript[y, n]^( * ))(A (Subscript[u, m]))=(Subscript[y, n]^( * ))A (Subscript[u, m]):

(Subscript[y, 1]^( * ))A (Subscript[u, 1])      (Subscript[y, 1]^( * ))A (Subscript[u, 2])     (Subscript[y, 1]^( * ))A (Subscript[u, 3])      (Subscript[y, 1]^( * ))A (Subscript[u, 4])     ...
 (Subscript[y, 2]^( * ))A (Subscript[u, 1])      (Subscript[y, 2]^( * ))A (Subscript[u, 2])     (Subscript[y, 2]^( * ))A (Subscript[u, 3])      (Subscript[y, 2]^( * ))A (Subscript[u, 4])     ...
(Subscript[y, 3]^( * ))A (Subscript[u, 1])      (Subscript[y, 3]^( * ))A (Subscript[u, 2])     (Subscript[y, 3]^( * ))A (Subscript[u, 3])      (Subscript[y, 3]^( * ))A (Subscript[u, 4])     ...
(Subscript[y, 4]^( * ))A (Subscript[u, 1])      (Subscript[y, 4]^( * ))A (Subscript[u, 2])     (Subscript[y, 4]^( * ))A (Subscript[u, 3])      (Subscript[y, 4]^( * ))A (Subscript[u, 4])     ...
⋮

Gli elementi della matrice sono limitati. Col metodo diagonale esiste una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tale che n↦(Subscript[y, φ(n)]^( * ))A (Subscript[u, m]) converga in ℂ per ogni m. Ci proponiamo di dimostrare che  n↦(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ(n)]^( * )) è di Cauchy in (SuperStar[X]).

La distanza fra due elementi di  n↦(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ(n)]^( * )) si scrive così:

(Subscript[‖(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))-(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))‖, (SuperStar[X])])=(sup_(x∈𝒰))|((SuperStar[A]) (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * )))(x)-((SuperStar[A]) (Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * )))(x)|=(sup_(x∈𝒰))| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A x)-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A x)|

Fissiamo ε>0, a cui associamo l’insieme finito di indici (Subscript[F, ε]) detto sopra. Per ogni m∈ℕ la successione n↦(Subscript[y, φ(n)]^( * ))A (Subscript[u, m]) è di Cauchy e quindi esiste (Subscript[N, ε,m]) tale che per ogni (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2])>(Subscript[N, ε,m]) vale la disuguaglianza | (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A (Subscript[u, m]))-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, m]))|<ε.

Pongo (Subscript[N, ε])=max{(Subscript[N, ε,m]):m∈(Subscript[F, ε])}<+∞.

Prendiamo (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2])>(Subscript[N, ε]). Sia x∈𝒰. Posso avvicinare A x con un A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]) a meno di ε: ‖A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])])‖<ε, (Subscript[n, x,ε])∈(Subscript[F, ε]).

| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A x)-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A x)|≤| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A x)-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))|+| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))|+| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A x)|=
| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))|+| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))|+| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])])-A x)|≤
(Subscript[‖(Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))‖, (SuperStar[Y])])(Subscript[‖A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])])‖, Y])+| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))|+(Subscript[‖(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))‖, (SuperStar[Y])])(Subscript[‖A x-A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])])‖, Y])≤

2c ε+ | (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A (Subscript[u, (Subscript[n, x,ε])]))|<(2c+1)ε.

Ricapitolando: per ogni ε>0 esiste (Subscript[N, ε])∈ℕ tale che se (Subscript[n, 1]),(Subscript[n, 2])>(Subscript[N, ε]) abbiamo per ogni x∈𝒰

| (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))(A x)-(Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))(A x)|<(2c+1)ε. Quindi (Subscript[‖(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ((Subscript[n, 1]))]^( * ))-(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ((Subscript[n, 2]))]^( * ))‖, (SuperStar[X])])<(2c+1)ε. È dimostrato che la successione  n↦(SuperStar[A]) (Subscript[y, φ(n)]^( * )) è di Cauchy in (SuperStar[X]). CVD

Vale anche il viceversa: se l’aggiunto è compatto, anche l’operatore di partenza è compatto. Passeremo attraverso il biduale e il biaggiunto.

Il biduale è il duale del duale (X^( ** ))=(SuperStar[((SuperStar[X]))]), lo spazio dei funzionali lineari continui (SuperStar[X])->ℂ. Conosciamo l’immersione canonica di X nel biduale: consideriamo (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) e x∈X, valutiamo uno sull’altro (SuperStar[x])(x)∈ℂ. Definiamo J:X->(X^( ** )) così: (J(x))((SuperStar[x]))=(SuperStar[x])(x). Schema:

L’immersione J nel biduale è una isometria (Hahn-Banach).

Teorema. Se l’aggiunto è compatto, è compatto anche l’operatore di partenza.

Dimostrazione. Usiamo le immersioni canoniche nei biduali:

Il diagramma è commutativo: ((A^( ** ))(Subscript[J, X])(x))((SuperStar[y]))∈ℂ.

((SuperStar[((SuperStar[A]))])((Subscript[J, X])(x)))((SuperStar[y]))=((Subscript[J, X])(x))((SuperStar[A])(SuperStar[y]))=((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)=(SuperStar[y])A x=(SuperStar[y])(A x)=((Subscript[J, Y])(A x))((SuperStar[y])).

Poiché questo vale per ogni (SuperStar[y])∈(SuperStar[Y]), i due funzionali coincidono ((SuperStar[((SuperStar[A]))])((Subscript[J, X])(x)))=((Subscript[J, Y])(A x)), cioè ((SuperStar[(SuperStar[A])])(Subscript[J, X]))(x)=((Subscript[J, Y])A) (x); valendo questo per ogni x∈X concludiamo che (SuperStar[(SuperStar[A])])(Subscript[J, X])=(Subscript[J, Y])A, cioè il diagramma commuta.

Supponiamo che (SuperStar[A]) sia compatto. Per il teorema precedente, il biaggiunto (A^( ** )):(X^( ** ))->(Y^( ** )) è compatto. Prendiamo una successione (Subscript[x, n]) limitata in X. Voglio dimostrare che esiste una sottosuccessione tale che A (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy in Y.

Poiché (A^( ** )) è compatto, è compatta anche la composizione (SuperStar[(SuperStar[A])])(Subscript[J, X]). Quindi esiste una sottosuccessione tale che n↦(SuperStar[(SuperStar[A])])(Subscript[J, X])((Subscript[x, φ(n)])) è di Cauchy. Questa coincide con  n↦(Subscript[J, Y])A((Subscript[x, φ(n)])), che quindi è di Cauchy. Applico (Subscript[J, Y]^(-1)), che è isometria, in particolare lineare continua. Applicandolo ottengo di nuovo una successione di Cauchy: n↦(Subscript[J, Y]^(-1))(Subscript[J, Y])A((Subscript[x, φ(n)]))=A((Subscript[x, φ(n)])). In definitiva n↦A((Subscript[x, φ(n)])) è di Cauchy. CVD

Riassunto: A è compatto se e solo se l’aggiunto è compatto.

Prossimo argomento: una condizione sufficiente affinché un operatore compatto abbia rango finito.

Teorema. Siano X,Y normati e A:X->Y un operatore lineare compatto tale che l’immagine A(X) sia completa (come spazio metrico). Allora A ha rango finito, cioè l’immagine ha dimensione finita.

Lemma preliminare. Siano X,Y normati e A:X->Y un operatore lineare iniettivo. Allora l’inversa (A^(-1)) (definita sull’immagine) è non continua se e solo se esiste una successione (Subscript[x, n])∈X tale che (Subscript[‖(Subscript[x, n])‖, X])->+∞ mentre ‖A (Subscript[x, n])‖->0 per n->+∞.

Dimostrazione. Supponiamo (A^(-1)) non sia continua. La “norma” operatoriale è infinita:

+∞=(Subscript[‖(A^(-1))‖, ℒ(A(X),X)])=(sup_(y∈A(X),(Subscript[‖y‖, Y])=1))‖(A^(-1))y‖.

Quindi esiste una successione (Subscript[y, n])∈A(X) tale che (Subscript[‖(Subscript[y, n])‖, Y])=1 e (Subscript[‖(A^(-1))(Subscript[y, n])‖, X])->+∞. Esistono (Subscript[z, n])∈X tali che (Subscript[y, n])=A (Subscript[z, n]), cioè (Subscript[z, n])=(A^(-1))(Subscript[y, n]).

Allora (Subscript[‖A (Subscript[z, n])‖, Y])=1 e (Subscript[‖(Subscript[z, n])‖, X])->+∞.

Poniamo (Subscript[λ, n])=(Subscript[‖(Subscript[z, n])‖, X]) e (Subscript[x, n])=((Subscript[z, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])])). Osserviamo che (Subscript[λ, n])->+∞. Possiamo scrivere:

(Subscript[‖(Subscript[x, n])‖, X])=(Subscript[‖((Subscript[z, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))‖, X])=((Subscript[‖(Subscript[z, n])‖, X])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))=((Subscript[λ, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))=(Sqrt[(Subscript[λ, n])])->+∞,

(Subscript[‖A (Subscript[x, n])‖, Y])=(Subscript[‖A(((Subscript[z, n])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])])))‖, Y])=((Subscript[‖A (Subscript[z, n])‖, Y])/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))=(1/(Sqrt[(Subscript[λ, n])]))->0.

Viceversa per esercizio. CVD

Trascrizione della lezione del 28 aprile 2020.

Torniamo al teorema:

Teorema. Siano X,Y normati e A:X->Y un operatore lineare compatto tale che l’immagine A(X) sia completa (come spazio metrico). Allora A ha rango finito, cioè l’immagine ha dimensione finita. E viceversa.

Dimostrazione. Il viceversa è facile. Supponiamo che A sia compatto e che l’immagine Z=A(X) sia completa. Possiamo considerare che A:X->Z, e rimane compatto anche così. Possiamo dimenticarci di Y. Per ipotesi Z è di Banach. Dobbiamo dimostrare che Z ha dimensione finita.

Prima dimostrazione semplificata nell’ipotesi ulteriore che anche X sia di Banach. Abbiamo A:X->Z lineare, continua e suriettiva. Applichiamo il teorema della mappa aperta: A è aperta, quindi manda per esempio la palla unitaria aperta (Subscript[B, X])(0,1) in un intorno dello 0∈Z. Se per assurdo Z avesse dimensione infinita, esisterebbe una successione di vettori (Subscript[z, n]) che non ha sottosuccessioni di Cauchy (ogni vettore ha distanza almeno 1/2 da tutti gli altri). Siano (Subscript[x, n])∈(Subscript[B, X])(0,1) tali che (Subscript[z, n])=A (Subscript[x, n]). Questi (Subscript[x, n]) sono una successione limitata la cui immagine non ha nessuna sottosuccessione di Cauchy, contro l’ipotesi che A fosse compatto.

Facciamo la dimostrazione nel caso generale. Ci appoggiamo sui duali e gli aggiunti.

Dico che (SuperStar[A]) è iniettivo. Prendiamo (SuperStar[z])∈(SuperStar[Z]) e calcoliamo

(SuperStar[A])(SuperStar[z])=0⟺∀x∈X  ((SuperStar[A])(SuperStar[z]))(x)=0⟺∀x∈X  (SuperStar[z])(A x)=0⟺∀z∈Z  (SuperStar[z])(z)=0⟺(SuperStar[z])=0.

Dico che ((((SuperStar[A])))^(-1)):(SuperStar[A])((SuperStar[Z]))->(SuperStar[Z]) è continua. Applichiamo il lemma: se per assurdo non fosse continua, esisterebbe una successione (Subscript[z, n]^( * ))∈(SuperStar[Z]) tale che (Subscript[‖(Subscript[z, n]^( * ))‖, (SuperStar[Z])])->+∞ e (Subscript[‖(SuperStar[A]) (Subscript[z, n]^( * ))‖, (SuperStar[X])])->0. Applichiamo a un elemento z∈Z. Esiste x∈X tale che z=A x. Quindi

|(Subscript[z, n]^( * ))(z)|=|(Subscript[z, n]^( * ))(A x)|=|((SuperStar[A])(Subscript[z, n]^( * )))(x)|≤‖(SuperStar[A])(Subscript[z, n]^( * ))‖‖x‖->0.

In particolare per ogni z∈Z si ha che (sup_(n∈ℕ))|(Subscript[z, n]^( * ))(z)|<+∞. Gli (Subscript[z, n]^( * )) sono una famiglia di operatori lineari continui Z->ℂ che è puntualmente limitata. Il teorema di Banach-Steinhaus la famiglia degli (Subscript[z, n]^( * )) è limitata in ℒ(Z,ℂ), cioè esiste una costante c>0 tale che (Subscript[‖(Subscript[z, n]^( * ))‖, (SuperStar[Z])])≤c. Assurdo perché abbiamo detto che (Subscript[‖(Subscript[z, n]^( * ))‖, (SuperStar[Z])])->+∞.

Ci troviamo in questa sutuazione:

Ne segue che l’identità su (SuperStar[Z]) può essere scritta come (Subscript[id, (SuperStar[Z])])=((((SuperStar[A])))^(-1))(SuperStar[A]), composizione di operatori continui, di cui uno è compatto. Quindi l’identità su (SuperStar[Z]) è compatta. Quindi da ogni successione limitata in (SuperStar[Z]) possiamo estrarre una sottosuccessione la cui identità è di Cauchy. Questo è possibile solo se (SuperStar[Z]) ha dimensione finita. Questo implica che Z ha dimensione finita.

Ora ci specializziamo negli spazi di Hilbert, dagli spazi normati.

Caratterizziamo il duale di uno spazio di Hilbert.

Teorema di rappresentazione dei funzionali lineari continui su uno spazio di Hilbert. Sia H uno spazio di Hilbert, e (SuperStar[x]):H->ℂ un funzionale lineare continuo, cioè (SuperStar[x])∈(SuperStar[H]). Allora esite unico un K((SuperStar[x]))∈H tale che (SuperStar[x])(x)=⟨x,K((SuperStar[x]))⟩ per ogni x∈H.

Abbiamo dunque un K:(SuperStar[H])->H che si inserisce nello schema

Proprietà di K: è additivo K((SuperStar[x])+(SuperStar[y]))=K((SuperStar[x]))+K((SuperStar[y])). Sui complessi non è omogeneo:

⟨x,K(α (SuperStar[x]))⟩=(α (SuperStar[x]))(x)=α((SuperStar[x])(x))=α⟨x,K((SuperStar[x]))⟩=⟨x,(OverBar[α]) K((SuperStar[x]))⟩, e quindi K(α (SuperStar[x]))=(OverBar[α]) K((SuperStar[x])).

Però K è una isometria. Infatti negli spazi di Hilbert vale (Subscript[‖y‖, H])=(max_(‖x‖=1))|⟨x,y⟩|, perché |⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖=‖y‖, vale l’uguaglianza con x=y/‖y‖. Consideriamo la norma di (Subscript[‖K((SuperStar[x]))‖, H])=(max_(‖x‖=1))|⟨x,K((SuperStar[x]))⟩|=(max_(‖x‖=1))|(SuperStar[x])(x)|=(Subscript[‖(SuperStar[x])‖, (SuperStar[H])]). K conserva le norme. Anzi, grazie a K possiamo introdurre un prodotto scalare nel duale (SuperStar[H]):

(Subscript[⟨(Subscript[x, 1]^( * )),(Subscript[x, 2]^( * ))⟩, (SuperStar[H])])=(Subscript[⟨K((Subscript[x, 2]^( * ))),K((Subscript[x, 1]^( * )))⟩, H]) (notare che si inverte l’ordine). Questo è un prodotto scalare su (SuperStar[H]) che induce la norma operatoriale. Il duale di uno spazio di Hilbert è ancora di Hilbert, e c’è un’isometria fra di loro (purtroppo non lineare).

Cosa succede del biduale? (H^( ** )) è anch’esso di Hilbert, e c’è l’immersione canonica J:H->(H^( ** )). La situazione è questa:

Questo diagramma commuta. Prendiamo un (z^( ** ))∈(H^( ** )), (SuperStar[y])∈(SuperStar[H]) e calcoliamo (z^( ** ))((SuperStar[y]))=(Subscript[⟨(SuperStar[y]),(Subscript[K, **])((z^( ** )))⟩, (SuperStar[H])])=(Subscript[⟨(SubStar[K])((Subscript[K, **])((z^( ** )))),(SubStar[K])((SuperStar[y]))⟩, H])=(SuperStar[y])((SubStar[K])((Subscript[K, **])((z^( ** )))))=J((SubStar[K])((Subscript[K, **])((z^( ** ))))((SuperStar[y]))). Poiché (SuperStar[y])∈(SuperStar[H]) è arbitrario abbiamo che (z^( ** ))=J((SubStar[K])((Subscript[K, **])((z^( ** )))). Quindi il diagramma è commutativo.

Corollario: gli spazi di Hilbert sono riflessivi.

Definizione di aggiunto hilbertiano. Siano H,G due spazi di Hilbert, A:H->G lineare continuo. L’aggiunto hilbertiano (A^★):G->H associa ad ogni y∈G il vettore (A^★)(y)∈H tale che per ogni x∈H si abbia (Subscript[⟨A x,y⟩, G])=(Subscript[⟨x,(A^★)y⟩, H]).

