Programma dell'insegnamento di ANALISI NUMERICA I
Prof.ssa R. Vermiglio, Dott. Stefano De Marchi
anno accademico 1999-2000

Analisi degli errori ([1],[3], [5], [6]).
Errore analitico, inerente, algoritmico. Condizionamento di un problema numerico. Teorema di rappresentazione dei numeri reali in base B. Numeri di macchina: rappresentazione in virgola mobile. Precisione di macchina. Standard IEEE. Overflow e underflow. Operazioni di macchina e loro proprietˆ. Coefficienti di amplificazione. Fenomeno della cancellazione. Teorema di rappresentazione dell'errore nel calcolo di una funzione. Grafi di computazione e studio della propagazione degli errori. Algoritmi stabili e instabili. Studio di un caso: somma di n numeri.

Zeri di funzione([1],[3],[4])
Condizionamento del problema/ Metodo di bisezione. Metodi di iterazione funzionale. Teorema del punto fisso. Ordine di un metodo. Valutazione dell'errore. Criteri di arresto. Metodo delle corde, delle secanti, di Newton: ordine di convergenza, condizioni sufficienti per la convergenza. Metodo "Regula Falsi".

Algebra lineare: sistemi lineari ([1],[2],[4],[7]).
Richiami di algebra lineare: vettori, norme, prodotto scalare, matrici. Matrici con particolari struttutre e proprietˆ: matrici diagonali, triangolari, simmetriche, definite positive, ortogonali. Norme matriciali. Caratterizzazione di alcune norme matriciali indotte: norma 1, norma infinito, norma 2. Teoremi di Gershgorin (I e II).
Sistemi lineari. Condizionamento del problema. Numero di condizionamento di una matrice. Teorema sulla maggiorazione dell'errore relativo. Metodi diretti. Soluzione di un sistema diagonale e triangolare. Metodo di Gauss: descrizione dell'algoritmo, implementazione, applicabilitˆ, complessitˆ computazionale. Teorema di fattorizzazione LU. Analisi dell'errore algoritmico. Tecniche del pivot parziale e totale e loro implementazione. Caso delle matrici tridiagonali. Raffinamento iterativo. Metodo di Gauss-Jordan. Teorema di fattorizzazione LL delle matrici definite positive. Metodo di Choleski.
Risoluzione di sistemi sovradimensionati nel senso dei minimi quadrati. Equazioni normali e loro significato geometrico. Esistenza, unicitaÕ e calcolo della soluzione. Pseudoinversa e condizionamento. Le matrici elementari di Householder. Il metodo QR: descrizione dellÕalgoritmo, complessitaÕ computazionale e sua applicazione alla risoluzione di sistemi sovradimensionati nel senso dei minimi quadrati. Cenni alla SVD e sue applicazioni.

Approssimazione di funzioni: interpolazione ([1],[3],[4]).
Generalitˆ sull'approssimazione di funzioni. Teorema di esistenza e unicitˆ del polinomio interpolante. Formula di Lagrange per il polinomio interpolante. Stima dell'errore. Differenze divise. Formula di Newton. Schema di Horner per la valutazione di un polinomio. Condizionamento del problema. Costante di Lebesgue. Convergenza del polinomio interpolante. Interpolazione polinomiale a tratti. Spline cubiche: naturali, vincolate, periodiche. Convergenza delle spline interpolanti. Polinomio di Hermite-Birkoff e sua espressione con differenze divise.

Approssimazione di funzioni: minimi quadrati discreto ([3],[4],[7]).
Definizione del problema di Òdata fittingÓ come caso particolare di risoluzione di sistema lineare sovradimensionato. Esempi.

A complemento si sono svolte delle esercitazioni in laboratorio utilizzando il MATLAB.

Testi consigliati:
Testi per eventuali approfondimenti