Programma dell'insegnamento di ANALISI NUMERICA II
Prof.ssa R. Vermiglio, Dott. Stefano De Marchi
anno accademico 1999-2000

Algebra lineare: sistemi lineari.
Risoluzione di sistemi sovradimensionati. Pseudoinversa e condizionamento.

Algebra lineare: autovalori.
Condizionamento del problema: teorema di Bauer-Fike. Metodo delle potenze e delle potenze inverse. Analisi della convergenza, caso delle matrici simmetriche, criteri di stop. Deflazione. Metodi basati su trasformazioni per similitudine. Matrici ortogonali di Hoseholder e Givens. Metodo di Jacobi: strategia classica e ciclica, analisi della convergenza. Riduzione di una matrice simmetrica in forma tridiagonale e di una matrice generica in forma di Hessemberg mediante matrici di Householder e di Givens. Calcolo del polinomio caratteristico di matrici tridiagonali. Metodo di Hyman per il calcolo del polinomio caratteristico di matrici di Hessemberg.

Approssimazione di funzioni: interpolazione.
Generalitˆ sull'approssimazione di funzioni. Teorema di esistenza e unicitˆ del polinomio interpolante. Formula di Lagrange per il polinomio interpolante. Stima dell'errore. Differenze divise. Formula di Newton.Schema di Horner per la valutazione di un polinomio. Condizionamento del problema. Costante di Lebesgue. Convergenza del polinomio interpolante. Interpolazione polinomiale a tratti. Spline cubiche: naturali, vincolate, periodiche. Convergenza delle spline interpolanti. Polinomio di Hermite-Birkoff e sua espressione con differenze divise. Cenni curve di Bezier.

Approssimazione di funzioni: miglior approssimazione.
Il problema della migliore approssimazione, esistenza e strategia generale di ricerca. Teorema di Weirstrass e sua dimostrazione con i polinomi di Bernstain. Migliore approssimazione uniforme: famiglie di Haar, esistenza ed unicita' per famiglie di Haar. Algoritmo di Remes. Migliore approssimazione in spazi pre-hilbertiani: unicita', teorema di caratterizzazione in spazi pre-hilbertiani. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Polinomi ortogonali: definizione, formula di ricorrenza a tre termini, proprieta' degli zeri, applicazione alle formule gaussiane. Il problema della convergenza. Minimi quadrati. Esempio: analisi di Fourier di una funzione periodica e filtraggio di segnali.

Integrazione numerica.
Condizionamento del problema. Formule di quadratura: generalitˆ, ordine di precisione polinomiale, convergenza. Formule interpolatorie. Formule di Newton-Cotes: formule aperte e chiuse, alcuni esempi. Formule composte del punto medio, dei trapezi, di Simpson: costruzione e stima dell'errore analitico. Stima numerica dell'errore. Estrapolazione di Richardson. Formula di Eulero-MacLaurin. Integrazione di Romberg. Routine adattative. Formule gaussiane. Formule di Kronod (cenni).

Soluzione di sistemi non lineari.
Estensione al caso multivariato di alcuni metodi numerici per la risoluzione di equazioni non lineari: teoremi di convergenza; metodo di Newton-Raphson (descrizione, implementazione, convergenza ).

Equazioni differenziali ordinarie .
Metodo di Eulero esplicito: errore locale di troncamento, propagazione dell'errore, convergenza.

A complemento si sono svolte delle esercitazioni in laboratorio utilizzando il MATLAB

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