La definizione è giustificata, perché l’applicazione x↦(Subscript[⟨A x,y⟩, G]) è lineare continua H->ℂ, cioè è un elemento di (SuperStar[H]). Per il teorema di rappresentazione esiste un elemento di (A^★)y∈H che rappresenta questo funzionale.

(Subscript[⟨y,A x⟩, G])=(OverBar[(Subscript[⟨A x,y⟩, G])])=(OverBar[(Subscript[⟨x,(A^★)y⟩, H])])=(Subscript[⟨(A^★)y,x⟩, H]).

L’aggiunto dell’aggiunto è l’operatore di partenza ((((A^★)))^★)=A.

L’aggiunto hilbertiano è lineare: (A^★)((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]))=(A^★)((Subscript[x, 1]))+(A^★)((Subscript[x, 2])) e (A^★)(α x)=α (A^★)(x) (non c’è coniugio). Inoltre (A^★) è continuo: sia y∈G

(Subscript[‖(A^★)(y)‖, H])=(max_(‖x‖=1))|⟨(A^★)(y),x⟩|=(max_(‖x‖=1))|⟨y,A x⟩|≤(sup_(‖x‖=1))(Subscript[‖y‖, G])(Subscript[‖A x‖, G])≤(sup_(‖x‖=1))(Subscript[‖y‖, G])‖A‖(Subscript[‖x‖, H])=(sup_(‖x‖=1))(Subscript[‖y‖, G])‖A‖=(Subscript[‖y‖, G])‖A‖

Quindi ‖(A^★)‖≤‖A‖. Vale anche il viceversa: ‖(A^★)‖=‖A‖.

Collegamento fra l’aggiunto hilbertiano e le identificazioni fra il duale e lo spazio:

Il diagramma è commutativo: prendiamo (SuperStar[y])∈(SuperStar[G]), x∈H. Possiamo scrivere

(Subscript[⟨x,(Subscript[K, H])((SuperStar[A])(SuperStar[y]))⟩, H])=((SuperStar[A])(SuperStar[y]))(x)=(SuperStar[y])(A x)=(Subscript[⟨A x,(Subscript[K, G])((SuperStar[y]))⟩, G])=(Subscript[⟨ x,(A^★)(Subscript[K, G])((SuperStar[y]))⟩, H]).

Questo vale per ogni x∈H, per cui (Subscript[K, H])((SuperStar[A])(SuperStar[y]))=(A^★)(Subscript[K, G])((SuperStar[y])), cioè il diagramma commuta.

Definizione di convergenza debole. Dato uno spazio normato X diremo che la successione (Subscript[x, n])∈X converge debolmente a un vettore (OverBar[x])∈X se per ogni (SuperStar[x])∈(SuperStar[X]) si ha che (SuperStar[x])((Subscript[x, n]))->(SuperStar[x])((OverBar[x])). Simbolo: (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]).

Proprietà del limite debole: se esiste è unico, si mantiene per passaggio a sottosuccessioni, è lineare: se (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]) e (Subscript[y, n])⇀(OverBar[y]) allora (Subscript[x, n])+(Subscript[y, n])⇀(OverBar[x])+(OverBar[y]). Una successione che converge debolmente è limitata (conseguenza del teorema di Banach-Steinhaus). Se (Subscript[x, n]) converge a (OverBar[x]) in norma (“fortemente”), converge anche debolmente alla stessa cosa (non viceversa).

Grazie al teorema di rappresentazione, se X è di Hilbert, (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]) se e solo se  ⟨(Subscript[x, n]),y⟩->⟨(OverBar[x]),y⟩ per n→∞ per ogni y∈X.

Importante: se (Subscript[x, n]) è una successione limitata in uno spazio di Hilbert, allora esiste una sottosuccessione che converge debolmente. (Già fatto nel primo modulo, dimostrazione nelle dispense).

Teorema di caratterizzazione degli operatori compatti fra spazi di Hilbert in termini di convergenza debole.

Trascrizione della lezione del 29 aprile 2020.

Esempio di una successione che converge debolmente ma non in norma: H uno spazio di Hilbert e (Subscript[u, n]) un sistema ortonormale numerabile (per esempio una base hilbertiana). La successione (Subscript[u, n]) converge debolmente al vettore zero. Dobbiamo dimostrare che ⟨(Subscript[u, n]),y⟩->⟨0,y⟩=0 per n->∞. Prendiamo y∈H, sia M la chiusura del sottospazio generato dagli (Subscript[u, n]), e sia (Subscript[P, M]) la proiezione ortogonale di H->M. Sappiamo che

+∞>((‖(Subscript[P, M])y‖)^2)=((‖(∑_(n=1)^∞)⟨y,(Subscript[u, n])⟩(Subscript[u, n])‖)^2)=(∑_(n=1)^∞)((|⟨y,(Subscript[u, n])⟩|)^2). La serie converge, e quindi il termine generale è infinitesimo: ⟨y,(Subscript[u, n])⟩->0 per n->+∞.

Chiaramente (Subscript[u, n]) non tende in norma a zero, anzi, non ha nessuna sottosuccessione di Cauchy, perché ogni elemento dista dagli altri (Sqrt[2]).

Teorema di caratterizzazione degli operatori compatti fra spazi di Hilbert in termini di convergenza debole: siano H,G due spazi di Hilbert, A:H->G operatore lineare continuo. Allora si equivalgono:

Dimostrazione. Supponiamo che A sia compatto e sia (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]). Allora A (Subscript[x, n]) dico che tende debolmente ad A (OverBar[x]) (anche se A non è compatto). Infatti

(Subscript[⟨A (Subscript[x, n])-A (OverBar[x]),y⟩, G])=(Subscript[⟨A((Subscript[x, n])-(OverBar[x])),y⟩, G])=(Subscript[⟨(Subscript[x, n])-(OverBar[x]),(A^★)y⟩, H])->0. Ne segue che A((Subscript[x, n])-(OverBar[x]))⇀0, e quindi A (Subscript[x, n])⇀A (OverBar[x]). Supponiamo per assurdo che non sia vero che A (Subscript[x, n])->A (OverBar[x]). Quindi esiste una sottosuccessione che si tiene lontana da A (OverBar[x]), cioè esiste un ε>0 e una φ:ℕ->ℕ strettamente crescente tali che ‖A (Subscript[x, φ(n)])-A (OverBar[x])‖≥ε. Poiché A è compatto, esiste una ulteriore sottosuccessione tale che A (Subscript[x, φ(ψ(n))]) è di Cauchy per la convergenza forte e quindi converge fortemente a un qualche (OverBar[y])∈G. Passiamo al limite nella disuguaglianza ‖A (Subscript[x, φ(ψ(n))])-A (OverBar[x])‖≥ε: si ottiene ‖(OverBar[y])-A (OverBar[x])‖≥ε. In particolare (OverBar[y])≠A (OverBar[x]). Quindi la sottosuccessione A (Subscript[x, φ(ψ(n))]) converge fortemente (e quindi anche debolmente) a (OverBar[y]) e debolmente ad A (OverBar[x]) (in quanto sottosuccessione). Abbiamo due limiti deboli diversi della stessa sottosuccessione, impossibile.

Viceversa, supponiamo che A mandi successioni che convergono debolmente in successioni che convergono fortemente. Dobbiamo dimostrare che A è compatta. Sia (Subscript[x, n])∈H limitata. Sappiamo che esiste una sottosuccessione che converge debolmente: (Subscript[x, φ(n)])⇀(OverBar[x]). Per ipotesi A (Subscript[x, φ(n)])->A(OverBar[x]). In particolare (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy. Quindi da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione con immagine di Cauchy. A è compatta. CVD

Teoria spettrale.

Teoria degli autovalori e autovettori.

Richiamo. Sia X uno spazio vettoriale complesso (non ridotto al solo zero), A:X->X lineare. Chiameremo autovalore di A un numero complesso λ per il quale esista almeno un (Subscript[x, λ])≠0 tale che A (Subscript[x, λ])=λ (Subscript[x, λ]), cioè A agisce su (Subscript[x, λ]) come la semplice moltiplicazione per λ. I vettori (Subscript[x, λ]) con questa proprietà sono gli autovettori corrispondenti all’autovalore λ. Autospazio relativo a λ è il ker(λ (Subscript[id, X])-A).

In dimensione finita ogni matrice quadrata ha almeno un autovalore complesso. Questo non si trasporta in dimensione infinita. Vedremo operatori che non hanno autovalori.

Teorema. Sia X spazio normato, A:X->X lineare compatto, λ autovalore non nullo di A. Allora l’autospazio relativo a λ ha dimensione finita.

Dimostrazione. Sia (Subscript[Z, λ])=ker(λ (Subscript[id, X])-A). (Subscript[Z, λ]) è un sottospazio vettoriale chiuso di A, perché nucleo di un operatore lineare continuo. Se prendiamo la restrizione di A a (Subscript[Z, λ]), questa agisce su (Subscript[Z, λ]) come un multiplo dell’identità: x↦λ x, ed è biiettiva perché λ≠0. Prendiamo una successione (Subscript[x, n])∈(Subscript[Z, λ]) limitata. Poiché A è compatto, esiste una sottosuccessione tale che A (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy. Però A (Subscript[x, φ(n)])=λ (Subscript[x, φ(n)]), e quindi anche λ (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy, e quindi anche (Subscript[x, φ(n)]) è di Cauchy (λ≠0). Nello spazio (Subscript[Z, λ]) ogni successione limitata ha una sottosuccessione di Cauchy. Questo è possibile solo in dimensione finita. CVD

Esempio di un operatore compatto che non ha autovalori. Sia X=(ℓ^p)(ℕ), con 1<p<+∞. Consideriamo l’operatore A che manda il vettore x=(x(1),x(2),x(3),…) in A x=(0,((x(1))/2),((x(2))/3),((x(3))/4),…,((x(n-1))/n),…). Esercizio: A è lineare, compatta (manda la palla unitaria nel cubo di Hilbert), e non ha autovalori.

Definizione. Sia H uno spazio di Hilbert, A:H->H lineare continuo. A si dice autoaggiunto se A=(A^★), cioè se ⟨A x,y⟩=⟨x,A y⟩ per ogni x,y∈H.

Proposizione. Sia H uno spazio di Hilbert, A:H->H lineare continuo autoaggiunto. Allora

Dimostrazione. Sia λ∈ℂ un autovalore di A e x≠0 un autovettore corrispondente. Allora

⟨A x,x⟩=⟨λ x,x⟩=λ⟨x,x⟩=λ((‖x‖)^2),

⟨A x,x⟩=⟨x,(A^★) x⟩=⟨x,A x⟩=⟨x,λ x⟩=(OverBar[λ])⟨x,x⟩=(OverBar[λ])((‖x‖)^2).

Quindi λ((‖x‖)^2)=(OverBar[λ])((‖x‖)^2), dividendo per ((‖x‖)^2)≠0 si ottiene λ=(OverBar[λ]), cioè λ è reale.

Supponiamo che (Subscript[λ, 1])≠(Subscript[λ, 2]) siano due autovalori distinti con autovettori (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]) non nulli. Almeno uno degli autovalori è non nullo, per esempio (Subscript[λ, 1])≠0. Allora

⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩=⟨(1/(Subscript[λ, 1]))(Subscript[λ, 1])(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩=⟨(1/(Subscript[λ, 1]))A (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩=(1/(Subscript[λ, 1]))⟨A (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩=(1/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[x, 1]),A (Subscript[x, 2])⟩=(1/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[λ, 2]) (Subscript[x, 2])⟩=((Subscript[λ, 2])/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩

Portiamo l’ultimo membro al primo: ⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩-((Subscript[λ, 2])/(Subscript[λ, 1]))⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩=0, raccogliamo ⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩(1-((Subscript[λ, 2])/(Subscript[λ, 1])))=0, cioè ⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩(((Subscript[λ, 1])-(Subscript[λ, 2]))/(Subscript[λ, 1]))=0 per cui infine ⟨(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])⟩=0, cioè i due autovettori sono fra loro ortogonali.

Per l’ultima proprietà

x∈ker A⟺A x=0⟺(∀ y∈H   ⟨A x,y⟩=0)⟺(∀ y∈H   ⟨x,A y⟩=0)⟺(∀ z∈A(H)   ⟨x,z⟩=0)⟺(∀ z∈A(H)   x⊥z)⟺(x⊥A(H))⟺(x∈((A(H))^⊥))

Attenzione: A(H) può non esser chiuso in H. In dimensione infinita non è detto che H=(ker A)⊕A(H), si può dire solo che H=(ker A)⊕cl(A(H)). Anche se ker A={0} non vuol dire che A sia suriettiva, vuol solo dire che l’immagine è densa.

Esempio semplice di operatore auaggiunto compatto. Sia H=(ℓ^2)(ℕ). Consideriamo l’operatore A che manda il vettore x=(x(1),x(2),x(3),…) in A x=(((x(1))/1),((x(2))/2),((x(3))/3),((x(4))/4),…,((x(n))/n),…). Sappiamo già che è compatto. Verifichiamo che è autoaggiunto:

⟨A x,y⟩=(∑_(k=1)^(+∞))⟨(A x)(k),y(k)⟩=(∑_(k=1)^(+∞))⟨((x(k))/k),y(k)⟩=(∑_(k=1)^(+∞))⟨x(k),((y(k))/k)⟩=(∑_(k=1)^(+∞))⟨x(k),(A y)(k)⟩=⟨x,A y⟩

La matrice infinita corrispondente ad A è diagonale, con 1,(1/2),(1/3),… sulla diagonale, che sono tutti autovalori. Il nucleo di A contiene il solo zero. A è iniettiva, però non è suriettiva. Se per caso lo fosse, sarebbe un omeomorfismo compatto, che va contro la proposizione che avevamo visto. Lo zero non è autovalore di A.

Teorema sugli operatori autoaggiunti compatti: hanno sempre almeno un autovalore. Sia H uno spazio di Hilbert (non ridotto al solo zero) e sia A:H->H autoaggiunto compatto. Consideriamo la forma quadratica T(x)=⟨A x,x⟩. Questa ha valori reali. Si può dire quanto segue:

Dimostrazione. T ha valori reali: T(x)=⟨A x,x⟩=(OverBar[⟨x,A x⟩])=(OverBar[⟨(A^★)x,x⟩])=(OverBar[⟨A x,x⟩])=(OverBar[T(x)]).

(Subscript[λ, 0])=(sup_(‖x‖=1))|T(x)|. Osserviamo che

|T(x)|≤|⟨A x,x⟩|≤‖A x‖‖x‖≤‖A‖‖x‖‖x‖=‖A‖((‖x‖)^2).

Quindi (Subscript[λ, 0])=(sup_(‖x‖=1))|T(x)|≤(sup_(‖x‖=1))‖A‖((‖x‖)^2)=‖A‖. Insomma: (Subscript[λ, 0])≤‖A‖. Dobbiamo dimostrare la disuguaglianza (Subscript[λ, 0])≥‖A‖.

Facciamo questo conto (assomiglia a quello dell’identità di polarizzazione):

T(x+y)-T(x-y)=⟨A(x+y),x+y⟩-⟨A(x-y),x-y⟩=⟨Ax,x⟩+⟨Ax,y⟩+⟨Ay,x⟩+⟨A y,y⟩-(⟨A x,x⟩-⟨A x,y⟩-⟨A y,x⟩+⟨A y,y⟩)=2⟨A x,y⟩+2⟨A y,x⟩=2⟨A x,y⟩+2⟨y,A x⟩=2⟨A x,y⟩+2(OverBar[⟨A x,y⟩])=4Re⟨A x,y⟩

Quest’altro conto:

Se x≠0 |T(x)|=|⟨A x,x⟩|=((‖x‖)^2)|⟨A (x/(‖x‖)),(x/(‖x‖))⟩|≤((‖x‖)^2)(Subscript[λ, 0]). Quindi |T(x)|≤(Subscript[λ, 0])((‖x‖)^2) (vero anche per x=0 banalmente).

|T(x+y)|+|T(x-y)|≤(Subscript[λ, 0])((‖x+y‖)^2)+(Subscript[λ, 0])((‖x-y‖)^2)=(Subscript[λ, 0])(((‖x+y‖)^2)+((‖x-y‖)^2))=(Subscript[λ, 0])(2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2))

Mettendo insieme:

4Re⟨A x,y⟩=T(x+y)-T(x-y)≤|T(x+y)|+|T(x-y)|≤(Subscript[λ, 0])(2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2)).

Prendiamo ‖x‖=1, A x≠0, y=((A x)/(‖A x‖)), e sostituiamo:

4Re⟨A x,y⟩≤(Subscript[λ, 0])(2((‖x‖)^2)+2((‖y‖)^2))

4Re⟨A x,((A x)/(‖A x‖))⟩≤(Subscript[λ, 0])(2 (1^2)+2((‖((A x)/(‖A x‖))‖)^2))

(4/(‖A x‖))Re⟨A x,A x⟩≤(Subscript[λ, 0])(2+2)

(4/(‖A x‖))((‖A x‖)^2)≤(Subscript[λ, 0])(2+2)

4‖A x‖≤4(Subscript[λ, 0])

‖A x‖≤(Subscript[λ, 0])

Quindi (sup_(‖x‖=1))‖A x‖≤(Subscript[λ, 0]), cioè ‖A‖≤(Subscript[λ, 0]). Abbiamo dimostrato che (Subscript[λ, 0])=‖A‖.

