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Istituzioni di Analisi Superiore, II modulo

Anno Accademico 2021/22

Libri di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Haïm Brezis, Analisi funzionale, teoria e applicazioni. Liguori Editore.

Programma dettagliato del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo 2021-22.

dispense in pdf del corso, aggiornate al 2022-06-13.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).

Anno Accademico 2020/21

Libri di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Haïm Brezis, Analisi funzionale, teoria e applicazioni. Liguori Editore.

Programma dettagliato del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo 2020-21.

appunti in pdf delle lezioni.

appunti in Mathematica delle lezioni.

dispense in pdf delle lezioni.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).

Registrazioni video delle lezioni:

• Registrazione della lezione del 2021-03-02. Presentazione del corso. Assiomi del prodotto scalare su uno spazio vettoriale complesso. Prime conseguenze. La norma indotta da un prodotto scalare. Formule notevoli per la norma quadra di una somma di vettori, ortogonali o meno.
• Registrazione della lezione del 2021-03-05. La disuguaglianza di Schwarz. La disuguaglianza triangolare. Spazi di Hilbert. Esempi di spazi di Hilbert e di spazi con prodotto scalare.
• Registrazione della lezione del 2021-03-09. Continuità delle funzioni $x\mapsto\langle x,y\rvangle$, $x\mapsto \lVert x\rVert$, $(x,y)\mapsto\langle x,y\rangle$. L'identità di polarizzazione e l'identità del parallelogrammo. Non tutti gli spazi normati hanno un prodotto scalare che induce la norma. Gli spazi con prodotto scalare sono tutti e soli gli spazi normati in cui vale l'identità del parallelogrammo (cenno). Insiemi convessi in uno spazio vettoriale. Il teorema della minima distanza di un punto da un convesso chiuso in uno spazio di Hilbert.
• Registrazione della lezione del 2021-03-12. In dimensione finita l'esistenza di punti di minima distanza non richiede la convessità. In uno spazio normato può venire a mancare l'unicità del punto di minima distanza di un punto da un convesso. Riscrittura in termini di prodotto scalare della condizione di minima distanza di un punto da un convesso. Riscrittura in termini di ortogonalità della condizione di minima distanza di un punto da un sottospazio vettoriale. Definizione di ortogonalità fra due vettori, di ortogonale a un vettore e di ortogonale a un insieme di vettori.
• Registrazione della lezione del 2021-03-16. Proprietà del passaggio all'ortogonale. Il teorema della decomposizione ortogonale negli spazi di Hilbert. L'operatore di proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale chiuso.
• Registrazione della lezione del 2021-03-19. In uno spazio normato, aggiungendo un vettore a uno sottospazio vettoriale chiuso il nuovo sottospazio è ancora chiuso. I~sottospazi di dimensione finita sono sempre chiusi. Calcolo esplicito della proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio di dimensione finita: caso di base qualsiasi e di base ortogonale. Somme infinite di vettori: definizione di sommabilità e di condizione di Cauchy.
• Registrazione della lezione del 2021-03-23. La sommabilità implica la condizione di Cauchy. La condizione di Cauchy implica che gli indici con vettore non nullo sono al più numerabili. In uno spazio completo la condizione di Cauchy implica la sommabilità. Somme infinite di numeri reali non negativi. Il criterio della convergenza assoluta implica la condizione di Cauchy in qualsiasi spazio normato. La somma infinita di scalari vista come integrale rispetto alla misura del conteggio.
