----- 11/01/18 -----

> Non sono riuscito a risolvere l'esercizio 1 della prova d'esame del 15-07-14.
> [...]
> Nel primo campo da completare ho inserito  0  e nel secondo campo  <= k j .

-----

Assumendo che la condizione dell'if nella procedura ricorsiva sia rappresentata dall'espressione  (<= k j),  scelta che sembra ragionevole,
conviene considerare dapprima le situazioni che corrispondono ai casi base di  manh-rec,
cioe' le situazioni in cui tale condizione e' 'false'.
L'istanza piu' semplice si realizza quando  j = 0 .

Da un lato, quindi, in base alle specifiche relative alla procedura manhattan:

    (manhattan i 0)  -->  (i+0)! / ( i! * j! )  =  1

Dall'altro, in base ai passi di valutazione a partire dall'invocazione di manhattan:

    (manhattan i 0)  -->  (manh-rec X? 1 i 0)  -->  (if (<= 1 0) ... Y?)  -->  Y?

Da cui si evince che  Y? = 1  e inoltre, in base alle specifiche di mah-rec:

    (manh-rec X? 1 i 0)  -->  1  =  ( X? * i! * 0! ) / ( 0! * i! ) =  X?

Per consistenza, dunque, nel primo campo (X?) cosi' come nel quarto (Y?) va inserito 1.

-----

> Gli ultimi due campi non saprei come completarli, visto che nel penultimo,
> invece di utilizzare come operatore finale la moltiplicazione,
> viene fornita l'addizione.

-----

A questo punto resta solo da capire cosa inserire nel terzo campo.
In quest'ultimo caso, assumendo come ipotesi induttiva che:

    (manh-rec  p+Z? k+1 i  j)  -->  ( (p+Z?) * (i+j)! * k! ) / ( j! * (i+k)! )

[l'induzione e' sul valore di j+1-k che si riduce ad ogni ricorsione],
come passo induttivo si dovrebbe riuscire a dimostrare che:

    (manh-rec  p k i  j)  -->  ( p * (i+j)! * (k-1)! ) / ( j! * (i+k-1)! )

Ma allora, trattandosi di una ricorsione di coda, deve anche essere:

    ( (p+Z?) * (i+j)! * k! ) / ( j! * (i+k)! )  =

                           =  ( p * (i+j)! * (k-1)! ) / ( j! * (i+k-1)! )

da cui... (come si procede?).

-----

> [...]
> Precedentemente non capivo il motivo per cui era presente l'addizione
> invece della moltiplicazione.

-----

In effetti l'idea alla base del programma era di calcolare il risultato
attraverso moltiplicazioni e divisioni consecutive.
Poi, con qualche rimaneggiamento per non ripetere esempi precedentemente proposti,
ha assunto la forma presentata nell'esercizio.

----- * -----