Trascrizione della lezione del 5 maggio 2020.

Dobbiamo ora mostrare che o ‖A‖ o il suo opposto è un autovalore. Sia (Subscript[x, n]) una successione massimizzante, cioè ‖(Subscript[x, n])‖=1 e |T((Subscript[x, n]))|->‖A‖. A meno di passare a una sottosuccessione possiamo supporre di essere in uno dei due casi seguenti:

(i due casi non si escludono). Supponiamo di essere nel primo caso. Scriviamo

0≤((‖‖A‖(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n])‖)^2)=((‖‖A‖(Subscript[x, n])‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-2Re⟨‖A‖(Subscript[x, n]),A (Subscript[x, n])⟩=((‖A‖)^2)((‖(Subscript[x, n])‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-‖A‖2Re⟨(Subscript[x, n]),A (Subscript[x, n])⟩=
((‖A‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-‖A‖2Re⟨(Subscript[x, n]),A (Subscript[x, n])⟩=
((‖A‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-‖A‖2Re⟨A (Subscript[x, n]),(Subscript[x, n])⟩=
((‖A‖)^2)+((‖A (Subscript[x, n])‖)^2)-‖A‖2T((Subscript[x, n]))≤((‖A‖)^2)+((‖A‖)^2)((‖(Subscript[x, n])‖)^2)-‖A‖2T((Subscript[x, n]))=
((‖A‖)^2)+((‖A‖)^2)-2‖A‖T((Subscript[x, n]))=2((‖A‖)^2)-‖A‖2T((Subscript[x, n]))->2((‖A‖)^2)-2‖A‖‖A‖=0

Quindi ‖A‖(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n]) tende a zero in norma. Finora non abbiamo mai usato la compattezza di A. Ora è venuto il momento. La successione (Subscript[x, n]) è di versori, quindi limitata, quindi, eventualmente passando a una sottosuccessione possiamo supporre che converga debolmente a qualcosa (OverBar[x])∈H. Sappiamo che da (Subscript[x, n])⇀(OverBar[x]) segue che A (Subscript[x, n])->A (OverBar[x]). Possiamo scrivere:

‖A‖(Subscript[x, n])=A (Subscript[x, n])+(‖A‖(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n]))->A (OverBar[x])+0=A (OverBar[x]). D’altra parte ‖A‖(Subscript[x, n]) tende debolmente a ‖A‖(OverBar[x]). Il limite forte e quello debole coincidono: A (OverBar[x])=‖A‖(OverBar[x]). Questo è quasi dire che ‖A‖ è autovalore: non sappiamo ancora se ‖(OverBar[x])‖≠0.

Supponiamo che ‖(OverBar[x])‖=0. Allora A (Subscript[x, n])->A (OverBar[x])=A 0=0. Ma allora

|T((Subscript[x, n]))|=|⟨A (Subscript[x, n]),(Subscript[x, n])⟩|≤‖A (Subscript[x, n])‖‖(Subscript[x, n])‖=‖A (Subscript[x, n])‖->0. Ma (Subscript[x, n]) era massimizzante, e quindi |T((Subscript[x, n]))|->‖A‖. Uguagliando i due limiti abbiamo che ‖A‖=0, cioè A è identicamente nulla, che è un caso in cui il teorema è banalmente verificato. Se A non è identicamente nulla, allora (OverBar[x])≠0, e quindi è un autovettore.

Per esercizio svolgere i conti nel caso in cui T((Subscript[x, n]))->-‖A‖, e il fatto che gli autoversori con autovalore ±‖A‖ sono tutti e soli quelli che massimizzano |T(x)| sulla sfera unitaria. CVD

Ricordiamo che gli autospazi con autovalore non nullo hanno dimensione finita.

Teorema di diagonalizzazione degli operatori autoaggiunti compatti. Sia H di Hilbert e A:H->H lineare autoaggiunto compatto. Allora esiste una base hilbertiana dell’immagine A(H) formata da autovettori di A. Più precisamente:

Dimostrazione. Se A è identicamente nullo è tutto banale. Supponiamo quindi che ‖A‖>0. Dal teorema precedente sappiamo che (Subscript[λ, 1])=±‖A‖ è autovalore di A (attenzione (Subscript[λ, 1]) non ha lo stesso significato che nel teorema precedente), con un autoversore associato (Subscript[u, 1]). Sia (Subscript[M, 1])=span{(Subscript[u, 1])}. Verifichiamo che A manda (Subscript[M, 1]^⊥) in se stesso:

x∈(Subscript[M, 1]^⊥)⟺(∀ α∈ℂ   x⊥α (Subscript[u, 1]))⟺(∀ α∈ℂ   ⟨x,α (Subscript[u, 1])⟩=0)⟺⟨x,(Subscript[u, 1])⟩=0⟺(1/(Subscript[λ, 1]))⟨x,(Subscript[λ, 1])(Subscript[u, 1])⟩=0⟺⟨x,A (Subscript[u, 1])⟩=0⟺⟨A x,(Subscript[u, 1])⟩=0⟺
(∀ α∈ℂ   ⟨A x,α (Subscript[u, 1])⟩=0)⟺(∀ y∈(Subscript[M, 1])   ⟨A x,y⟩=0)⟺A x⊥(Subscript[M, 1]^⊥)⟺
A x∈(Subscript[M, 1]^⊥)

Consideriamo la restizione di A al sottospazio (Subscript[M, 1]^⊥), che è chiuso in H, quindi è di Hilbert. Possiamo applicare il teorema precedente ad A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)]):(Subscript[M, 1]^⊥)->(Subscript[M, 1]^⊥), che ha una sua norma operatoriale: ‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)])‖=(sup_(‖x‖=1,x∈(Subscript[M, 1]^⊥)))‖A x‖≤(sup_(‖x‖=1,x∈H))‖A x‖=‖A‖=|(Subscript[λ, 1])|. La restrizione è ancora autoaggiunta compatta. Può succedere che questa restrizione sia identicamente nulla, caso che tratteremo dopo. Nel sottospazio (Subscript[M, 1]^⊥) c’è un autovalore (Subscript[λ, 2]) con rispettivo autoversore (Subscript[u, 2]) tali che |(Subscript[λ, 2])|=±‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)])‖, |(Subscript[λ, 2])|≤|(Subscript[λ, 1])|. L’autoversore (Subscript[u, 2]) sta in (Subscript[M, 1]^⊥) e quindi è ortogonale a (Subscript[u, 1]). Abbiamo due autovalori (Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]) con autoversori (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) ortogonali.

Sia (Subscript[M, 2])=span{(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2])}. Il suo ortogonale (Subscript[M, 2]^⊥) è un sottospazio chiuso di H, e inoltre A manda (Subscript[M, 2]^⊥) in se stesso. Il conto è simile a prima:

x∈(Subscript[M, 2]^⊥)⟺(∀ (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])∈ℂ   x⊥((Subscript[α, 1]) (Subscript[u, 1])+(Subscript[α, 2]) (Subscript[u, 2])))⟺(x⊥(Subscript[u, 1])⋀x⊥(Subscript[u, 2]))⟺(⟨x,(Subscript[u, 1])⟩=0⋀⟨x,(Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(⟨x,(Subscript[λ, 1])(Subscript[u, 1])⟩=0⋀⟨x,(Subscript[λ, 2])(Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(⟨x,A (Subscript[u, 1])⟩=0⋀⟨x,A (Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(⟨x,A (Subscript[u, 1])⟩=0⋀⟨x,A (Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(⟨A x,(Subscript[u, 1])⟩=0⋀⟨A x,(Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(∀ (Subscript[α, 1]),(Subscript[α, 2])∈ℂ   ⟨A x,(Subscript[α, 1]) (Subscript[u, 1])+(Subscript[α, 2]) (Subscript[u, 2])⟩=0)⟺(∀ y∈(Subscript[M, 2])   ⟨A x,y⟩=0)⟺A x⊥(Subscript[M, 2])⟺A x∈(Subscript[M, 2]^⊥)

Possiamo ripetere il conto:

‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 2]^⊥)])‖=(sup_(‖x‖=1,x∈(Subscript[M, 2]^⊥)))‖A x‖≤(sup_(‖x‖=1,x∈(Subscript[M, 1]^⊥)))‖A x‖=‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 1]^⊥)])‖=|(Subscript[λ, 2])|.

Quindi nel sottospazio (Subscript[M, 2]^⊥) c’è un autovalore (Subscript[λ, 3]) con rispettivo autoversore (Subscript[u, 3]) tali che |(Subscript[λ, 3])|=±‖A(Subscript[|, (Subscript[M, 2]^⊥)])‖, |(Subscript[λ, 3])|≤|(Subscript[λ, 2])|.

Questo procedimento si itera. Possono capitare due cose:

Mettiamoci nel primo caso: (Subscript[M, n])=span{(Subscript[u, 1]),...,(Subscript[u, n])}, è tale che A è identicamente nullo su (Subscript[M, n]^⊥). Possiamo scrivere

A x=A((Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+(Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x)=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x=A(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])=(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩A (Subscript[u, k])=(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[λ, k])(Subscript[u, k])

che completa il primo caso.

Nel secondo caso A(H) ha dimensione infinita, perché contiene tutti gli (Subscript[u, k]). Sia M la chiusura dello span{(Subscript[u, 1]),...}. Sappiamo che ogni sistema ortonormale tende a zero debolmente: (Subscript[u, n])⇀0 (esercizio). Dato che A è compatto, A (Subscript[u, n])->0, e quindi

|(Subscript[λ, n])|=‖(Subscript[λ, n]) (Subscript[u, n])‖=‖A (Subscript[u, n])‖->0. Quindi effettivamente (Subscript[λ, n])->0. Poi

A x=A((Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+(Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x)=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x+A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x=A (Subscript[P, (Subscript[M, n])])x=A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x+A(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])=A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x+(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩A (Subscript[u, k])=A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x+(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])

Quindi

‖A x-(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖=‖A (Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x‖≤‖A(Subscript[|, (Subscript[M, n]^⊥)])‖‖(Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x‖=|(Subscript[λ, n+1])|‖(Subscript[P, (Subscript[M, n]^⊥)])x‖≤|(Subscript[λ, n+1])|‖x‖->0

In definitiva la somma parziale (∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) tende in norma a A x, e

A x=(∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) (che è sommabile nel senso delle somme infinite, esercizio). CVD

Proposizione. Caratterizzazione degli operatori autoaggiunti compatti. Sia H di Hilbert, A:H->H lineare continuo. Allora si equivalgono:

Dimostrazione. Una implicazione già fatta, rimane l’altra. La somma

A x=(∑_(k=1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]) è sommabile (esercizio, (Subscript[λ, k]) sono limitati). Poniamo (Subscript[M, n])=span{(Subscript[u, 1]),...,(Subscript[u, n])}, (Subscript[P, (Subscript[M, n])]) la proiezione ortogonale associata, (Subscript[A, n])x=(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k]). Questa (Subscript[A, n]) è lineare H->H, ha rango finito, quindi compatta. Per esercizio è autoaggiunta (esercizio). Nel caso infinito preso un x∈H si può scrivere

((‖(A -(Subscript[A, n]))x‖)^2)=((‖A x-(Subscript[A, n])x‖)^2)=((‖A x-(∑_(k=1)^n)(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=((‖(∑_(k=n+1)^(+∞))(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=n+1)^(+∞))((‖(Subscript[λ, k])⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[u, k])‖)^2)=(∑_(k=n+1)^(+∞))((|(Subscript[λ, k])|)^2)((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)≤(∑_(k=n+1)^(+∞))((|(Subscript[λ, n+1])|)^2)((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)=((|(Subscript[λ, n+1])|)^2)(∑_(k=n+1)^(+∞))((|⟨x,(Subscript[u, k])⟩|)^2)≤((|(Subscript[λ, n+1])|)^2)((‖x‖)^2)

Quindi la norma operatoriale ‖A -(Subscript[A, n])‖≤|(Subscript[λ, n+1])|->0. Gli (Subscript[A, n]) sono di rango finito, quindi compatti, e quando una successione di operatori compatti converge in norma, l’operatore limite è anch’esso compatto (teorema fatto). Quindi A è compatto. È anche autoaggiunto perché gli (Subscript[A, n]) sono autoaggiunti.

Trascrizione della lezione del 6 maggio 2020.

Teorema dell’alternativa di Fredholm. Sia H uno spazio di Hilbert, A:H->H lineare compatto, poniamo I=(Subscript[id, H]), T=I-A. Allora

Osserviamo che il teorema esclude una terza alternativa: che T sia iniettivo senza essere suriettivo.

Dimostrazione. Si divide in più passi.

Passo 1. T(H) è chiusa in H.

Sia (OverBar[y])∈cl T(H). Voglio dimostrare che (OverBar[y])∈T(H), cioè che esiste un (OverBar[x])∈H tale che (OverBar[y])=T (OverBar[x]). Esiste una successione (Subscript[x, n])∈H tale che (Subscript[y, n])=T (Subscript[x, n])->(OverBar[y]). Possiamo supporre che (Subscript[x, n])∈(((ker T))^⊥): infatti

(Subscript[y, n])=T (Subscript[x, n])=T((Subscript[P, ker T])(Subscript[x, n])+(Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n]))=T (Overscript[(Subscript[P, ker T])(Subscript[x, n]), (Overscript[⏞, ∈ker T])])+T (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n])=0+T (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n])=T (Subscript[P, (((ker T))^⊥)])(Subscript[x, n])

Dimostriamo che (Subscript[x, n]) è limitato. Per assurdo, supponiamo che non sia limitato. Salvo passare a una sottosuccessione, possiamo supporre che ‖(Subscript[x, n])‖->+∞. Osserviamo che (Subscript[y, n]) è limitata, in quanto convergente. Scriviamo (Subscript[y, n])=T (Subscript[x, n])=(I-A)(Subscript[x, n])=(Subscript[x, n])-A (Subscript[x, n]), e dividiamola per ‖(Subscript[x, n])‖:

((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))=((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))-A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)). Il primo membro tende a zero, perché (Subscript[y, n]) è limitata e il denominatore va all’infinito. Il termine ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) è limitato perché sono versori. Salvo passare a una ulteriore sottosuccessione possiamo supporre che A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->(OverBar[z]), perché A è compatto. Ricaviamo ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) dall’equazione:

((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))=((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))+A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->0+(OverBar[z])=(OverBar[z]). Ma allora A((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->A (OverBar[z]) perché A è continuo. Riprendiamo la stessa cosa

((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))=((Subscript[y, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))+A ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->0+A (OverBar[z])=A (OverBar[z]). Uguagliando i due limiti abbiamo che A (OverBar[z])=(OverBar[z]), cioè T (OverBar[z])=(OverBar[z])-A (OverBar[z])=0, cioè (OverBar[z])∈ker T. Ricordiamoci che (Subscript[x, n])∈(((ker T))^⊥), quindi anche ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))∈(((ker T))^⊥), ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->(OverBar[z]), (((ker T))^⊥) è chiuso perché è un ortogonale. Quindi (OverBar[z])∈(((ker T))^⊥). Unendo le due cose (OverBar[z])∈(ker T)⋂(((ker T))^⊥)={0}. Insomma, (OverBar[z])=0. Questo è impossibile, perché ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖))->(OverBar[z]) in norma, e ((Subscript[x, n])/(‖(Subscript[x, n])‖)) hanno tutti norma 1, per cui anche (OverBar[z]) ha norma 1. Concludiamo che che (Subscript[x, n]) è limitato.

Estraiamo una sottosuccessione che converge debolmente (Subscript[x, φ(n)])⇀(OverBar[x]). Applicando l’operatore compatto A, abbiamo che A (Subscript[x, φ(n)])->A (OverBar[x]). Torniamo a (Subscript[y, φ(n)])=T (Subscript[x, φ(n)])=(Subscript[x, φ(n)])-A (Subscript[x, φ(n)]) e vediamo cosa fanno i vari termini: (Subscript[y, φ(n)])->(OverBar[y]) per ipotesi iniziale, (Subscript[x, φ(n)])⇀(OverBar[x]), A (Subscript[x, φ(n)])->A (OverBar[x]).

Quindi (Subscript[y, φ(n)])=(Subscript[x, φ(n)])-A (Subscript[x, φ(n)])⇀(OverBar[x])-A (OverBar[x]). Uguagliando i limiti forte e debole otteniamo che (OverBar[y])=(OverBar[x])-A (OverBar[x])=T (OverBar[x]), cioè (OverBar[y])∈T(H), quello che volevamo.

Passo 2. (T^n)(H) (iterata) è chiusa per ogni n∈ℕ.

Per n=1 l’abbiamo appena fatto. Prendiamo n=2.

(T^2)=T T=(I-A)(I-A)=I-2A+(A^2)=I-(2I-A)A.

L’operatore (2I-A)A è composizione di 2I-A, che è lineare continuo, con A, che è compatto. La composizione di un continuo con un compatto è compatta. Quindi (T^2) è della forma identità meno compatto. Il passo 1 si può applicare a (T^2). L’immagine di (T^2) è chiusa.