• Registrazione della lezione del 2021-03-26. La convergenza semplice della serie armonica a segni alterni, che non converge assolutamente. Cenno alla non commutatività della somma di serie che convergono solo semplicemente. La sommabilità è infinitamente commutativa, cioè la somma non cambia permutando gli indici. Gli spazi $\ell^p$ come casi particolari degli spazi $L^p$. Comportamento della norma $\lVert{}\cdot{}\rVert_p$ per vettori nel piano. Due esempi di famiglie sommabili che non hanno la proprietà della convergenza assoluta. Condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una famiglia ortogonale di vettori in uno spazio di Hilbert e il teorema di Pitagora per infiniti vettori ortogonali (prima parte).
• Registrazione della lezione del 2021-03-30. Il teorema di Pitagora per infiniti vettori ortogonali (seconda parte). I~coefficienti di Fourier $\hat x(\lambda):=\langle x,u_\lambda\rangle$ di un vettore~$x\in H$ formano un vettore in $\ell^2(\Lambda)$. L'applicazione $x\mapsto\hat x$ è lineare, continua e suriettiva da~$H$ su $\ell^2(\Lambda)$. Un lemma sulla minima distanza di un vettore da un convesso in uno spazio con prodotto scalare. La formula della proiezione ortogonale di un vettore sulla chiusura del sottospazio generato da un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert.
• Registrazione della lezione del 2021-04-09, parte 1. Registrazione della lezione del 2021-04-09, parte 2. Definizione di base hilbertiana di uno spazio di Hilbert. Varie caratterizzazioni delle basi hilbertiane. Distinzione fra basi vettoriali e basi hilbertiane. Osservazioni sulle basi vettoriali di uno spazio vettoriale, soprattutto quando lo spazio è anche normato e completo. Esistenza di basi hilbertiane numerabili per spazi separabili. Teorema di esistenza di basi hilbertiane in generale, usando l'assioma di scelta. Cenni alle ondine di Haar.
• Registrazione della lezione del 2021-04-13. Generalità sui compatti e precompatti negli spazi topologici e metrici. Il problema degli insiemi compatti in spazi normati a dimensione infinita. Una base hilbertiana numerabile di uno spazio di Hilbert è un insieme limitato e chiuso ma non compatto. In uno spazio normato a dimensione infinita esiste una successione di versori $x_n$ tali che ognuno dista da tutti gli altri almeno 1/2, e quindi non può avere sottosuccessioni convergenti. I~compatti in dimensione infinita hanno sempre parte interna vuota. I~sottospazi a dimensione finita di uno spazio normato sono chiusi, completi ed omeomorfi a uno spazio $\C^n$ o~$\R^n$.
• Registrazione della lezione del 2021-04-16. Teorema delle infinite estrazioni: se abbiamo una matrice reale a due indici $A_n(k)$, con $n,k\in\N$, tale che l'insieme $\{A_n(k): n\in\N\}$ sia limitato per ogni~$k\in\N$, allora esiste una $\varphi\colon\N\to\N$ strettamente crescente tale che la successione $n\mapsto x_{\varphi(n)}(k)$ converge per ogni~$k$ fissato.
• Registrazione della lezione del 2021-04-20. Il teorema di Ascoli-Arzelà. Il cubo di Hilbert. Definizione di operatore compatto fra spazi normati.
• Registrazione della lezione del 2021-04-23. Somma di operatori compatti è compatta. Composizione di operatori lineari continui, di cui almeno uno è compatto, è compatta. Lo spazio normato degli operatori lineari continui fra due spazi normati. L'insieme degli operatori compatti è uno spazio vettoriale chiuso dello spazio degli operatori lineari continui. Operatori con rango finito. Ogni operatore compatto a valori in uno spazio di Hilbert si può approssimare in norma operatoriale con una successione di operatori di rango finito.
• Registrazione della lezione del 2021-04-30. L'operatore integrale è compatto sullo spazio delle funzioni continue. L'operatore che manda $(x_1,x_2,x_2,\dots)$ in $(x_1,x_2/2, x_3/3, \dots)$ è compatto da $\ell^p$ in sé, se $1
• Registrazione della lezione del 2021-05-04. Se un operatore lineare è compatto, anche il suo aggiunto è compatto. Richiami sull'iniezione canonica nel biduale e sul biaggiunto di un operatore. Se un operatore ha l'aggiunto compatto, allora è lui stesso compatto. Un lemma sulla continuità dell'inversa di un operatore lineare continuo e iniettivo fra spazi normati.
