Programma dell'insegnamento di

Prof.ssa R. Vermiglio

anno accademico 2003-04

Generalità sull'approssimazione di funzioni: spazi di funzioni, norma, sottospazi di dimensione finita, criteri di scelta dell’elemento approssimante. Il Teorema di Stone e sue applicazioni.

Interpolazione polinomiale: esistenza, unicità. Forma di Lagrange e Newton del polinomio interpolante e loro confronto.Differenze divise e il polinomio di Newton. Convergenza del polinomio interpolante: teoremi di Faber, Natanson e Jackson. Costante di Lebesque. Studio della convergenza del polinomio interpolante sui nodi di Chebyshev per le funzioni holderiane e le funzioni derivabili con continuità. Definizione dei polinomi ortogonali di Chebyshev. Formula dell'errore di interpolazione. Esempio: convergenza polinomio interpolante per funzioni

C-infinito con derivate equilimitate. Comportamento polinomio p(x) su nodi equidistanti e di Chebyshev.

Espressione dell' errore di interpolazione con le differenze divise.

Polinomio interpolante di Hermite-Birkoff. Le differenze divise per polinomio interpolante di Hermite-Birkoff. Approssimazione con polinomio lineare a tratti e dimostrazione convergenza.

Approssimazione con le funzioni splines. Le splines cubiche interpolanti: naturali, vincolate, periodiche, not-a-knot. Calcolo delle splines cubiche interpolanti (naturali). Proprietà di minimo delle funzioni splines cubiche (dim). Convergenza delle splines cubiche. B- splines e formula ricorsiva. Splines parametriche.

Caso di studio: il fenomeno di Runge.

Il problema della migliore approssimazione, esistenza e strategia generale di ricerca.

Migliore approssimazione uniforme: esistenza ed unicita' per famiglie polinomi algebrici. Algoritmo di Remes. Migliore approssimazione in spazi pre-hilbertiani: unicita', teorema di caratterizzazione in spazi pre-hilbertiani. Il sistema delle equazioni normali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Polinomi ortogonali: definizione, formula di ricorrenza a tre termini. Teorema di Erdos-Turan.

Formule di quadratura: generalità, ordine di precisione polinomiale, convergenza. Formule interpolatorie. Formule di Newton-Cotes: formule aperte e chiuse, alcuni esempi. Formule composte del punto medio, dei trapezi, di Simpson: costruzione e stima dell'errore analitico. Stima numerica dell'errore. Estrapolazione di Richardson. Formula di Eulero-MacLaurin. Integrazione di Romberg. Routine adattative (cenni). Formule gaussiane. Formule di Kronod (cenni).

Formule alle differenze finite. Estrapolazione di Richardson.

Formule alle differenze finite compatte. Esercitazione: derivazione di formule alle differenze divise compatte di ordine 6. Le tecniche pseudospettrali di Chebichev ed analisi sperimentale della convergenza.

Caso di studio: l'integrazione di un'equazione differenziale del secondo ordine non lineare con condizioni al contorno mediante le tecniche pseudo-spettrali.

Introduzione al problema: esistenza, unicita’. Metodo di Eulero esplicito: errore locale di troncamento, propagazione dell'errore, convergenza. Consistenza e convergenza per un metodo ad un passo. Derivazione di meodi di ordine p=2, esempi. Formulazione generale del metodo Runge-Kutta. Equazione stiff: il comportamento del metodo di eulero esplicito ed implicito.

A complemento si sono svolte delle esercitazioni in laboratorio utilizzando il MATLAB.