L’iterata generica si può sempre scrivere come I-(continuo)A, quindi identià meno compatto.

Passo 3. ker (T^★)=((T(H))^⊥) e (((ker (T^★)))^⊥)=T(H).

Il fatto che ker (T^★)=((T(H))^⊥)  non ha bisogno della compattezza:

x∈ker (T^★)⟺(T^★)x=0⟺(∀ y∈H   ⟨(T^★)x,y⟩=0)⟺(∀ y∈H   ⟨x,T y⟩=0)⟺(∀ z∈T(H)   ⟨x,z⟩=0)⟺x∈((T(H))^⊥)

Dal passo 1 sappiamo che T(H) è chiuso, passando agli ortogonali in ker (T^★)=((T(H))^⊥) otteniamo (((ker (T^★)))^⊥)=(((T(((H))^⊥)))^⊥)=T(H). (In generale ((((M^⊥)))^⊥)=cl M).

Passo 4. Esiste un (OverBar[k])∈ℕ tale che (T^((OverBar[k])+1))(H)=(T^(OverBar[k]))(H).

In generale (T^(k+1))(x)=(T^k)(T x), quindi ogni elemento di (T^(k+1))(H) appartiene anche a (T^k)(H), quindi (T^(k+1))(H)⊆(T^k)(H).

Dal passo 2 sappiamo che (T^k)(H) sono tutte chiuse. Supponiamo per assurdo che (T^(k+1))(H)≠(T^k)(H). Per ogni k, (T^k)(H) è uno spazio di Hilbert perché è chiuso, (T^(k+1))(H) è un suo sottospazio chiuso proprio, possiamo fare la decomposizione ortogonale (T^k)(H)=(T^(k+1))(H)⊕(Subscript[M, k+1]) con (Subscript[M, k+1])⊥(T^(k+1))(H), e (Subscript[M, k+1])≠{0}. Abbiamo una successione di spazi non banali (Subscript[M, k]) ortogonali uno all’altro. Estraiamo un versore da ciascuno: (Subscript[u, n])∈ (Subscript[M, n+1])⊂(T^n)(H), ‖(Subscript[u, n])‖=1. Questo è un sistema ortonormale numerabile. Prendiamo n<m e calcoliamo:

A (Subscript[u, n])-A (Subscript[u, m])=((Subscript[u, n])-T (Subscript[u, n]))-((Subscript[u, m])-T (Subscript[u, m]))=(Overscript[(Subscript[u, n]), (Overscript[⏞, ∈(Subscript[M, n+1])])])-(Overscript[((Overscript[(Subscript[u, m]), (Overscript[⏞, ∈(T^m)(H)])])+(Overscript[T (Subscript[u, n]), (Overscript[⏞, ∈(T^(n+1))(H)])])-(Overscript[T (Subscript[u, m]), (Overscript[⏞, ∈(T^(m+1))(H)])])),            ∈(T^(n+1))(H)])

Prendiamo le norme quadre:

((‖A (Subscript[u, n])-A (Subscript[u, m])‖)^2)=((‖(Subscript[u, n])‖)^2)+((‖(Subscript[u, m])+T (Subscript[u, n])-T (Subscript[u, m])‖)^2)=1+((‖(Subscript[u, m])+T (Subscript[u, n])-T (Subscript[u, m])‖)^2)≥1

quindi la successione n↦A (Subscript[u, n]) non ha sottosuccessioni di Cauchy, perché due termini qualsiasi differiscono per almeno 1. Questo contraddice l’ipotesi che A sia compatta.

Passo 5. T:H->H è biiettivo se e solo se T è iniettivo, se e solo se (T^★):H->H è iniettivo, se e solo se (T^★) è biiettivo. In altre parole, se uno fra T e (T^★) è iniettivo, sono entrambi biiettivi.

Se T è biiettivo è chiaramente anche iniettivo. Per il viceversa, supponiamo che T sia iniettivo ma non suriettivo. Prendiamo l’indice (OverBar[k])∈ℕ del passo precedente. Poiché T è iniettivo, tutte le sue iterate sono iniettive. Poiché T non è suriettivo, esiste un (Subscript[y, 0])∈H che non è nell’immagine di T, cioè tale che per ogni x∈H si ha che T x≠(Subscript[y, 0]). Portiamo al primo membro: T x-(Subscript[y, 0])≠0. Applichiamo ad ambo i membri l’iterata (T^(OverBar[k])):

(T^(OverBar[k]))(T x-(Subscript[y, 0]))≠(T^(OverBar[k]))(0), quindi (T^((OverBar[k])+1)) x-(T^(OverBar[k]))(Subscript[y, 0])≠0, cioè (T^((OverBar[k])+1)) x≠(T^(OverBar[k]))(Subscript[y, 0]) per ogni x∈H. Quindi il vettore (T^(OverBar[k]))(Subscript[y, 0]) non sta nell’immagine di (T^((OverBar[k])+1)), contro il passo precedente. Deduciamo che quando T è iniettivo, è anche suriettivo, cioè è biiettivo.

L’aggiunto hilbertiano (T^★)=(((I-A))^★)=(I^★)-(A^★)=I-(A^★), quindi anche (T^★) è della forma identità meno compatto, quindi la conclusione precedente vale anche per (T^★), cioè è biiettivo se e solo se è iniettivo.

Supponiamo che T sia biiettivo. Allora T(H)=H. Per il passo 3, (((ker (T^★)))^⊥)=T(H), quindi ker (T^★)={0}, cioè (T^★) è iniettivo, quindi biiettivo.

Passo 6. dim ker T=dim ker (T^★)<+∞.

Sappiamo che le dimensioni sono finite perché sono autospazi di operatori compatti A,(A^★). Rimane da dimostrare che le dimensioni sono uguali. Se per caso la dimensione di uno dei due è nulla, allora quello è iniettivo, ma allora per il passo precedente anche l’altro lo è, e quindi anche l’altro ha dimensione zero. Supponiamo che le dimensioni siano maggiori di zero, dim ker T=n, dim ker (T^★)=m, possiamo supporre che n≤m, salvo invertire i ruoli. Supponiamo per assurdo che n<m.

Prendiamo una base ortonormale di ker T=span{(Subscript[u, 1,])...,(Subscript[u, n])}, e una base ortonormale di ker (T^★)=span{(Subscript[v, 1,])...,(Subscript[v, m])}. Definiamo i seguenti operatori:

S x=T x-(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])=x-A x-(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])=x-(A x+(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]))=x-B x,

dove B x=A x+(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]).

Noriamo che B è un operatore compatto, perché somma di A, che è compatto, con x↦(∑_(k=1)^n)⟨x,(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]), che ha rango finito, quindi compatto. Voglio dimostrare che S è iniettivo. Prendiamo (OverBar[x])∈ker S, cioè S (OverBar[x])=0, cioè

T (OverBar[x])=(∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]), il primo membro appartiene a T(H), il secondo membro è una combinazione lineare dei (Subscript[v, k])∈ker (T^★). Però ker (T^★)⊥T(H), l’intersezione è il solo zero, quindi (OverBar[x])∈ker T. Inoltre da (∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k])=0 deduciamo che ⟨(OverBar[x]),(Subscript[u, k])⟩=0 per ogni k perché i (Subscript[v, k]) sono linearmente indipendenti. Quindi (OverBar[x])⊥(Subscript[u, k]) per ogni k, quindi (OverBar[x])∈(((ker T))^⊥). Quindi (OverBar[x])∈(ker T)⋂(((ker T))^⊥)={0}, cioè (OverBar[x])=0. Ricaviamo che ker S={0}, cioè S è iniettivo. Per il passo precedente è biiettivo. In particolare è suriettivo: S(H)=H.

Consideriamo (Subscript[v, n+1]). Poiché S è suriettivo, esiste un (OverBar[y])∈H tale che S(OverBar[y])=(Subscript[v, n+1]). Calcoliamo la norma quadra di (Subscript[v, n+1]):

1=((‖(Subscript[v, n+1])‖)^2)=⟨(Subscript[v, n+1]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨S(OverBar[y]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨T (OverBar[y])-(∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[y]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨T (OverBar[y]),(Subscript[v, n+1])⟩-⟨(∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[y]),(Subscript[u, k])⟩(Subscript[v, k]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨T (OverBar[y]),(Subscript[v, n+1])⟩-(∑_(k=1)^n)⟨(OverBar[y]),(Subscript[u, k])⟩(Overscript[⟨(Subscript[v, k]),(Subscript[v, n+1])⟩, (Overscript[⏞, =0])])=⟨T (OverBar[y]),(Subscript[v, n+1])⟩=⟨ (OverBar[y]),(T^★)(Overscript[(Subscript[v, n+1]), (Overscript[⏞, ∈ker (T^★)])])⟩=0

Assurdo. Concludiamo che n=m.

Trascrizione della lezione del 12 maggio 2020.

Teorema dell’alternativa, versione per autovalori qualsiasi (non nulli). Sia H uno spazio di Hilbert, A:H->H lineare e compatto, μ∈ℂ∖{0}. Ci interessa la risolubilità dell’equazione μ x-A x=y, cioè (μ I-A)x=y, per y fissato e incognita x. Ci sono due alternative:

L’alternativa che viene esclusa dal teorema è che μ I-A sia iniettivo senza essere suriettivo.

Nel caso in cui A è autoaggiunto compatto, con la relativa decomposizione spettrale, la o le soluzioni dell’equazione (μ I-A)x=y possono essere esplicitate in termini degli autovalori e autovettori di A.

Applicazioni concrete della teoria degli operatori compatti.

Operatori nucleo integrale. Data una funzione K:[a,b]×[a,b]->ℂ, detta nucleo integrale, chiamiamo operatore nucleo integrale associato a K l’operatore che associa ad una f:[a,b]->ℂ la funzione ((Subscript[A, K])f)(x):=(∫_a^b)K(x,y)f(y)dy, dove x∈[a,b].

Esempio: abbiamo già incontrato l’operatore integrale che associa ad f:[0,1]->ℝ la funzione integrale, o primitiva, F(x):=(∫_0^x)f(y)dt, per esempio da (𝒞^0) in sé. Avevamo visto che era un operatore compatto. Questo operatore si può riscrivere come operatore nucleo integrale:

(∫_0^x)f(y)dy=(∫_0^1)f(y)(Subscript[χ, [0,x]])(y)dy. Definiamo (Subscript[χ, [0,x]])(y)=K(x,y). Abbiamo che F(x)=((Subscript[A, K])f)(x). Questo nucleo integrale è discontinuo sulla diagonale:

La teoria degli operatori nucleo integrale si può sviluppare in diversi spazi. Noi faremo due casi: (Subscript[A, K]):(L^2)([a,b])->(L^2)([a,b]) e quello in cui (Subscript[A, K]):(𝒞^0)->(𝒞^0).

Perché abbia senso l’integrale (∫_a^b)K(x,y)f(y)dy una prima richiesta minimale è che la funzione y↦K(x,y)f(y) sia misurabile per ogni x o almeno per quasi ogni x. Questo è garantito dall’ipotesi molto semplice che K sia boreliano, cioè misurabile rispetto alla σ-algebra dei boreliani di (ℝ^2). Ipotesi molto tranquilla. In pratica le K saranno continue o continue a tratti.

Proposizione (caso (L^2)). Se K∈(L^2)([a,b]×[a,b]), allora (Subscript[A, K]) è un’applicazione lineare e compatta da (L^2)([a,b]) in sé. L’aggiunta hilbertiana (Subscript[A, K]^★) è di nuovo un operatore nucleo integrale (Subscript[A, (K^★)]), dove (K^★)(x,y):=(OverBar[K(y,x)]). Infine (Subscript[A, K]) è autoaggiunta se e solo se (K^★)=K quasi ovunque.

Dimostrazione. Poniamo H=(L^2)([a,b]), G=(L^2)([a,b]×[a,b]). Se K∈G, f∈H, vediamo che la funzione di due variabili (x,y)↦K(x,y)f(y) è in (L^1)([a,b]×[a,b]):

(∫_a^b)((∫_a^b)|K(x,y)f(y)|dy)dx≤(∫_([a,b]×[a,b]))|K(x,y)f(y)|dx dy≤((((∫_([a,b]×[a,b]))((|K(x,y)|)^2)dx dy))^(1/2))((((∫_([a,b]×[a,b]))((|f(y)|)^2)dx dy))^(1/2))=(Subscript[‖K‖, G])((((∫_a^b)((∫_a^b)((|f(y)|)^2)dy)dx))^(1/2))=(Subscript[‖K‖, G])((((∫_a^b)((Subscript[‖f‖, 2]^2))dx))^(1/2))=(Subscript[‖K‖, G])(Subscript[‖f‖, H])(Sqrt[b-a])<+∞.

Quindi per il teorema di Fubini-Tonelli, per quasi ogni x∈[a,b] la funzione y↦K(x,y)f(y) è in (L^1)([a,b]), ha senso ((Subscript[A, K])f)(x), e viene una funzione in (L^1)([a,b]), e si può cambiare l’ordine di integrazione nell’integrale doppio (∫_a^b)((∫_a^b)K(x,y)f(y)dy)dx. Per ora (Subscript[A, K]):H->(L^1)([a,b]). Noi vogliamo che (Subscript[A, K]):H->H. Stimiamo la norma in (L^2) di (Subscript[A, K]):

(Subscript[‖(Subscript[A, K])f‖, H]^2)=(∫_a^b)((|(Subscript[A, K])f(x)|)^2)dx=(∫_a^b)((|(∫_a^b)K(x,y)f(y)dy|)^2)dx≤(∫_a^b)((|((((∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dy))^(1/2))((((∫_a^b)((|f(y)|)^2)dy))^(1/2))|)^2)dx=
(Subscript[‖f‖, H]^2)(∫_a^b)((|((((∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dy))^(1/2))|)^2)dx=(Subscript[‖f‖, H]^2)(∫_a^b)(∫_a^b)((|K(x,y)|)^2)dydx=(Subscript[‖f‖, H]^2)(Subscript[‖K‖, G]^2).

Estraendo le radici quadrate (Subscript[‖(Subscript[A, K])f‖, H])=(Subscript[‖f‖, H])(Subscript[‖K‖, G]). Da questo seguono diverse cose: la prima è che effettivamente (Subscript[A, K]):H->H, che (Subscript[A, K]) è continua da H in sé, e che la sua norma operatoriale è ≤(Subscript[‖K‖, G]). Osserviamo che l’applicazione N (sta per “nucleo”) che manda K in (Subscript[A, K]) quindi va da G in ℒ(H,H) e N è continua, la sua norma operatoriale è ≤1.

Calcoliamo esplicitamente (Subscript[A, K]) nel caso particolare che K sia la funzione caratteristica di un rettangolo [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]×[(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]:

(Subscript[A, K])f(x)=(∫_a^b)(Subscript[χ, [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]×[(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]])(x,y)f(y)dy=(∫_a^b)(Subscript[χ, [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]])(x)(Subscript[χ, [(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]])(y)f(y)dy=
(Subscript[χ, [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]])(x)(∫_a^b)(Subscript[χ, [(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])]])(y)f(y)dy=(Subscript[χ, [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]])(x)(∫_(Subscript[y, 1])^(Subscript[y, 2]))f(y)dy.

Quindi (Subscript[A, K])f(x) è un multiplo scalare di una singola funzione x↦(Subscript[χ, [(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]])(x), che non dipende da f. Insomma, (Subscript[A, K]) ha immagine di dimensione 1, quindi è un operatore compatto.

Se prendo come K una combinazione lineare di funzioni caratteristiche di rettangoli, (Subscript[A, K]) sarà una combinazione lineare di operatori ciascuno con immagine di dimensione 1, e quindi (Subscript[A, K]) ha rango finito. Ora le combinazioni lineari di funzioni caratteristiche di rettangoli sono dense in (L^p)([a,b]×[a,b]) per ogni p<+∞. Quindi ogni operatore nucleo integrale si può approssimare in norma operatoriale con operatori di rango finito. Per la teoria che conosciamo, gli operatori nucleo integrale sono tutti compatti.

Per l’aggiunta hilbertiana:

(Subscript[⟨(Subscript[A, K])f,g⟩, H])=(∫_a^b)(Subscript[A, K])f(x)(OverBar[g(x)])dx=(∫_a^b)((∫_a^b)K(x,y)f(y)dy)(OverBar[g(x)])dx=(∫_a^b)((∫_a^b)K(x,y)f(y)(OverBar[g(x)])dy)dx=(∫_a^b)((∫_a^b)K(x,y)f(y)(OverBar[g(x)])dx)dy=
(∫_a^b)((∫_a^b)K(x,y)(OverBar[g(x)])dx)f(y)dy=(∫_a^b)((OverBar[(∫_a^b)(OverBar[K(x,y)])g(x)dx]))f(y)dy=
(∫_a^b)((OverBar[(∫_a^b)(K^★)(y,x)g(x)dx]))f(y)dy=
(∫_a^b)((OverBar[((Subscript[A, (K^★)])g)(y)]))f(y)dy=
(OverBar[(∫_a^b)((Subscript[A, (K^★)])g)(y)(OverBar[f(y)])dy])=(OverBar[⟨(Subscript[A, (K^★)])g,f⟩])=⟨f,(Subscript[A, (K^★)])g⟩.