• Registrazione della lezione del 2021-05-07. Un operatore compatto può avere immagine completa solo se ha rango finito. Il teorema di rappresentazione dei funzionali lineari continui su uno spazio di Hilbert. Identificazione fra uno spazio di Hilbert e il suo duale, e relazioni con l'immersione canonica nel biduale.
• Registrazione della lezione del 2021-05-11. L'aggiunto hilbertiano di un operatore lineare continuo fra due spazi di Hilbert. Relazione fra l'aggiunto hilbertiano e quello non hilbertiano. Richiami sulla convergenza debole negli spazi normati e in quelli di Hilbert. Ogni successione limitata in uno spazio di Hilbert ha una sottosuccessione che converge debolmente (senza dimostrazione). Un operatore continuo fra spazi di Hilbert è compatto se e solo se trasforma successioni convergenti debolmente in successioni convergenti fortemente. Definizione di autovalore, autovettore, autospazio e di spettro di un operatore da uno spazio vettoriale in sé. Gli autospazi con autovalore non nullo degli operatori compatti hanno dimensione finita. Esempio di un operatore compatto senza autovalori.
• Registrazione della lezione del 2021-05-14. Operatori autoaggiunti: nucleo e la chiusura dell'immagine sono l'ortogonale uno dell'altro, gli autovalori sono reali, gli autovettori con autovalori distinti sono ortogonali. Gli operatori autoaggiunti e compatti hanno sempre autovettori con autovalore la norma operatoriale o il suo opposto.
• Registrazione della lezione del 2021-05-18. Teorema di diagonalizzazione degli operatori compatti autoaggiunti. Caratterizzazione degli operatori compatti autoaggiunti su uno spazio di Hilbert in termini di decomposizione spettrale.
• Registrazione della lezione del 2021-05-21. Il teorema dell'alternativa di Fredholm (versione con autovalore~1).
• Registrazione della lezione del 2021-05-25. Versione del teorema dell'alternativa di Fredholm per il problema $\mu x-Ax=y$. L'operatore nucleo integrale $Af(x):=\int_a^b K(x,y) f(y) dy$. Se $K$ è in $L^2([a,b]\times[a,b])$ la $A_K$ è lineare compatta da $L^2([a,b])$ in sé. Se $K$ è continua su $[a,b]\times[a,b]$ allora $A_K$ è lineare compatta da $\mathcal{C}([a,b])$ in sé. L'operatore differenziale di Sturm-Liouville $Lu=-(\psi u')'+\varphi u$.
• Registrazione della lezione del 2021-05-28. Il wronskiano di due soluzioni dell'equazione omogenea $Lu=0$. Il metodo della variazione delle costanti per risolvere l'equazione non omogenea $Lu=f$. L'operatore nucleo integrale $A_K$ che dà una soluzione di $Lu=f$.
• Registrazione della lezione del 2021-06-01. Le autofunzioni di $A_K$ sono di classe~$\mathcal{C}^2$ e sono autofunzioni anche di~$L$. Il problema di Sturm-Liouville per l'equazione $Lu=-(\psi u')'+\varphi u=f$ con le condizioni omogenee al contorno $B_au=\alpha_1u(a)+ \beta_1u'(a) =0$, $B_bu= \alpha_2u(b)+ \beta_2u'(b)=0$. Soluzione del problema nel caso non degenere, quando il problema omogeneo $Lu=0$, $B_au=B_bu=0$ ha soltanto la soluzione nulla.
• Registrazione della lezione del 2021-06-04. Convenzione sulla misura di Lebesgue sulla retta reale divisa per $\sqrt{2\pi}$. Richiami sul prodotto di convoluzione di funzioni di $L^1(\R)$. La definizione di trasformata di Fourier di una funzione di $L^1(\R)$. Prime proprietà: comportamento della trasformata di Fourier per traslazione, torsione, omotetia, ribaltamento, convoluzione, derivata.
• Registrazione della lezione del 2021-06-08. Proprietà delle traslate di una funzione di $L^p(\R)$. La trasformata di Fourier di una funzione di $L^1(\R)$ è continua e infinitesima all'infinito. Alcune famiglie di funzioni ausiliarie $H_\lambda,h_\lambda$ di cui si possono calcolare le trasformate esplicitamente. Proprietà delle mollificate tramite $h_\lambda$.
• Registrazione della lezione del 2021-06-08. Il teorema di inversione nelle ipotesi $f,\hat f\in L^1(\R)$. Il teorema di Plancherel sulla trasformata di Fourier in~$L^2(\R)$.