Effettivamente (Subscript[A, (K^★)])=((((Subscript[A, K])))^★).

Se (K^★)=K quasi ovunque, chiaramente ((((Subscript[A, K])))^★)=(Subscript[A, K]), cioè (Subscript[A, K]) è autoaggiunta. Il viceversa lo tralascio. QED.

Osservazione: se K è a valori reali, la condizione perché (Subscript[A, K]) sia autoaggiunta è semplicemente che K(x,y)=K(y,x), cioè la simmetria rispetto alla diagonale.

Studio di (Subscript[A, K]) fra spazi di funzioni continue.

Proposizione. Se K∈(𝒞^0)([a,b]×[a,b]) allora (Subscript[A, K]) è lineare compatto da (𝒞^0)([a,b]) in sé.

Dimostrazione. Sia ε>0. Poiché K è uniformemente continua (essendo continua su un compatto), esiste un δ>0 tale che

|(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])|<δ∧|(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])|<δ=>|K((Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1]))-K((Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 2]))|<ε.

Prendiamo |(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])|<δ e f∈(𝒞^0)([a,b]). Allora

|((Subscript[A, K])f)((Subscript[x, 1]))-((Subscript[A, K])f)((Subscript[x, 2]))|=|(∫_a^b)K((Subscript[x, 1]),y)f(y)dy-(∫_a^b)K((Subscript[x, 2]),y)f(y)dy|=|(∫_a^b)(K((Subscript[x, 1]),y)-K((Subscript[x, 2]),y))f(y)dy|≤
(∫_a^b)(Overscript[|K((Subscript[x, 1]),y)-K((Subscript[x, 2]),y)|, (Overscript[⏞,   <ε  ])])|f(y)|dy≤ε(∫_a^b)|f(y)|dy≤ε(b-a)sup|f|.

Questo mi dice che (Subscript[A, K])f è continua, e il suo modulo di continuità uniforme è indipendente da f se faccio variare f in un limitato di (𝒞^0)([a,b]). È anche chiaro che se f varia in un limitato di (𝒞^0)([a,b]), anche (Subscript[A, K])f sta in un limitato. Quindi (Subscript[A, K]) manda limitati in insiemi equilimitati ed equiuniformemente continui. Per il teorema di Ascoli-Arzelà (Subscript[A, K]) è compatta. CVD

Esercizio: Se K è continua sul quadrato, (Subscript[A, K]) è lineare compatto anche se visto da (L^1)([a,b]) in (𝒞^0)([a,b]).

Problema di equazioni differenziali: L u=-((ψ u'))'+ϕ u=-ψ' u'-ψ u''+ϕ u operatore differenziale che manda (𝒞^2)([a,b]) in (𝒞^0)([a,b]) con ipotesi su ϕ,ψ. Studieremo problemi ai limiti di questo tipo:

{({{L u=f}, {u(a)=0}, {u(b)=0}})

Trascrizione della lezione del 13 maggio 2020.

Calcoliamo per u,v∈(𝒞^2)

⟨L u,v⟩=(∫_a^b)Lu (OverBar[v])dx=(∫_a^b)(-((ψ u'))'+ϕ u) (OverBar[v])dx=(∫_a^b)(-((ψ u'))') (OverBar[v])dx+(∫_a^b)(ϕ u) (OverBar[v])dx=
-(∫_a^b)((ψ u'))' (OverBar[v])dx+(∫_a^b)ϕ u (OverBar[v])dx=-(∫_a^b)((ψ u'))' (OverBar[v])dx+⟨ϕ u,v⟩=
-(Subscript[[ψ u'(OverBar[v])], a]^b)+(∫_a^b)(ψ u') (OverBar[v])'dx+⟨ϕ u,v⟩=
-(Subscript[[ψ u'(OverBar[v])], a]^b)+⟨ψ u',v'⟩+⟨ϕ u,v⟩.

Trovare condizioni semplici non banali che rendono la forma quadratica ⟨L u,v⟩ definita positiva, cioè ⟨L u,u⟩>0 se u≠0.

Ipotesi di base su ψ,ϕ: definite su [a,b], a valori reali, ψ>0. ψ∈(𝒞^1), ϕ∈(𝒞^0).

Ci interesseranno equazioni differenziali di tre tipi: omogeneo L u=0, non omogenea L u=f, con secondo membro continuo, agli autovalori L u=λ u. Tutti questi tipi di equazioni sono classificate come lineari a coefficienti continui non costanti, e si possono scrivere in forma normale perché ψ≠0:

-ψ' u'-ψ u''+ϕ u=f dividiamo per ψ, -((ψ')/ψ) u'- u''+(ϕ/ψ) u=(f/ψ) , isoliamo u'':

u''=-((ψ')/ψ) u' +(ϕ/ψ) u-(f/ψ). Per questo tipo di equazioni sappiamo che i problemi di Cauchy, quelli in cui assegnamo u((Subscript[x, 0])),u'((Subscript[x, 0])) esiste soluzione unica di classe (𝒞^2) definita su tutto [a,b]. Il nucleo dell’operatore L ha dimensione 2, cioè l’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea L u=0 è un sottospazio di (𝒞^2) di dimensione 2. Esistono due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea.

Dicesi wronskiano di due funzioni (𝒞^1) u,v la funzione W=det(({{u, v}, {u', v'}}))=u v'-v u'.

Proposizione. Se u,v∈ker L allora la funzione ψ W è costante. Inoltre u,v sono linearmente dipendenti se e solo se esiste (Subscript[x, 0])∈[a,b] tale che W((Subscript[x, 0]))=0.

Dimostrazione. Deriviamo ψ W

(ψ W)'=(ψ·(u v'-v u'))'=ψ'·(u v'-v u')+ψ·(u'v'+u v''-v'u'-v u'')=
ψ'·(u v'-v u')+ψ·(u v''-v u'')=u·(ψ'v'+ψ v'')-v·(ψ'u'+ψ u'')=
u ϕ v-v ϕ u=0

dove si è usata l’equazione omogenea L u=-((ψ u'))'+ϕ u=-ψ' u'-ψ u''+ϕ u=0.

Se u,v sono linearmente dipendenti, sono linearmente dipendenti anche le colonne della matrice (({{u, v}, {u', v'}})), quindi il determinante è sempre zero.

Viceversa, supponiamo che il determinante si annulli in un punto (Subscript[x, 0])∈[a,b]. Questo significa che le colonne della matrice (({{u((Subscript[x, 0])), v((Subscript[x, 0]))}, {u'((Subscript[x, 0])), v'((Subscript[x, 0]))}})) sono linearmente dipendenti: una delle due è multipla dell’altra, per esempio (({{u((Subscript[x, 0]))}, {u'((Subscript[x, 0]))}}))=α(({{v((Subscript[x, 0]))}, {v'((Subscript[x, 0]))}})). Consideriamo i due problemi di Cauchy

{({{L w=0}, {w((Subscript[x, 0]))=α v((Subscript[x, 0]))}, {w'((Subscript[x, 0]))=α v'((Subscript[x, 0]))}}),  {({{L w=0}, {w((Subscript[x, 0]))=u((Subscript[x, 0]))}, {w'((Subscript[x, 0]))= u'((Subscript[x, 0]))}}). La seconda ha u come soluzione. La prima ha soluzione α u. Per l’unicità della soluzione del problema di Cauchy, u=α v dappertutto. CVD

Passiamo all’equazione non omogenea L u=f con f continua. C’è il metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Supponiamo di conoscere due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2])∈ker L. Le altre soluzioni dell’equazione omogenea sono combinazioni di queste due: (Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2]), con (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]) costanti arbitrarie. Il metodo consiste nel cercare una soluzione dell’equazione non omogenea facendo variare le costanti arbitrarie, cioè cerchiamo una soluzione di  L u=f della forma u(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])(t). Calcoliamo la derivata prima e seconda di questa u e sostituiamo nell’equazione, con un trucco:

u'=(Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])'=((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2]))+((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])').

Il trucco sta nell'imporre ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2]))≡0.

Calcoliamo la derivata seconda:

u''=((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])')'=(Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])''+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])'+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])''=
((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')+((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])''+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])'')

Per comporre l’equazione differenziale L u=f, L u=-ψ' u'-ψ u''+ϕ u=0

u=(Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2]) moltiplicata per ϕ:  ϕ u=ϕ (Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+ϕ (Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2]),

u'=((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])') moltiplicata per -ψ':    -ψ'u'=-ψ'((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])')

u''=((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')+((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])''+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])'')

moltiplicata per -ψ:   -ψ u''=-ψ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')-ψ ((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])''+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])'')

sommiamo membro a membro:

f=ϕ (Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+ϕ (Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])-ψ'((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])')-ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')-ψ ((Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])''+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2])'')=
(Subscript[c, 1])(ϕ (Subscript[u, 1])-ψ'(Subscript[u, 1])'-ψ (Subscript[u, 1])'')+(Subscript[c, 2])(ϕ (Subscript[u, 2])-ψ'(Subscript[u, 2])'-ψ (Subscript[u, 2])'')-ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')=
(Subscript[c, 1])(L (Subscript[u, 1]))+(Subscript[c, 2])(L (Subscript[u, 2]))-ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')=
-ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')

Mettiamo insieme le condizioni trovate su (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]):

{({{((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2]))≡0}, {-ψ ((Subscript[c, 1])'(Subscript[u, 1])'+(Subscript[c, 2])'(Subscript[u, 2])')=f}})

Se valgono le due condizioni abbiamo una soluzione. Scriviamo le condizioni in forma matriciale:

(({{(Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2])}, {(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 2])'}}))(({{(Subscript[c, 1])'}, {(Subscript[c, 2])'}}))=(({{0}, {-(f/ψ)}}))

Risolviamo rispetto a (({{(Subscript[c, 1])'}, {(Subscript[c, 2])'}})):

(({{(Subscript[c, 1])'}, {(Subscript[c, 2])'}}))=(((({{(Subscript[u, 1]), (Subscript[u, 2])}, {(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 2])'}})))^(-1))(({{0}, {-(f/ψ)}}))=(1/W)(({{(Subscript[u, 2])', -(Subscript[u, 2])}, {-(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 1])}}))(({{0}, {-(f/ψ)}}))=(1/(ψ W))(({{(Subscript[u, 2])', -(Subscript[u, 2])}, {-(Subscript[u, 1])', (Subscript[u, 1])}}))(({{0}, {-f}}))=(1/(ψ W))(({{(Subscript[u, 2])f}, {-(Subscript[u, 1])f}}))=
(f/(ψ W))(({{(Subscript[u, 2])}, {-(Subscript[u, 1])}}))

Integriamo:

(Subscript[c, 1])(x)=(∫_a^x)((f(t) (Subscript[u, 2])(t))/(ψ W))dt=(1/(ψ W))(∫_a^x)f(t) (Subscript[u, 2])(t)dt

(Subscript[c, 2])(x)=(∫_x^b)((f(t) (Subscript[u, 1])(t))/(ψ W))dt=(1/(ψ W))(∫_x^b)f(t) (Subscript[u, 1])(t)dt

Sostituiamo nella u=(Subscript[c, 1])(Subscript[u, 1])+(Subscript[c, 2])(Subscript[u, 2]) e otteniamo

u(x)=((∫_a^x)((f(t) (Subscript[u, 2])(t))/(ψ W))dt)(Subscript[u, 1])(x)+((∫_x^b)((f(t) (Subscript[u, 1])(t))/(ψ W))dt)(Subscript[u, 2])(x)=
(∫_a^x)((f(t) (Subscript[u, 2])(t)(Subscript[u, 1])(x))/(ψ W))dt+(∫_x^b)((f(t) (Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(x))/(ψ W))dt=
(∫_a^b)((f(t) (Subscript[u, 2])(t)(Subscript[u, 1])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t≤x])(t,x)dt+(∫_a^b)((f(t) (Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t>x])(t,x)dt=
(∫_a^b)(((f(t) (Subscript[u, 2])(t)(Subscript[u, 1])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t≤x])(t,x)+((f(t) (Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t>x])(t,x))dt=
(∫_a^b)((((Subscript[u, 2])(t)(Subscript[u, 1])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t≤x])(t,x)+(((Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t>x])(t,x))f(t) dt=
(∫_a^b)K(x,t)f(t) dt

Abbiamo scritto una soluzione dell’equazione non omogenea L u=f come operatore nucleo integrale u=(Subscript[A, K])f, dove il nucleo è

K(x,t)=(((Subscript[u, 2])(t)(Subscript[u, 1])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t≤x])(t,x)+(((Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(x))/(ψ W))(Subscript[χ, t>x])(t,x)
=({{{, ({{(((Subscript[u, 2])(t)(Subscript[u, 1])(x))/(ψ W)), se t≤x}, {(((Subscript[u, 1])(t)(Subscript[u, 2])(x))/(ψ W)), se t>x}})}})
=(((Subscript[u, 1])(max{t,x})(Subscript[u, 2])(min{t,x}))/(ψ W))

Proprietà del nucleo: è continua su [a,b]×[a,b], fuori dalla diagonale è di classe (𝒞^2). In generale sulla diagonale è solo continua (sono punti angolosi). È simmetrica: K(x,t)=K(t,x). Se per caso (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) sono a valori reali, l’operatore nucleo integrale (Subscript[A, K]) è autoaggiunto e compatto.

Riprendiamo il problema agli autovalori L u=μ u.

Proposizione. Se λ≠0 è autovalore di (Subscript[A, K]), allora 1/λ è autovalore di L, più precisamente, se u∈(L^2)([a,b]) è autovettore di (Subscript[A, K]), cioè (Subscript[A, K])u=λ u, in realtà u∈(𝒞^2) e L u=(1/λ)u.

Dimostrazione. Sia ε>0. Poiché K è uniformemente continua (essendo continua su un compatto), esiste un δ>0 tale che

|(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])|<δ∧|(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2])|<δ=>|K((Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1]))-K((Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 2]))|<ε.

Prendiamo |(Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])|<δ e f∈(𝒞^0)([a,b]). Allora

|((Subscript[A, K])f)((Subscript[x, 1]))-((Subscript[A, K])f)((Subscript[x, 2]))|=|(∫_a^b)K((Subscript[x, 1]),y)f(y)dy-(∫_a^b)K((Subscript[x, 2]),y)f(y)dy|=|(∫_a^b)(K((Subscript[x, 1]),y)-K((Subscript[x, 2]),y))f(y)dy|≤
(∫_a^b)(Overscript[|K((Subscript[x, 1]),y)-K((Subscript[x, 2]),y)|, (Overscript[⏞,   <ε  ])])|f(y)|dy≤ε(∫_a^b)|f(y)|1dy≤((ε((∫_a^b)(Overscript[((|f(y)|)^2), ])dy))^(1/2))((((∫_a^b)(Overscript[((|1|)^2), ])dy))^(1/2))=
ε(Subscript[‖f‖, 2])(((b-a))^(1/2))

Quindi (Subscript[A, K]):(L^2)->(𝒞^0).

Se (Subscript[A, K])u=λ u, il primo membro è (𝒞^0), quindi anche λ u∈(𝒞^0), anche u∈(𝒞^0). Ma allora (Subscript[A, K])u∈(𝒞^2) perché soluzione di L u=funzione continua. Infine u∈(𝒞^2). Più precisamente L (Subscript[A, K])u=u, sostituendo L (λ u)=u, dividendo per λ viene L u=(1/λ)u. CVD

Nella prossima lezione introdurremo le condizioni al contorno.

Trascrizione della lezione del 18 maggio 2020.

Ci interesseranno condizioni ai limiti omogenee di questa forma:

{({{L u=f}, {(Subscript[α, 1])u(a)+(Subscript[β, 1])u'(a)=0}, {(Subscript[α, 2])u(b)+(Subscript[β, 2])u'(b)=0}})

Ipotesi di base: ((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))≠(0,0), ((Subscript[α, 2]),(Subscript[β, 2]))≠(0,0). Intoduciamo degli operatori ai limiti come notazione utile:

(Subscript[B, a])u=(Subscript[α, 1])u(a)+(Subscript[β, 1])u'(a)=((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))(({{u(a)}, {u'(a)}})),

(Subscript[B, b])u=(Subscript[α, 2])u(b)+(Subscript[β, 2])u'(b)=((Subscript[α, 2]),(Subscript[β, 2]))(({{u(b)}, {u'(b)}})).

Questi due operatori (Subscript[B, a]),(Subscript[B, b]):(𝒞^2)->ℂ. Ci servirà distinguere nella notazione le restrizioni di (Subscript[B, a]),(Subscript[B, b]) al ker L, che indicheremo con (Subscript[ℬ, a]),(Subscript[ℬ, b]) che operano fra due spazi di dimensione 2, che sarà utile. Sono tutti lineari continui. Introduco anche la coppia B=((Subscript[B, a]),(Subscript[B, b])), ℬ=((Subscript[ℬ, a]),(Subscript[ℬ, b])). Questi B,ℬ hanno valori in (ℂ^2).

Il problema si riscrive come

{({{L u=f}, {(Subscript[B, a])u=0}, {(Subscript[B, b])u=0}})

Teorema sul caso non degenere. Si equivalgono le seguenti tre condizioni:

Dimostrazione. La prima condizione implica la seconda banalmente: se c’è un’unica soluzione per ogni f, in particolare ce n’è una sola per f=0.

L'insieme delle soluzioni di L u=f è un sottospazio affine di (𝒞^2)([a,b]), che contiene (Subscript[A, K])f per costruzione, e due soluzioni differiscono per un elemento di ker L. Questo ker L ha dimensione 2. Il ker (Subscript[ℬ, a]) ha dimensione 1 perché è formato dai multipli scalari della soluzione del problema di Cauchy

{({{L u=0}, {u(a)=-(Subscript[β, 1])}, {u'(a)=(Subscript[α, 1])}})

Analogamente ker (Subscript[ℬ, b]) ha dimensione 1 perché è formato dai multipli scalari della soluzione del problema di Cauchy

{({{L u=0}, {u(b)=-(Subscript[β, 2])}, {u'(b)=(Subscript[α, 2])}})

Supponiamo che il problema omogeneo abbia la sola soluzione nulla. Questo significa che ℬ:ker L->(ℂ^2) è iniettiva, e quindi biiettiva. Prendiamo f continua e consideriamo (OverBar[u])=(Subscript[A, K])f. In particolare (OverBar[u]) è soluzione di L u=f. Non ci aspettiamo che (OverBar[u]) verifichi anche le condizioni ai limiti, però possiamo aggiungere a (OverBar[u]) un elemento del ker L: (OverTilde[u])=(OverBar[u])+(ℬ^(-1))B u. Questa (OverTilde[u]) verifica le condizioni ai limiti. Il problema non omogeneo ha almeno una soluzione (OverTilde[u]), e questa è unica perché due soluzioni differiscono per una soluzione del problema omogeneo  {({{L u=0}, {(Subscript[B, a])u=0}, {(Subscript[B, b])u=0}}), che per ipotesi ha la sola soluzione nulla.

Supponiamo che valga la seconda condizione, cioè che {({{L u=0}, {(Subscript[B, a])u=0}, {(Subscript[B, b])u=0}}), che per ipotesi ha la sola soluzione nulla. Questo equivale a dire che ker ℬ={0}, cioè ker (Subscript[ℬ, a])⋂ker (Subscript[ℬ, b])={0}. I due sottospazi ker (Subscript[ℬ, a]) e ker (Subscript[ℬ, b]) sono sottospazi di ker L di dimensione 1. Prendiamo un (Subscript[u, 1])∈ker (Subscript[ℬ, b]), (Subscript[u, 2])∈ker (Subscript[ℬ, a]) non nulli. Questi sono linearmente indipendenti. Usiamo questi due per formare il nucleo integrale. Sappiamo che  (OverBar[u])=(Subscript[A, K])f risolve L u=f. Vediamo le condizioni al contorno:

(Subscript[B, a])u=((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))(({{u(a)}, {u'(a)}}))

Dal metodo della variazione delle costanti:

u(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])(t)

u'(t)=(Subscript[c, 1])(t)(Subscript[u, 1])'(t)+(Subscript[c, 2])(t)(Subscript[u, 2])'(t).

(Subscript[c, 1])(x)=(∫_a^x)((f(t) (Subscript[u, 2])(t))/(ψ W))dt, quindi (Subscript[c, 1])(a)=0

u(a)=(Subscript[c, 1])(a)(Subscript[u, 1])(a)+(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[u, 2])(a)=(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[u, 2])(a)

u'(a)=(Subscript[c, 1])(a)(Subscript[u, 1])'(a)+(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[u, 2])'(a)=(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[u, 2])'(a).

(Subscript[B, a])u=((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))(({{u(a)}, {u'(a)}}))=((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))(({{(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[u, 2])(a)}, {(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[u, 2])'(a)}}))=(Subscript[c, 2])(a)((Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]))(({{(Subscript[u, 2])(a)}, {(Subscript[u, 2])'(a)}}))=(Subscript[c, 2])(a)(Subscript[ℬ, a])((Subscript[u, 2]))=0.

Una cosa simile succede anche nell’estremo b:

(Subscript[B, b])u=(Subscript[c, a])(b)(Subscript[ℬ, b])((Subscript[u, 2]))=0.

Supponiamo che valga la terza condizione. In particolare esistono due vettori indipendenti  (Subscript[u, 1])∈ker (Subscript[ℬ, b]), (Subscript[u, 2])∈ker (Subscript[ℬ, a]). Quindi i due nuclei, che hanno dimensione 1, si incontrano nel solo zero (altrimenti coinciderebbero). Quindi vale la seconda condizione. CVD.

Morale: quando ho un problema ai limiti non degenere, posso risolverlo col metodo della variazione delle costanti direttamente, cioè col metodo del nucleo integrale.

Proposizione. Se siamo nel caso non degenere e K è del tipo particolare, λ≠0 è autovalore di (Subscript[A, K]) se e solo se 1/λ è autovalore di L ristretto a ker B (L più le condizioni al contorno).

Posso trovare gli autovalori e autovettori di (Subscript[A, K]) tramite L. Sostituisco a un operatore integrale un operatore differenziale.

Caso autoaggiunto. Come faccio a sapere se posso prendere (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]) a valori reali? Semplice: basta che i coefficienti (Subscript[α, 1]),(Subscript[β, 1]),(Subscript[α, 2]),(Subscript[β, 2]) siano reali. Se poi aggiungiamo l’ipotesi che φ≥0, allora gli autovalori saranno tutti ≥0.

Esempio esplicito in cui si riesce a calcolare tutto. Il problema ai limiti è questo:

{({{-u''=f}, {u(0)=0}, {u(π)=0}})

[a,b]=[0,π], ψ=1, ϕ=0, L u=-u'', (Subscript[B, a])u=u(a), (Subscript[B, b])u=u(π).

Vediamo se siamo nella condizione degenere o no.

Il sistema {({{-u''=0}, {u(0)=0}, {u(π)=0}}) ha la sola soluzione nulla?

L’equazione -u''=0 si risolve subito: u(x)=m x+q. Imponiamo le condizioni al contorno:

{({{u(0)=0}, {u(π)=0}}) {({{q=0}, {m π+q=0}}) {({{q=0}, {m =0}}). Siamo nel caso non degenere autoaggiunto.

Cerchiamo gli autovalori e autovettori di L ristretto a ker B, con le condizioni al contorno:

{({{-u''=λ u}, {u(0)=0}, {u(π)=0}})

Cominciamo dall’equazione differenziale -u''=λ u. Questa è lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, cerchiamo soluzioni esponenziali u(x)=(e^(a x)) con a incognito. Sostituiamo nell’equazione:

-(a^2)(e^(a x))=λ (e^(a x)), -(a^2)=λ, a=±(Sqrt[-λ]).

Caso λ<0. a ha due valori reali a=±(Sqrt[-λ]). Sostituiamo u(x)=(Subscript[c, 1])(e^(x(Sqrt[-λ])))+(Subscript[c, 2])(e^(-x(Sqrt[-λ]))) nelle condizioni al contorno:

{({{(Subscript[c, 1])(e^(0(Sqrt[-λ])))+(Subscript[c, 2])(e^(-0(Sqrt[-λ])))=0}, {(Subscript[c, 1])(e^(π(Sqrt[-λ])))+(Subscript[c, 2])(e^(-π(Sqrt[-λ])))=0}}) {({{(Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2])=0}, {(Subscript[c, 1])(e^(π(Sqrt[-λ])))+(Subscript[c, 2])(e^(-π(Sqrt[-λ])))=0}}) {({{(Subscript[c, 2])=-(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 1])(e^(π(Sqrt[-λ])))+(Subscript[c, 2])(e^(-π(Sqrt[-λ])))=0}})

{({{(Subscript[c, 2])=-(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 1])((e^(π(Sqrt[-λ])))-(e^(-π(Sqrt[-λ]))))=0}})

Osserviamo che (e^(π(Sqrt[-λ])))-(e^(-π(Sqrt[-λ]))) non può essere nullo, perché un numero >1 meno un numero <1.

{({{(Subscript[c, 2])=-(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 1])=0}}){({{(Subscript[c, 2])=0}, {(Subscript[c, 1])=0}}).

Quindi non ci sono autovalori negativi.

Caso λ>0. a ha due valori complessi coniugati a=±i(Sqrt[λ]).

Sostituiamo u(x)=(Subscript[c, 1])sen(x(Sqrt[λ]))+(Subscript[c, 2])cos(x(Sqrt[λ])) (soluzione generale di -u''=λ u) nelle condizioni al contorno:

{({{(Subscript[c, 1])sen(0(Sqrt[λ]))+(Subscript[c, 2])cos(0(Sqrt[λ]))=0}, {(Subscript[c, 1])sen(π(Sqrt[λ]))+(Subscript[c, 2])cos(π(Sqrt[λ]))=0}}){({{(Subscript[c, 2])=0}, {(Subscript[c, 1])sen(π(Sqrt[λ]))+(Subscript[c, 2])cos(π(Sqrt[λ]))=0}})

{({{(Subscript[c, 2])=0}, {(Subscript[c, 1])sen(π(Sqrt[λ]))=0}}) Questa equazione ha soluzione non nulla se e solo se sen(π(Sqrt[λ]))=0. Questo è possibile soltanto quando (Sqrt[λ])∈ℤ. D’altra parte λ>0, quindi il sistema agli autovalori ha soluzione non nulla se e solo se (Subscript[λ, n])=(n^2) con n∈ℕ, n>0.

Gli autovalori di (Subscript[A, K]) sono i reciproci 1/(n^2).

Le autofunzioni relative a (Subscript[λ, n])=(n^2) sono (Subscript[c, 1])sen(n x). Normalizziamo le autofunzioni rispetto alla norma di (L^2):

((Subscript[‖sen(n x)‖, 2])^2)=(∫_0^π)(sen^2)(n x)dx=(∫_0^π)((1-cos(2n x))/2)dx=(Subscript[[(x/2)-(1/(4n))sen(2n x)], x=0]^(x=π))=(π/2).

La decomposizione spettrale di (Subscript[A, K]) prevede autovalori 1/(n^2), con autofunzioni normalizzate

(Subscript[u, n])(x)=(Sqrt[(2/π)])sen(n x).

La soluzione del problema iniziale {({{-u''=f}, {u(0)=0}, {u(π)=0}}) si può esprimere come serie di autofunzioni:

u(x)=(∑_(n=1)^(+∞))(1/(n^2))⟨f,(Subscript[u, n])⟩(Subscript[u, n])(x)=(∑_(n=1)^(+∞))(1/(n^2))(Sqrt[(2/π)])sen(n x)(∫_0^π)f(t)(Sqrt[(2/π)])sen(n t)dt=
(2/π)(∑_(n=1)^(+∞))(1/(n^2))sen(n x)(∫_0^π)f(t)sen(n t)dt

In linea di principio la serie converge nel senso di (L^2), non saremmo autorizzati a scrivere una uguaglianza puntuale. Il termine 1/(n^2) la fa convergere uniformemente. La convergenza ha senso puntualmente per ogni x.

Il nucleo integrale ha questo grafico

Trascrizione della lezione del 19 maggio 2020.

Trasformata di Fourier

Premessa: su ℝ useremo non la misura di Lebesgue, ma la misura di Lebesgue divisa per (Sqrt[2π]), che chiameremo misura “normalizzata”. Con questa convenzione, presa dal Rudin, le formue principali sono più semplici. Quindi gli integrali avranno questa forma:

(∫_ℝ)f(x)((dx)/(Sqrt[2π]))=(1/(Sqrt[2π]))(∫_ℝ)f(x)dx. Gli spazi (L^p) per la misura normalizzata e per l’altra sono gli stessi, cambia solo un fattore di proporzionalità nelle norme.

Richiami sulle convoluzioni. Date due funzioni f,g:ℝ->ℂ definiamo convoluzione di f e g l’espressione (f*g)(x)=(∫_ℝ)f(x-y)g(y)((d y)/(Sqrt[2π])), quando ha senso. La convoluzione è commutativa: nell’integrale (∫_ℝ)f(x-y)g(y)((d y)/(Sqrt[2π])) si può fare il cambio di variabile x-y=t, -d y=d t, e quindi

(f*g)(x)=(∫_ℝ)f(x-y)g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(+∞)^(-∞))f(t)g(x-t)((-d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))g(x-t)f(t)((d t)/(Sqrt[2π]))=(g*f)(x)

Condizioni perché abbia senso:

Definizione di trasformata di Fourier in (L^1): sia data una f∈(L^1)(ℝ), definiamo la trasformata di Fourier così:

(OverHat[f])(t):=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])) per t∈ℝ.

f,(OverHat[f]):ℝ->ℂ. f può essere definita quasi ovunque, (OverHat[f]) è definita ovunque. La variabile della f sarà x, la variabile di (OverHat[f]) sarà t. Nelle applicazioni la variabile della f sarà temporale o spaziale, mentre quella della (OverHat[f]) è una frequenza, vive nel mondo delle frequenze, talvolta è indicata con ω.

La definizione ha senso per ogni t, perché l’integrando è in (L^1):

|f(x)(e^(-i t x))|=|f(x)||(e^(-i t x))|=|f(x)|

Teniamo conto che (e^(-i t x)) sta sul cerchio unitario del piano complesso. L’applicazione t↦(e^(-i t x)) è un omomorfismo del gruppo additivo dei reali nel gruppo moltiplicativo del cerchio unitario dei complessi.

|(OverHat[f])(t)|=|(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))|≤(∫_(-∞)^(+∞))|f(x)(e^(-i t x))|((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))|f(x)|((d x)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[‖f‖, 1]).

Quindi (OverHat[f])∈(L^∞) e (Subscript[‖(OverHat[f])‖, ∞])≤(Subscript[‖f‖, 1]). L’applicazione f↦(OverHat[f]) è lineare continua (L^1)->(L^∞).

Prime proprietà della trasformata di Fourier.

La funzione (x,y)↦f(x-y)g(y)(e^(-i t x)) è in (L^1)((ℝ^2)), si può cambiare l’ordine di integrazione, cambio di variabile x-y=u, d x=d u

(OverHat[h])(t):=(∫_(-∞)^(+∞))h(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)g(y)((d y)/(Sqrt[2π])))(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)g(y)(e^(-i t x))((d y)/(Sqrt[2π])))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)g(y)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])))g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(-i t (u+y)))((d u)/(Sqrt[2π])))g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(-i t u))(e^(-i t y))((d u)/(Sqrt[2π])))g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(-i t u))((d u)/(Sqrt[2π])))(e^(-i t y))g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(-i t u))((d u)/(Sqrt[2π])))((∫_(-∞)^(+∞))g(y)(e^(-i t y))((d y)/(Sqrt[2π])))=(OverHat[f])(t)(OverHat[g])(t).

(OverHat[f])'((Subscript[t, 0]))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(((OverHat[f])(t)-(OverHat[f])((Subscript[t, 0])))/(t-(Subscript[t, 0])))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(1/(t-(Subscript[t, 0])))((∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))-(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((d x)/(Sqrt[2π])))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(1/(t-(Subscript[t, 0])))(∫_(-∞)^(+∞))f(x)((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))((d x)/(Sqrt[2π]))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_(-∞)^(+∞))f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((d x)/(Sqrt[2π]))

Ci chiediamo se si può portare il limite dentro al segno di integrale. Vogliamo applicare il teorema della convergenza dominata, e quindi abbiamo bisogno di maggiorare l’integrando con una funzione di (L^1) che non dipenda da t:

|f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))|=|f(x)||(((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0])))|=((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x))|=((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(∫_(Subscript[t, 0])^t)-i x (e^(-i t x))dt|≤((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(∫_(Subscript[t, 0])^t)|-i x (e^(-i t x))|dt|=((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|(∫_(Subscript[t, 0])^t)| x |dt|=((|f(x)|)/(|t-(Subscript[t, 0])|))|| x |(t-(Subscript[t, 0]))|=|x f(x)|=|g(x)|∈(L^1)

Possiamo passare al limite sotto il segno di integrale:

(OverHat[f])'((Subscript[t, 0]))=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_(-∞)^(+∞))f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(t->(Subscript[t, 0])))f(x)((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(lim_(t->(Subscript[t, 0])))((((e^(-i t x))-(e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))/(t-(Subscript[t, 0]))))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(-i  x (e^(-i (Subscript[t, 0]) x)))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))-i x f(x)  (e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))g(x)  (e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(OverHat[g])((Subscript[t, 0])).

Esercizio: se f,(OverHat[f])∈(L^1), dimostrare che (((f'))^(^))(t)=i t (OverHat[f])(t), cioè la trasformata di Fourier manda la derivata nel prodotto con t, e questo viene usato in certi tipi di equazioni differenziali.

Ci servirà una proprietà della traslazione sull’asse delle ascisse. Useremo la notazione (Subscript[f, y])(x):=f(x-y).

Teorema. Se 1≤p<+∞ e f∈(L^p)(ℝ), l’applicazione y↦(Subscript[f, y]) è uniformemente continua ℝ->(L^p)(ℝ).

Dimostrazione. Sia ε>0. Sappiamo che l’insieme (Subscript[𝒞, c])(ℝ) delle funzioni continue a supporto compatto è densa in (L^p). Non confondere con (Subscript[𝒞, 0])(ℝ) che per noi sarà l’insieme delle funzioni continue che tendono a zero all’infinito. Possiamo avvicinare f con una funzione continua a supporto compatto: esiste g∈(Subscript[𝒞, c])(ℝ) tale che (Subscript[‖f-g‖, p])<ε. Il supporto di g è contenuto in un intervallo [-A,A], con A>0.