Anno Accademico 2019/20

Libri di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Haïm Brezis, Analisi funzionale, teoria e applicazioni. Liguori Editore.

Programma dettagliato del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo 2019-20.

dispense in pdf delle lezioni.

appunti in pdf delle lezioni.

appunti in Mathematica delle lezioni.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).

Anno Accademico 2018/19

Libri di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Haïm Brezis, Analisi funzionale, teoria e applicazioni. Liguori Editore.

Programma dettagliato del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo 2018-19.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).

Anno Accademico 2017/18

Libri di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Haïm Brezis, Analisi funzionale, teoria e applicazioni. Liguori Editore.

Programma dettagliato del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo 2017-18.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).
Dispensa sulle proiezioni ortogonali (pdf).

Anno Accademico 2016/17

Programma dettagliato del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo 2016-17.

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Dispensa sulle proiezioni ortogonali (pdf).
Animazioni per visualizzare le funzioni a valori reali sul cerchio unitario (in formato CDF).
Illustrazioni sulle serie di Fourier (pdf) e animazioni sulle serie di Fourier trigonometriche (in formato CDF) (37M).
Animazioni per visualizzare le potenze complesse sul cerchio unitario (in formato CDF).
Animazioni per visualizzare la convoluzione di funzioni sull'asse reale (in formato CDF).
Approssimanti di Fourier visualizzate come composizione di moti circolari uniformi (in formato CDF).

Diario delle lezioni.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).

Anno Accademico 2015/16

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Diario delle lezioni.

Articolo del 1935 di Jordan e von Neumann in cui si dimostra che se in uno spazio normato vale la proprietà del parallelogramma, necessariamente la norma è indotta da un prodotto scalare (pag. 721-722).

Dispensa sulle proiezioni ortogonali. Illustrazioni sulle serie di Fourier (pdf) e animazioni sulle serie di Fourier (in formato CDF) (37M). Animazioni per visualizzare le potenze complesse sul cerchio unitario (in formato CDF). Il teorema di Hahn-Banach illustrato (290K) (in formato CDF)

Programma del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo.

Anno Accademico 2014/15

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Dispensa sulle proiezioni ortogonali. Illustrazioni sulle serie di Fourier (pdf) e animazioni sulle serie di Fourier in formato cdf (37M). Il teorema di Hahn-Banach illustrato (290K)

Programma del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo.

Anno Accademico 2013/14

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Dispensa sulle proiezioni ortogonali. Illustrazioni sulle serie di Fourier (pdf) e animazioni sulle serie di Fourier in formato cdf (37M). Il teorema di Hahn-Banach illustrato (290K) (leggibili con il Wolfram CDF Player gratuito)

Programma del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo.

Anno Accademico 2012/13, I modulo

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Dispensa sulla misura di Lebesgue.
Dispensa sul teorema di Vitali-Lebesgue.

Programma del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, primo modulo.

Diario delle lezioni.

Anno Accademico 2011/12

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri. Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Programma del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, primo modulo.

Dispensa sulla misura di Lebesgue.
Dispensa sul teorema di Vitali-Lebesgue.
Dispensa sull'insieme di Cantor.

Anno Accademico 2010/11

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Programma del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, primo e secondo modulo..

Dispensa sulle proiezioni ortogonali.

Analisi 5-6 (nuovo ordinamento)

Anno Accademico 2009/10

Libro di testo: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Programma del corso di Analisi 6, primo e secondo modulo..

Dispensa sulle proiezioni ortogonali. Illustrazioni sulle serie di Fourier.