La funzione g, essendo continua a supporto compatto è uniformemente continua su tutto ℝ. Esiste quindi δ>0 che posso supporre essere <A, tale che

|s-t|<δ=>|g(s)-g(t)|<(ε/(((3A))^(1/p))).

Prendiamo s,t tali che |s-t|<δ e maggioriamo:

(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p]^p)=(∫_(-∞)^(+∞))((|(Subscript[g, s])(x)-(Subscript[g, t])(x)|)^p)dx=(∫_(-∞)^(+∞))((|g(x-s)-g(x-t)|)^p)dx=(∫_(-A+min{s,t})^(A+max{s,t}))((|g(x-s)-g(x-t)|)^p)dx≤((((ε/(((3A))^(1/p)))))^p)(A+max{s,t}-(-A+min{s,t}))=((ε^p)/(3A))(2A+max{s,t}-min{s,t})=
((ε^p)/(3A))(2A+|s-t|)<((ε^p)/(3A))(2A+δ)<((ε^p)/(3A))(2A+A)=(ε^p)

Notiamo che le norme in (L^p) sono invarianti per traslazioni: (Subscript[‖(Subscript[g, s])‖, p])=(Subscript[‖g‖, p]). Infine

(Subscript[‖(Subscript[f, s])-(Subscript[f, t])‖, p])≤(Subscript[‖(Subscript[f, s])-(Subscript[g, s])‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[g, t])-(Subscript[f, t])‖, p])=(Subscript[‖(Subscript[(f-g), s])‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[(g-f), t])‖, p])=(Subscript[‖f-g‖, p])+(Subscript[‖(Subscript[g, s])-(Subscript[g, t])‖, p])+(Subscript[‖g-f‖, p])<ε+ε+ε=3ε.

CVD.

Trascrizione della lezione del 20 maggio 2020.

Ricordiamo che (Subscript[𝒞, 0])(ℝ) che per noi sarà l'insieme delle funzioni continue che tendono a zero all'infinito, dotato della norma del sup. Questo è un sottospazio chiuso dell’insieme delle funzioni continue limitate ℝ->ℂ. Quindi è uno spazio di Banach.

Teorema. Sia f∈(L^1)(ℝ). Allora (OverHat[f])∈(Subscript[𝒞, 0])(ℝ) e vale la disuguaglianza (Subscript[‖(OverHat[f])‖, ∞])≤(Subscript[‖f‖, 1]).

Dimostrazione. La disuguaglianza (Subscript[‖(OverHat[f])‖, ∞])≤(Subscript[‖f‖, 1]) è già nota. Consideriamo

(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(OverHat[f])(t)=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])). Si può portare il limite dentro l’integrale? Sì, se la funzione integranda è dominata da una funzione in (L^1) che non dipenda da t:

|f(x)(e^(-i t x))|=|f(x)|∈(L^1) e non dipende da t. Quindi si può:

(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(OverHat[f])(t)=(lim_(t->(Subscript[t, 0])))(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(t->(Subscript[t, 0])))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i (Subscript[t, 0]) x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(OverHat[f])((Subscript[t, 0])).

Per dimostrare che (OverHat[f])(t)->0 per t->±∞, usiamo un trucco. Osserviamo che -(e^(-i π))=1. Moltiplichiamo la definizione (OverHat[f])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])) per -(e^(-i π))=1:

(OverHat[f])(t)=-(e^(-i π))(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=-(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))(e^(-i π))((d x)/(Sqrt[2π]))=-(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i (t x+π)))((d x)/(Sqrt[2π]))=
-(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i  t(x+π/t)))((d x)/(Sqrt[2π]))

cambio di variabile: x+π/t=y, d x=d y:

(OverHat[f])(t)=-(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i  t(x+π/t)))((d x)/(Sqrt[2π]))=-(∫_(-∞)^(+∞))f(y-π/t)(e^(-i  t y))((d y)/(Sqrt[2π]))=-(∫_(-∞)^(+∞))f(x-π/t)(e^(-i  t x))((d x)/(Sqrt[2π]))

Sommiamo membro a membro con la definizione (OverHat[f])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])):

2(OverHat[f])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))-(∫_(-∞)^(+∞))f(x-π/t)(e^(-i  t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(f(x)-f(x-π/t))(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(f(x)-(Subscript[f, π/t])(x))(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])).

Passiamo al limite per t-> ±∞:

(lim_(t-> ±∞))|2(OverHat[f])(t)|=(lim_(t-> ±∞))|(∫_(-∞)^(+∞))(f(x)-(Subscript[f, π/t])(x))(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))|≤(lim_(t-> ±∞))(∫_(-∞)^(+∞))|(f(x)-(Subscript[f, π/t])(x))(e^(-i t x))|((d x)/(Sqrt[2π]))=
(lim_(t-> ±∞))(∫_(-∞)^(+∞))|f(x)-(Subscript[f, π/t])(x)|((d x)/(Sqrt[2π]))=(lim_(t-> ±∞))(Subscript[‖f-(Subscript[f, π/t])‖, 1])=(Subscript[‖f-(Subscript[f, 0])‖, 1])=(Subscript[‖f-f‖, 1])=0.

CVD.

L’applicazione f↦(OverHat[f]) è lineare continua (L^1)->(Subscript[𝒞, 0])(ℝ). Vedremo che è anche iniettiva ma non suriettiva.

Abbiamo bisogno di fare dei calcoli espliciti. Per fortuna si riescono a calcolare in modo elementare alcune trasformate di Fourier, abbastanza per farci andare avanti nella teoria.

La definizione (OverHat[f])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])) non si presta molto ad applicare il teorema fondamentale del calcolo.

Cominciamo con la famiglia di funzioni (Subscript[H, λ])(t):=(e^(-|λ t|)) per λ>0 (faremo tendere λ->(SuperPlus[0])).

Definiamo poi un’altra famiglia di funzioni in questo modo:

(Subscript[h, λ])(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π])). L’integrale si calcola in modo elementare usando il teorema fondamentale del calcolo. Facciamo il conto:

(Subscript[h, λ])(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(e^(i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(e^(-|λ t|))(e^(i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(e^(i x t-|λ t|))((d t)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^0)(e^(i x t+λ t))((d t)/(Sqrt[2π]))+(∫_0^(+∞))(e^(i x t-λ t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(1/(Sqrt[2π]))((∫_(-∞)^0)(e^(i x t+λ t))d t+(∫_0^(+∞))(e^(i x t-λ t))d t)=
(1/(Sqrt[2π]))((Subscript[[((e^((i x +λ)t))/(i x +λ ))], t=-∞]^(t=0))+(Subscript[[((e^((i x-λ)t))/(i x-λ))], t=0]^(t=+∞)))=
(1/(Sqrt[2π]))(((e^((i x +λ)0))/(i x +λ ))-0+0-((e^((i x-λ)0))/(i x-λ)))=(1/(Sqrt[2π]))((1/(i x +λ ))-(1/(i x-λ)))=
(1/(Sqrt[2π])) ((i x-λ-(i x +λ ))/((i x +λ )(i x-λ)))=(1/(Sqrt[2π])) ((-2λ)/((i x +λ )(i x-λ)))=(1/(Sqrt[2π])) ((-2λ)/((((i x))^2)-(λ^2)))=
(1/(Sqrt[2π])) ((-2λ)/(-(x^2)-(λ^2)))=(Sqrt[(2/π)]) (λ/((x^2)+(λ^2))).

Le funzioni (Subscript[h, λ]) sono una famiglia di mollificatori.

(Subscript[h, λ])(x)=(Sqrt[(2/π)]) (λ/((λ^2)+(x^2)))=(Sqrt[(2/π)]) ((1/λ)/(1+(((x/λ))^2)))=(1/λ)(Sqrt[(2/π)]) (1/(1+(((x/λ))^2)))=(1/λ)(Subscript[h, 1])(x/λ)

Le funzioni (Subscript[h, λ]) sono tutte copie riscalate (in orizzontale e verticale) di una sola. Autosimilarità della famiglia.

Le (Subscript[h, λ])∈(L^p)(ℝ) per ogni p∈[1,+∞].

Le funzioni (Subscript[h, λ]) hanno tutte integrale 1 (rispetto alla misura normalizzata). Calcoliamo: x/λ=y, d x=λ d y:

(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(x)((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Sqrt[(2/π)]) (λ/((λ^2)+(x^2)))((d x)/(Sqrt[2π]))=(λ/(Sqrt[2π]))(Sqrt[(2/π)])(∫_(-∞)^(+∞)) (1/((λ^2)+(x^2)))d x=(λ/π)(∫_(-∞)^(+∞)) (1/((λ^2)+(x^2)))d x=
(λ/π)(∫_(-∞)^(+∞)) ((1/(λ^2))/(1+(((x/λ))^2)))d x=(1/(λ π))(∫_(-∞)^(+∞)) (1/(1+(((x/λ))^2)))d x=(1/(λ π))(∫_(-∞)^(+∞)) (1/(1+(y^2)))λd y=(1/( π))(∫_(-∞)^(+∞)) (1/(1+(y^2)))d y=
(Subscript[(1/( π))[arctan x], -∞]^(+∞))=(1/( π))((π/2)-(((-π)/2)))=(1/π)π=1.

Le (Subscript[h, λ])>0. Possono essere la densità di misure di probabilità sui reali (distribuzioni di Cauchy):

μ(E):=(∫_E)(Subscript[h, λ])(x)((d x)/(Sqrt[2π])). Useremo questo fatto per applicare la disuguaglianza di Jensen: se φ:ℝ->ℝ è convessa, e f∈(L^1)(μ) a valori reali, con μ misura di probabilità (μ(X)=1), allora

φ((∫_X)fd μ)≤(∫_X)φ ◦ fd μ.

Nel caso particolare di μ definita tramite le (Subscript[h, λ]) la disuguaglianza di Jensen diventa (f∈(L^1)(ℝ) a valori reali):

φ((∫_ℝ)f(x)(Subscript[h, λ])(x)((d x)/(Sqrt[2π])))≤(∫_ℝ)φ (f(x))(Subscript[h, λ])(x)((d x)/(Sqrt[2π])).

Studiamo le proprietà della mollificazione fatta con queste (Subscript[h, λ]).

Prima proprietà: la mollificazione di f con (Subscript[h, λ]) si può esprimere in termini di (Subscript[H, λ]) e della trasformata di Fourier di f:

Teorema. Se f∈(L^1)(ℝ) possiamo scrivere (f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π])) per ogni x∈ℝ.

Dimostrazione.

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_ℝ)f(x-y)((∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(e^(i y t))((d t)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i y t))((d t)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π])).

Vediamo se si può cambiare ordine all’integrazione doppia:

(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))|f(x-y)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i y t))|((d t)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))|f(x-y)(Subscript[H, λ])(t)|((d t)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)|f(x-y)|((∫_(-∞)^(+∞))|(Subscript[H, λ])(t)|((d t)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π]))=((∫_(-∞)^(+∞))|(Subscript[H, λ])(t)|((d t)/(Sqrt[2π])))((∫_ℝ)|f(x-y)|((d y)/(Sqrt[2π])))=
((∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)((d t)/(Sqrt[2π])))((∫_ℝ)|f(x-y)|((d y)/(Sqrt[2π])))=((∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)((d t)/(Sqrt[2π])))(Subscript[‖f‖, 1])<+∞.

Si può cambiare ordine agli integrali: cambio di variabile x-y=u, -d y=d u

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i y t))((d y)/(Sqrt[2π])))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(e^(i y t))((d y)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)((d t)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)((∫_(+∞)^(-∞))f(u)(e^(i (x-u) t))((-d u)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(i x t))(e^(-i u t))((d u)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)((d t)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)((∫_(-∞)^(+∞))f(u)(e^(-i u t))((d u)/(Sqrt[2π])))(Subscript[H, λ])(t)(e^(i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(OverHat[f]) (t)(Subscript[H, λ])(t)(e^(i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))

CVD.

Le mollificate di una funzione limitata convergono alla funzione stessa nei punti di continuità:

Teorema. Sia g∈(L^∞)(ℝ) che sia continua nel punto x (fissato). Allora (g*(Subscript[h, λ]))(x)->g(x) per λ->(SuperPlus[0]).

Dimostrazione. Usiamo il fatto che le (Subscript[h, λ]) hanno integrale 1:

(g*(Subscript[h, λ]))(x)-g(x)=(∫_ℝ)g(x-y)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))-g(x)=(∫_ℝ)g(x-y)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))-g(x)(∫_ℝ)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)g(x-y)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))-(∫_ℝ)g(x)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(g(x-y)-g(x))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)(g(x-y)-g(x))(1/λ)(Subscript[h, 1])(y/λ)((d y)/(Sqrt[2π]))=(1/λ)(∫_ℝ)(g(x-y)-g(x))(Subscript[h, 1])(y/λ)((d y)/(Sqrt[2π]))

cambio di variabile y/λ=u, d y=λ d u

(g*(Subscript[h, λ]))(x)-g(x)=(1/λ)(∫_ℝ)(g(x-λ u)-g(x))(Subscript[h, 1])(u)((λd u)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(g(x-λ u)-g(x))(Subscript[h, 1])(u)((d u)/(Sqrt[2π]))

Possiamo passare al limite per λ->(SuperPlus[0]) sotto il segno di integrale?

|(g(x-λ u)-g(x))(Subscript[h, 1])(u)|≤2(Subscript[‖g‖, ∞])(Subscript[h, 1])(u)∈(L^1)(ℝ).

Quindi

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))((g*(Subscript[h, λ]))(x)-g(x))=(∫_ℝ)(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g(x-λ u)-g(x))(Subscript[h, 1])(u)((d u)/(Sqrt[2π]))=(∫_ℝ)(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g(x-0)-g(x))(Subscript[h, 1])(u)((d u)/(Sqrt[2π]))=0.

CVD

Trascrizione della lezione del 25 maggio 2020.

Teorema. Sia 1≤p<+∞ e f∈(L^p)(ℝ). Allora f*(Subscript[h, λ])∈(L^p) e f*(Subscript[h, λ])->f in (L^p) per λ->(SuperPlus[0]).

Dimostrazione. Come nella dimostrazione precedente

(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)=(∫_ℝ)(f(x-y)-f(x))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))

Prendiamo φ(u):=((|u|)^p). Questa φ:ℝ->ℝ è convessa (esercizio) perché p≥1. Possiamo applicare la disuguaglianza di Jensen:

((|(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)|)^p)=φ((f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x))=φ((∫_ℝ)(f(x-y)-f(x))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π])))≤(∫_ℝ)φ(f(x-y)-f(x))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_ℝ)((|f(x-y)-f(x)|)^p)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))

Integriamo rispetto a x e invertiamo l’ordine di integrazione:

(Subscript[‖f*(Subscript[h, λ])-f‖, p]^p)=(∫_(-∞)^(+∞))((|(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)|)^p)dx≤
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)((|f(x-y)-f(x)|)^p)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π])))((d x)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)((|f(x-y)-f(x)|)^p)(Subscript[h, λ])(y)((d x)/(Sqrt[2π])))((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)((|f(x-y)-f(x)|)^p)((d x)/(Sqrt[2π])))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((∫_ℝ)((|(Subscript[f, y])(x)-f(x)|)^p)((d x)/(Sqrt[2π])))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))((Subscript[‖(Subscript[f, y])-f‖, p]^p))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))

Poniamo g(y):=(Subscript[‖(Subscript[f, y])-f‖, p]^p):

(Subscript[‖f*(Subscript[h, λ])-f‖, p]^p)=(∫_(-∞)^(+∞))((|(f*(Subscript[h, λ]))(x)-f(x)|)^p)dx≤
(∫_(-∞)^(+∞))((Subscript[‖(Subscript[f, y])-f‖, p]^p))(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))g(y)(Subscript[h, λ])(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))g(y)(Subscript[h, λ])(-y)((d y)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(0-y)g(y)((d y)/(Sqrt[2π]))=((Subscript[h, λ])*g)(0)=(g*(Subscript[h, λ]))(0)

Questa g ha le proprietà del teorema precedente: g è continua dappertutto perché le traslate delle funzioni di (L^p) sono funzioni continue del parametro. Inoltre g è limitata perché g(y)=(Subscript[‖(Subscript[f, y])-f‖, p]^p)≤((((Subscript[‖(Subscript[f, y])‖, p])+(Subscript[‖f‖, p])))^p)=((((Subscript[‖f‖, p])+(Subscript[‖f‖, p])))^p)=(((2(Subscript[‖f‖, p])))^p)<+∞ e non dipende da y.

Osserviamo che (Subscript[‖f*(Subscript[h, λ])‖, p])≤(Subscript[‖f*(Subscript[h, λ])-f‖, p])+(Subscript[‖f‖, p])=((((g*(Subscript[h, λ]))(0)))^(1/p))+(Subscript[‖f‖, p])<+∞, quindi f*(Subscript[h, λ])∈(L^p) per ogni λ>0.