Anno Accademico 2008/09

Libro di testo: Analisi 5: Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Analisi 6: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Programma del corso: Analisi 5, Analisi 6.

Prove scritte:

• 2009-01-26: solo testo, Analisi 5
• 2009-02-25: solo testo, Analisi 5
• 2009-07-01: solo testo, Analisi 6
• 2009-07-14: solo testo, Analisi 6
• 2009-09-02: solo testo, Analisi 5, Analisi 6
• 2010-02-15: solo testo, Analisi 6

Anno Accademico 2007/08

Libro di testo: Analisi 5: Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Analisi 6: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Programma del corso: Analisi 5, Analisi 6.

Dispensa sull'insieme di Cantor. Dispensa sul teorema di Lusin.

Prove scritte:

• 2007-12-10: solo testo, Analisi 5
• 2008-01-10: solo testo, Analisi 5
• 2008-03-26: solo testo, Analisi 6
• 2008-04-14: solo testo, Analisi 5
• 2008-07-21: solo testo, Analisi 5
• 2009-02-25: solo testo, Analisi 6

Anno Accademico 2006/07

Libro di testo: Analisi 5: Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Analisi 6: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Programma del corso: Analisi 5, Analisi 6.

Dispensa sull'insieme di Cantor. Dispensa sulle proiezioni ortogonali. Illustrazioni sulle serie di Fourier.

Prove scritte:

• 2006-12-18: solo testo, Analisi 5
• 2007-01-11: solo testo, Analisi 5
• 2007-03-29: solo testo, Analisi 6
• 2007-04-13: solo testo, Analisi 5, Analisi 6
• 2007-07-19: solo testo, Analisi 5, Analisi 6
• 2007-09-12: solo testo, Analisi 5, Analisi 6
• 2007-12-10: solo testo, Analisi 6

Anno Accademico 2005/06

Libro di testo: Analisi 5: Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8. Analisi 6: W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Programma del corso: Analisi 5, Analisi 6.

Presentazione sulla teoria dell'integrale secondo Henstock-Kurzweil, con sommario in versione stampabile. Dispensa sugli integrali curvilinei. Dispensa sul teorema di Lusin. Dispensa sulle proiezioni ortogonali. Illustrazioni sulle serie di Fourier..

Prove scritte:

• 2005-12-07: solo testo, Analisi 5
• 2006-01-11: solo testo, Analisi 5
• 2006-03-20: solo testo, Analisi 6
• 2006-04-03: solo testo, Analisi 6
• 2006-07-24: solo testo, Analisi 6
• 2006-09-11: solo testo, Analisi 5

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Academic year 2004/05

Analisi 5 textbook: Alessandro Fonda, Lezioni sulla teoria dell'integrale, Edizioni Goliardiche, Trieste 2002, ISBN 88-88171-11-8.

Course Program: Analisi 5 (76K), Analisi 6 (112K).

Integration theory follows Henstock-Kurzweil's approach, also called Gauge Integral. See here and here for some motivation.

Lecture slides on integration, and printable text summary.

Illustrated examples of integration in two variables over a square. (1.7MB)

Pictures about Fourier series.

Written examinations:

• 2004-12-09: text and detailed solution, Analisi 5 (532K)
• 2005-01-05: text only, Analisi 5.
• 2005-03-30: text only, Analisi 5, Analisi 6.
• 2005-04-12: text only, Analisi 6.
• 2005-03-30: text only, Analisi 5, Analisi 6.

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Academic year 2003/04

Textbook: Analisi 5: Giuseppe De Marco, Analisi Due, seconda edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

Course Program: Analisi 5 (76K), Analisi 6 (76K).

Homework

Pictures about Fourier series.

Written examinations:

• 2003-12-10: text only, Analisi 5 (72K).
• 2004-01-07: text only, Analisi 5 (56K).
• 2004-03-15: text only, Analisi 6 (60K).
• 2004-03-23: text only, Analisi 5 (56K).
• 2004-07-15: text only, Analisi 5 (56K).
• 2004-12-09: text only, Analisi 5 (56K).
• 2006-07-24: text only, Analisi 5 (56K).

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Academic year 2002/03

Textbook: Alessandro Fonda, Lezioni sulla teoria dell'integrale, Edizioni Goliardiche, Trieste 2002, ISBN 88-88171-11-8.

Course Program: Analisi 5 (68K), Analisi 6 (72K)

Integration theory follows Henstock-Kurzweil's approach, also called Gauge Integral. See here and here for some motivation.

Lecture notes:

Semiintegrable and measurable functions (160K).

Written examinations:

• 2002-12-17: text and detailed solution, Analisi 5 (268K).
• 2003-01-09: text only, Analisi 5 (48K).
• 2003-03-17: text only, Analisi 6 (64K).
• 2003-03-31: text only, Analisi 6 (52K).
• 2003-07-24: text only, Analisi 5 (52K), Analisi 6 (64K).

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Istituzioni di Analisi Superiore I-II (vecchio ordinamento)

Academic year 2001/02

Course Program: Module I (83K), Module II (108K).

Written examinations:

• 2001-12-03: text and detailed solutio, module I (244K).
• 2001-12-20: text and detailed solution, module I (256K).
• 2002-03-08: text and detailed solution, module II (220K).
• 2003-01-09: text only, module I (48K), module II (48K).
• 2003-07-24: text only, module I (48K), module II (64K).

Academic year 2000/01

Course Program: Module I (108K) and Module II (110K).

Written examinations:

• 2000-11-27: text and detailed solution, module I (128K).
• 2000-12-11: text and detailed solution, module I (243K).
• 2001-12-03: text only, module II (67K).

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Academic year 1999/2000

Course Program: Module I (110K), Module II (112K).

Written examinations:

• 2000-01-24: text and detailed solution, module I (223K).
• 2000-02-15: text and detailed solution, module I (282K).
• 2000-05-29: text and detailed solution, module I (165K) and module II (218K).
• 2000-07-11: text and detailed solution, module I (218K).
• 2000-09-19: text and detailed solution, module I (300K) and module II (365K).
• 2000-11-27: text and detailed solution, module II (208K).

Academic year 1998/99

Course Program: Module I (106K), Module II (112K).

Written examinations:

• 1999-01-27: text and detailed solution, module I (201K).
• 1999-02-16: text and detailed solution, module I (178K).
• 1999-04-15: text and detailed solution, module I (235K).
• 1999-06-07: text and detailed solution, module II (208K).
• 1999-06-23: text and detailed solution, module II (228K).
• 1999-07-13: text and detailed solution, module II (401K).
• 1999-09-01: text and detailed solution, module I (287K).
• 1999-09-28: text and detailed solution, module I (283K).
• 2000-01-24: text and detailed solution, module II (410K).
• 2000-02-15: text and detailed solution, module II (174K).

Academic year 1997/98

Course Program: Module I (53K, courtesy of Prof. Fabio Zanolin) and Module II (71K).

Written examinations:

• 1998-06-04: text and detailed solution, module II (213K).
• 1998-06-15: text and detailed solution, module II (181K).
• 1998-09-07: text and detailed solution, module II (197K).
• 1998-09-30: text and detailed solution, module II (182K).
• 1999-02-16: text and detailed solution, module II (217K).
• 1999-04-15: text and detailed solution, module II (218K).

Academic year 1996/97

Course Program: Module I (94K), Module II (95K).

Written examinations:

• 1997-02-03: text (74K).
• 1997-04-03: text (65K).
• 1997-06-10: text (71K).
• 1997-06-24: text (79K).
• 1997-07-09: text (77K).
• 1997-09-03: text (69K).
• 1997-09-24: text and detailed solution, module I (233K) and module II (149K).
• 1997-12-04: text and detailed solution, module I (145K) and module II (145K).
• 1998-02-02: text and detailed solution, module I (168K) and module II (154K).
• 1998-02-18: text and detailed solution, module I (271K) and module II (147K).
• 1998-07-13: text and detailed solution, module II (286K) .