Applichiamo il teorema precedente:

max (lim_(λ->(SuperPlus[0])))(Subscript[‖f*(Subscript[h, λ])-f‖, p]^p)≤(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(0)=g(0)=(Subscript[‖(Subscript[f, 0])-f‖, p]^p)=0.

CVD

Teorema di inversione della trasformata di Fourier in (L^1). Supponiamo che sia f che (OverHat[f]) siano in (L^1)(ℝ). Poniamo g(x):=(∫_(-∞)^(-∞))(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((dt)/(Sqrt[2π])). Allora g∈(Subscript[𝒞, 0]) e f=g quasi ovunque.

Dimostrazione. Prendiamo le mollificate della f: f*(Subscript[h, λ]) ed esprimiamole in termini di (Subscript[H, λ]):

(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π])). Vogliamo far tendere λ->(SuperPlus[0]); vediamo se la funzione integranda è dominata:

|(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(+i t x))|=|(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)|=|(Subscript[H, λ])(t)||(OverHat[f])(t)|≤|(OverHat[f])(t)|, funzione di (L^1) che non dipende da λ. Si può passare al limite sotto il segno di integrale per ogni x fissato:

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(f*(Subscript[h, λ]))(x)=(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(e^(-|λ t|))(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=g(x)

Invece che puntuale, facciamo il limite in (L^1), grazie al teorema precedente: f*(Subscript[h, λ])->f in (L^1) (caso p=1). Il limite è lo stesso quasi ovunque, cioè g=f quasi ovunque.

CVD

In pratica se ho f∈(L^1), ne prendo la trasformata di Fourier (OverHat[f]). Se per caso questa sta pure essa in (L^1) (che non è automatico), riapplico la formula della trasformata di Fourier alla trasformata:

(OverHat[(OverHat[f])])(x)=(∫_(-∞)^(+∞))(OverHat[f])(t)(e^(-i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))=f(-x), oppure, f(x)=(OverHat[(OverHat[f])])(-x)

Corollario: la trasformata di Fourier in (L^1) è iniettiva: se due funzioni hanno la stessa trasformata di Fourier (in tutti i punti) allora le due funzioni coincidono quasi ovunque.

Esercizio: prendo (∫_(-∞)^(+∞))(OverHat[f])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π])), sostituisco alla trasformata di Fourier la sua definizione

(∫_(-∞)^(+∞))((∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i x t))dx)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π])) e cambio l’ordine di integrazione...

Passiamo alla trasformata di Fourier di funzioni di (L^2). Purtroppo la definizione iniziale (OverHat[f])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i x t))dx non ha senso, l’integrale può benissimo non convergere. Si passa invece al limite su successioni di funzioni di (L^1). Ne vale la pena, perché la teoria della trasformata di Fourier in (L^2) è molto simmetrica, molto di più che la teoria in (L^1).

Teorema di Plancherel. Esiste una unica Φ:(L^2)(ℝ)->(L^2)(ℝ) lineare continua tale che:

Dimostrazione. L’unicità è facile, perché (L^2)⋂(L^1) è denso in (L^2), e quindi la Φ, essendo isometria su un denso, ha estensione unica a tutto (L^2).

Prendiamo f∈(L^2)⋂(L^1). Vogliamo dimostrare che (Subscript[‖(OverHat[f])‖, 2])=(Subscript[‖f‖, 2]).

Definiamo (OverTilde[f])(x)=(OverBar[f(-x)]). Anche (OverTilde[f]) sta in (L^2)⋂(L^1), perché coniugio e specularità non cambiano nessuna norma di (L^p). Calcoliamo la trasformata di Fourier di (OverTilde[f]):

(OverHat[(OverTilde[f])])(t):=(∫_(-∞)^(+∞))(OverTilde[f])(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(OverBar[f(-x)])(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(+∞)^(-∞))(OverBar[f(y)])(e^(i t y))((-d y)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(OverBar[f(y)])(e^(i t y))((d y)/(Sqrt[2π]))=(OverBar[(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(OverBar[(e^(i t y))])((d y)/(Sqrt[2π]))])=(OverBar[(∫_(-∞)^(+∞))f(y)(e^(-i t y))((d y)/(Sqrt[2π]))])=(OverBar[(OverHat[f])(t)])

Consideriamo g:=f*(OverTilde[f]). Poiché f,(OverTilde[f])∈(L^1), anche g∈(L^1). Inoltre, poiché f,(OverTilde[f])∈(L^2), g∈(L^∞). La trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni di (L^1) è il prodotto delle trasformate di Fourier: (OverHat[g])(t)=(OverHat[f])(t)(OverHat[(OverTilde[f])])(t)=(OverHat[f])(t)(OverBar[(OverHat[f])(t)])=((|(OverHat[f])(t)|)^2).

La convoluzione si può riscrivere come un prodotto scalare in (L^2): cambio di variabile -y=u, -d y=d u

g(x)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(OverTilde[f])(y)((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x-y)(OverBar[f(-y)])((dy)/(Sqrt[2π]))=(∫_(+∞)^(-∞))f(x+u)(OverBar[f(u)])((-d u)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(+∞)^(-∞))(Subscript[f, -x])(u)(OverBar[f(u)])((-d u)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[⟨(Subscript[f, -x]),f⟩, 2])

Abbiamo visto che la traslazione è una funzione continua del parametro a valori in (L^p), in particolare a valori in (L^2). L’applicazione x↦(Subscript[f, -x]) è continua da ℝ->(L^2). Ma allora anche (Subscript[⟨(Subscript[f, -x]),f⟩, 2]) è una funzione continua di x a valori complessi. La funzione g è continua. È anche limitata:

|g(x)|=|(Subscript[⟨(Subscript[f, -x]),f⟩, 2])|≤(Subscript[‖(Subscript[f, -x])‖, 2])(Subscript[‖f‖, 2])=(Subscript[‖f‖, 2])(Subscript[‖f‖, 2])=((Subscript[‖f‖, 2])^2) non dipende da x.

Mollifichiamo g, cioè consideriamo g*(Subscript[h, λ]). Sappiamo che (g*(Subscript[h, λ]))(x)->g(x) per λ->(SuperPlus[0]). (teorema di convergenza puntuale delle mollificate). Prendiamo in particolare x=0:

(g*(Subscript[h, λ]))(0)->g(0)=(Subscript[⟨(Subscript[f, -0]),f⟩, 2])=(Subscript[⟨f,f⟩, 2])=((Subscript[‖f‖, 2])^2)

Esprimiamo le convoluzioni in termini di (Subscript[H, λ]):

(g*(Subscript[h, λ]))(x)=(∫_(+∞)^(-∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[g])(t)(e^(+i x t))((d t)/(Sqrt[2π]))

Poniamo x=0:

(g*(Subscript[h, λ]))(0)=(∫_(+∞)^(-∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[g])(t)(e^(+i 0 t))((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(+∞)^(-∞))(Subscript[H, λ])(t)(OverHat[g])(t)((d t)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(+∞)^(-∞))(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)((d t)/(Sqrt[2π]))

Vorremmo passare al limite sotto il segno di integrale in questa formula. Purtroppo il teorema della convergenza dominata non si può applicare, |(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)|≤((|(OverHat[f])(t)|)^2), che non sappiamo se sta in (L^1). Ci viene in aiuto un altro teorema di convergenza sotto il segno di integrale, il teorema della convergenza monotona: 0≤ (Subscript[f, n])≤(Subscript[f, n+1])=>(∫_X)(Subscript[f, n])dμ->(∫_X)(lim_(n->∞))(Subscript[f, n])dμ .

Ora, quando λ decresce, gli integrandi (Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2) sono positivi e crescono. Quindi si può passare al limite:

(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(g*(Subscript[h, λ]))(0)=(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(λ->(SuperPlus[0])))(Subscript[H, λ])(t)((|(OverHat[f])(t)|)^2)((d t)/(Sqrt[2π]))=
(∫_(-∞)^(+∞))1((|(OverHat[f])(t)|)^2)((d t)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((|(OverHat[f])(t)|)^2)((d t)/(Sqrt[2π]))=((Subscript[‖(OverHat[f])‖, 2])^2)

Per l’unicità del limite abbiamo che ((Subscript[‖(OverHat[f])‖, 2])^2)=((Subscript[‖f‖, 2])^2).

La trasformata di Fourier in (L^2) è una isometria, per il momento su (L^1)⋂(L^2).

Trascrizione della lezione del 26 maggio 2020.

Su  (L^1)⋂(L^2) possiamo definire Φ(f)=(OverHat[f]), e possiamo estendere Φ a tutto (L^2) per continuità, in modo unico. Continua a valere ((Subscript[‖Φ(f)‖, 2])^2)=((Subscript[‖f‖, 2])^2) per ogni f∈(L^2).

Dobbiamo dimostrare che Φ è suriettiva su tutto (L^2). Chiamiamo Y l’immagine di (L^1)⋂(L^2) tramite Φ, cioè Y={(OverHat[f]):f∈(L^1)⋂(L^2)}. Y è un sottospazio vettoriale di (L^2).

Vogliamo dimostrare che Y è denso in (L^2), che è uno spazio di Hilbert. Questo equivale a dire che (Y^⊥)={0}.

Consideriamo la funzione x↦(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x), al variare dei parametri α∈ℝ, λ>0. (e^(i α x)) è limitata, e (Subscript[H, λ])(t)=(e^(-|λ t|)) è in ogni (L^p). Quindi la funzione x↦(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x) sta in (L^1)⋂(L^2). Calcoliamone la trasformata di Fourier:

(∫_(-∞)^(+∞))(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x)(e^(-i x t))((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[H, λ])(x)(e^(-i x( t-α)))((dx)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[h, λ])(t-α),

che è una traslata di (Subscript[h, λ]). Le funzioni (Subscript[h, λ]) stanno in tutti gli (L^p), e quindi anche tutte le loro traslate. Quindi tutte le trasformate delle funzioni  x↦(e^(i α x))(Subscript[H, λ])(x) sono in Y.

Prendiamo una funzione w∈(Y^⊥). Vogliamo dimostrare che w è nulla.

Mollifichiamo il coniugato (OverBar[w]): ((Subscript[h, λ]) è pari, (Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]) sarà il traslato di (Subscript[h, λ]))

((Subscript[h, λ])*(OverBar[w]))(α)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(α-t)(OverBar[w])(t)((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[h, λ])(t-α)(OverBar[w])(t)((dt)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))((Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]))(t)(OverBar[w])(t)((dt)/(Sqrt[2π]))=
(Subscript[⟨(Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]),w⟩, 2])=0

Ricordiamoci che w∈(Y^⊥), mentre (Subscript[T, α])(Subscript[h, λ]) è una traslata di (Subscript[h, λ]), e quindi è in Y.

Facciamo tendere λ a 0: (Subscript[h, λ])*(OverBar[w])->(OverBar[w]) nella norma di (L^2). Quindi anche (OverBar[w]) è nullo (quasi ovunque). Ricaviamo che w è pure nullo.

La Φ è una isometria da (L^2) in sé con immagine densa. Quindi è suriettiva.

Dobbiamo dimostrare che l’inversa (Φ^(-1)) coincide con lo speculare della Φ, cioè Φ(Φ(f))(x)=f(-x)

Sia Z={f∈(L^1)⋂(L^2):(OverHat[f])∈(L^1)⋂(L^2)}. La formula Φ(Φ(f))(x)=f(-x) vale su Z per il teorema di inversione. Si tratta di dimostrare che Z è denso in (L^2).

Sappiamo che ogni funzione di (L^2) si può approssimare a piacere in (L^2) con una g∈(L^1)⋂(L^2).  Prendiamo le mollificate di g, cioè g*(Subscript[h, λ]). Queste sono in (L^1)⋂(L^2), e calcoliamone la trasformata di Fourier:

(((g*(Subscript[h, λ])))^(^))(t)=(OverHat[g])(t)(Subscript[(OverHat[h]), λ])(t)=(OverHat[g])(t)(Subscript[H, λ])(t)=(OverHat[g])(t)(e^(-|λ t|)). (OverHat[g])(t) è in (Subscript[𝒞, 0]), cioè è continua e tende a zero all’infinito perché trasformata di Fourier di una funzione di (L^1). In particolare (OverHat[g]) è limitata. (Subscript[H, λ])(t) è in ogni (L^p), quindi in (L^1)⋂(L^2). Quindi (((g*(Subscript[h, λ])))^(^))∈(L^1)⋂(L^2). Insomma, g*(Subscript[h, λ])∈Z. Sappiamo che la mollificata g*(Subscript[h, λ]) tende a g in (L^2) per λ->0.

Concludiamo che Z è denso in (L^2). La formula Φ(Φ(f))(x)=f(-x) passa al limite da Z a tutto (L^2).

Fissiamo f∈(L^2), poniamo (Subscript[φ, A])(t)=(∫_(-A)^A)f(x)(e^(-i x t))((dx)/(Sqrt[2π])). Osserviamo che ha senso: (disuguaglianza di Hölder):

(∫_(-A)^A)|f(x)(e^(-i x t))|((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-A)^A)|f(x)|1((dx)/(Sqrt[2π]))≤(Sqrt[(∫_(-A)^A)((|f(x)|)^2)((dx)/(Sqrt[2π]))])(Sqrt[(∫_(-A)^A)(1^2)((dx)/(Sqrt[2π]))])≤
(Sqrt[(∫_(-∞)^(+∞))((|f(x)|)^2)((dx)/(Sqrt[2π]))])(Sqrt[((2A)/(Sqrt[2π]))])=(Subscript[‖f‖, 2])(Sqrt[((2A)/(Sqrt[2π]))])<+∞.

Possiamo scrivere come (Subscript[φ, A])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))(Subscript[χ, [-A,A]])(x)f(x)(e^(-i x t))((dx)/(Sqrt[2π]))=Φ((Subscript[χ, [-A,A]])f). Se dimostro che (Subscript[χ, [-A,A]])f tende a f in (L^2) per A->+∞, per continuità della Φ avremo che (Subscript[φ, A])->Φ(f) in (L^2).

((Subscript[‖(Subscript[χ, [-A,A]])f-f‖, 2])^2)=(∫_(-∞)^(+∞))((|(Subscript[χ, [-A,A]])(x)f(x)-f(x)|)^2)((dx)/(Sqrt[2π])).

Possiamo passare al limite sotto il segno di integrale? La funzione integranda ((|(Subscript[χ, [-A,A]])f-f|)^2)≤((|f|)^2)∈(L^1). Quindi

(lim_(A→+∞))((Subscript[‖(Subscript[χ, [-A,A]])f-f‖, 2])^2)=(lim_(A→+∞))(∫_(-∞)^(+∞))((|(Subscript[χ, [-A,A]])(x)f(x)-f(x)|)^2)((dx)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))(lim_(A→+∞))((|(Subscript[χ, [-A,A]])(x)f(x)-f(x)|)^2)((dx)/(Sqrt[2π]))=0.

Esercizio.

(OverHat[f])(t)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i t x))((d x)/(Sqrt[2π])). Ipotesi f∈(L^1), f>0. Tesi |(OverHat[f])(y)|<(OverHat[f])(0) per ogni y≠0.

(OverHat[f])(0)=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i 0 x))((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)1((d x)/(Sqrt[2π]))=(∫_(-∞)^(+∞))f(x)((d x)/(Sqrt[2π]))=(Subscript[‖f‖, 1])>0.

|(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i y x))((d x)/(Sqrt[2π]))|<(OverHat[f])(0)

|(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i y x))((d x)/(Sqrt[2π]))|<(∫_(-∞)^(+∞))|f(x)(e^(-i y x))|((d x)/(Sqrt[2π]))

|(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i y x))d x|<(∫_(-∞)^(+∞))|f(x)(e^(-i y x))|d x

|(∫_(-∞)^(+∞))f(x)(e^(-i y x))d x|≤(∫_(-∞)^(+∞))|f(x)(e^(-i y x))|d x

|(∫_X)fdμ|≤(∫_X)|f|dμ	 disuguaglianza generalissima sugli integrali fatti rispetto a una misura positiva. Condizioni perché la disuguaglianza sia uguaglianza?

Consideriamo z:=(∫_X)fdμ∈ℂ. Esiste un α∈ℂ di norma 1 tale che α z=|z|(moralmente α=((|z|)/z) se z≠0, altrimenti α è arbitrario).

|(∫_X)fdμ|=|z|=α z=α (∫_X)fdμ= (∫_X)α fdμ=Re((∫_X)α fdμ)=(∫_X)Re(α f)dμ≤(∫_X)|α f|dμ=
(∫_X)|f|dμ

Condizioni affinché se f≤g si abbia (∫_X)fdμ=(∫_X)gdμ. Necessaria e sufficiente è che f=g quasi ovunque. 0=(∫_X)gdμ-(∫_X)fdμ=(∫_X)(g-f)dμ. Ricordiamo che g-f≥0. Quando una funzione ≥0 ha integrale nullo? Soltanto quando è quasi ovunque nulla.

(∫_X)Re(α f)dμ≤(∫_X)|α f|dμ è uguaglianza se e solo se Re(α f)=|α f| quasi ovunque. Se e solo se α f≥0 quasi ovunque.

È possibile che α f(x)(e^(-i y x))≥0 per quasi ogni x? Impossibile.

(e^(i β)) f(x)(e^(-i y x))≥0

f(x)(e^(-i (y x-β)))≥0